Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1 равна 2, а диа­го­наль бо­ко­вой грани равна ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

а)  До­ка­жи­те, что объем пи­ра­ми­ды A_1BCC_1B_1 вдвое боль­ше объ­е­ма пи­ра­ми­ды AA_1BC.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью A1BC и плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть S − пло­щадь ос­но­ва­ния приз­мы, а h - её вы­со­та. Тогда объем приз­мы равен Sh, а объем пи­ра­ми­ды AA_1BC равен дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Sh. Таким об­ра­зом, объем пи­ра­ми­ды A_1BCC_1B_1 равен V_A_1BCC_1B_1=Sh минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Sh= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Sh=2V_AA_1BC. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Обо­зна­чим H се­ре­ди­ну ребра BC. Так как тре­уголь­ник ABC рав­но­сто­рон­ний, а тре­уголь­ник A_1BC  — рав­но­бед­рен­ный, от­рез­ки AH и A_1H пер­пен­ди­ку­ляр­ны BC. Сле­до­ва­тель­но, \angle A_1HA  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла с гра­ня­ми BCA и BCA_1. Из тре­уголь­ни­ка A_1AB най­дем AA_1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 минус 4 конец ар­гу­мен­та =1. В тре­уголь­ни­ке AHB най­дем вы­со­ту AH= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 минус 1 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Из тре­уголь­ни­ка HAA_1 най­дем: тан­генс \angle A_1HA= дробь: чис­ли­тель: AA_1, зна­ме­на­тель: AH конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Ис­ко­мый угол равен 30 гра­ду­сов.

 

Ответ: 30 гра­ду­сов.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2013 по ма­те­ма­ти­ке
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025