Ре­ше­ние. После по­вы­ше­ния цены билет ста­нет сто­ить 15 + 0,2 · 15  =  18 руб­лей. Раз­де­лим 100 на 18:

Зна­чит, можно будет ку­пить 5 би­ле­тов.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Из диа­грам­мы видно, что сред­няя тем­пе­ра­ту­ра в Яро­слав­ле была от­ри­ца­тель­ной в те­че­ние пяти ме­ся­цев: в ян­ва­ре, фев­ра­ле, марте, но­яб­ре и де­каб­ре.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту:

Ответ: 18.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим все ва­ри­ан­ты.

При по­куп­ке у по­став­щи­ка A сто­и­мость за­ка­за скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти пе­нобло­ков 2600 · 70  =  182 000 руб. и сто­и­мо­сти до­став­ки и равна 182 000 + 10 000  =  192 000 руб.

При по­куп­ке у по­став­щи­ка Б сто­и­мость за­ка­за скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти пе­нобло­ков 2800 · 70  =  196 000 руб. и сто­и­мо­сти до­став­ки и равна 196 000 + 8000  =  204 000 руб. Но так как сто­и­мость за­ка­за боль­ше 150 000 руб., то до­став­ка бес­плат­но. Таким об­ра­зом, сто­и­мость 196 000 руб.

При по­куп­ке у по­став­щи­ка В сто­и­мость за­ка­за скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти пе­нобло­ков 2700 · 70  =  189 000 руб. и сто­и­мо­сти до­став­ки и равна 189 000 + 8000  =  197 000 руб. Но так как сто­и­мость за­ка­за мень­ше 200 000 руб., то до­став­ка не бес­плат­но. Таким об­ра­зом, сто­и­мость за­ка­за 197 000 руб.

Сто­и­мость са­мо­го де­ше­во­го ва­ри­ан­та со­став­ля­ет 192 000 руб­лей.

Ответ: 192 000.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же хорду.

Зна­чит,

Ответ: 64.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку опре­де­ля­ем, что Тогда

Ответ: − 0,8.

Ре­ше­ние. Две из от­ме­чен­ных точек яв­ля­ют­ся точ­ка­ми экс­тре­му­ма функ­ции f(x). Это точки x₃ и x₆ (вы­де­ле­ны крас­ным). В них про­из­вод­ная функ­ции f(x) равна нулю.

В точ­ках x₁, x₂, x₇ и x₈ функ­ция f(x) воз­рас­та­ет (вы­де­ле­ны синим). В этих четырёх точ­ках про­из­вод­ная функ­ции f(x) по­ло­жи­тель­на.

В точ­ках x₄, x₅ и x₉ функ­ция f(x) убы­ва­ет (вы­де­ле­ны зе­ле­ным). В этих трёх точ­ках про­из­вод­ная функ­ции f(x) от­ри­ца­тель­на.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. В пра­виль­ной пи­ра­ми­де вер­ши­на про­еци­ру­ет­ся в центр ос­но­ва­ния. Сле­до­ва­тель­но, SO яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Из 25 би­ле­тов 23 не со­дер­жат во­про­са о гри­бах, по­это­му ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­про­са о гри­бах, равна

Ответ: 0,92.

Ре­ше­ние. Пусть объём пер­во­го ци­лин­дра равен объём вто­ро­го  — где R_{1, 2}  — ра­ди­у­сы ос­но­ва­ний ци­лин­дров, H_{1, 2}  — их вы­со­ты. По усло­вию Вы­ра­зим объём вто­ро­го ци­лин­дра через объём пер­во­го:

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Опре­де­лим мо­мен­ты вре­ме­ни, когда ка­мень на­хо­дил­ся на вы­со­те ровно 9 мет­ров. Для этого решим урав­не­ние :

Про­ана­ли­зи­ру­ем по­лу­чен­ный ре­зуль­тат: по­сколь­ку по усло­вию за­да­чи ка­мень бро­шен снизу вверх, это озна­ча­ет, что в мо­мент вре­ме­ни (с) ка­мень на­хо­дил­ся на вы­со­те 9 мет­ров, дви­га­ясь снизу вверх, а в мо­мент вре­ме­ни (с) ка­мень на­хо­дил­ся на этой вы­со­те, дви­га­ясь свер­ху вниз. По­это­му он на­хо­дил­ся на вы­со­те не менее де­вя­ти мет­ров 2,4 се­кун­ды.

Ответ: 2,4.

Ре­ше­ние. Пусть x (км/⁠ч)  — соб­ствен­ная ско­рость ка­те­ра, (км/⁠ч)  — ско­рость те­че­ния реки вес­ной. Тогда летом она со­ста­вит (км/⁠ч); Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

	Ско­рость вес­ной	Ско­рость летом
По те­че­нию
Про­тив те­че­ния

Решим си­сте­му урав­не­ний:

Таким об­ра­зом, ско­рость те­че­ния вес­ной равна 5 км/⁠ч.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет мак­си­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­боль­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние:

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем обе части урав­не­ния:

от­ку­да или

Из урав­не­ния на­хо­дим: где

Из урав­не­ния на­хо­дим: где

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку По­лу­чим числа:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние.

а)  Пусть S − пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы, а h - её вы­со­та. Тогда объем приз­мы равен Sh, а объем пи­ра­ми­ды равен Таким об­ра­зом, объем пи­ра­ми­ды равен Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Обо­зна­чим H се­ре­ди­ну ребра Так как тре­уголь­ник ABC рав­но­сто­рон­ний, а тре­уголь­ник   — рав­но­бед­рен­ный, от­рез­ки AH и пер­пен­ди­ку­ляр­ны Сле­до­ва­тель­но,   — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла с гра­ня­ми BCA и Из тре­уголь­ни­ка най­дем В тре­уголь­ни­ке AHB най­дем вы­со­ту

Из тре­уголь­ни­ка най­дем:

Ис­ко­мый угол равен

Ответ:

Ре­ше­ние. 1.  Не­ра­вен­ство за­пи­шем в виде От­но­си­тель­но не­ра­вен­ство имеет вид: от­ку­да по­лу­ча­ем Тогда

2.  Вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы опре­де­ле­но на об­ла­сти, за­да­ва­е­мой си­сте­мой не­ра­венств

то есть при и

При до­пу­сти­мых зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной по­лу­ча­ем:

С уче­том об­ла­сти до­пу­сти­мых зна­че­ний пе­ре­мен­ной по­лу­ча­ем ре­ше­ние вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы:

Срав­ним и Так как то

Ре­ше­ние си­сте­мы не­ра­венств:

Ответ:

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 501886.

Ре­ше­ние. Центр O ис­ко­мой окруж­но­сти при­над­ле­жит се­ре­дин­но­му пер­пен­ди­ку­ля­ру от­рез­ка Обо­зна­чим P се­ре­ди­ну от­рез­ка   — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­но­го из точки O на пря­мую   — точку пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра с пря­мой BC (см. рис. а). Из усло­вия ка­са­ния окруж­но­сти и пря­мой BC сле­ду­ет, что от­рез­ки и OQ равны ра­ди­у­су R окруж­но­сти.

За­ме­тим, что точка O не может ле­жать по ту же что­ро­ну от пря­мой AB, что и точка E, так как в этом слу­чае рас­сто­я­ние от точки O до пря­мой BC мень­ше, чем рас­сто­я­ние от нее до точки

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка BPE с ка­те­том и на­хо­дим, что

Так как и по­лу­ча­ем: сле­до­ва­тель­но,

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OQE, в ко­то­ром на­хо­дим:

Ответ: 1 или 7.

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 500818.

Ре­ше­ние. При по­лу­ча­ем, что Гра­фик этой функ­ции на рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке со­сто­ит из двух ча­стей па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вверх, и осью сим­мет­рии При на­хо­дим а гра­фик этой функ­ции на рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке  — часть па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вниз.

Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции может при­нять толь­ко в точ­ках или По­это­му наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции боль­ше 1 тогда и толь­ко тогда, когда:

Если то вто­рое не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид от­ку­да Этот про­ме­жу­ток со­дер­жит ин­тер­вал

Если то от­ку­да Зна­чит,

Объ­еди­няя най­ден­ные про­ме­жут­ки, по­лу­ча­ем:

Ответ:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

1.  При функ­ция при­ни­ма­ет вид: а ее гра­фик есть две части па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вверх и осью сим­мет­рии

При функ­ция при­ни­ма­ет вид: а ее гра­фик есть часть па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вниз и осью сим­мет­рии

Воз­мож­ные виды гра­фи­ка функ­ции по­ка­за­ны на ри­сун­ках.

2.  Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ция может при­ни­мать толь­ко в точ­ках или а если (то есть при ), то в точке

3.  Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции боль­ше тогда и толь­ко тогда, когда:

Ответ:

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 503150.

Ре­ше­ние. Пусть среди на­пи­сан­ных чисел k по­ло­жи­тель­ных, l от­ри­ца­тель­ных и m нулей. Сумма на­бо­ра чисел равна ко­ли­че­ству чисел в этом на­бо­ре, умно­жен­но­му на его сред­нее ариф­ме­ти­че­ское, по­это­му

а)  За­ме­тим, что в левой части при­ве­ден­но­го выше ра­вен­ства каж­дое сла­га­е­мое де­лит­ся на 4, по­это­му   — ко­ли­че­ство целых чисел  — де­лит­ся на 4. По усло­вию по­это­му Таким об­ра­зом, на­пи­са­но 44 числа.

б)  При­ве­дем ра­вен­ство к виду По­сколь­ку по­лу­ча­ем, что от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, от­ри­ца­тель­ных чисел боль­ше, чем по­ло­жи­тель­ных.

в_{оцен­ка}) Под­ста­вим в пра­вую часть ра­вен­ства от­ку­да По­сколь­ку по­лу­ча­ем: то есть по­ло­жи­тель­ных чисел не более 17.

в_{при­мер}) При­ве­дем при­мер, когда по­ло­жи­тель­ных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз на­пи­са­но число 4, 25 раз на­пи­са­но число −8 и два раза на­пи­сан 0. Тогда ука­зан­ный набор удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: а)  44; б)  от­ри­ца­тель­ных; в)  17.