PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
Найдите скалярное произведение векторов
и 
В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.
На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?
Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?
Найдите корень уравнения: 
Найдите 
если 
Материальная точка движется прямолинейно по закону 
(где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость 
с.
Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта 
Каждый отдельный показатель оценивается читателями по 5-балльной шкале целыми числами от 1 до 5.
Аналитики, составляющие формулу рейтинга, считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид
Каким должно быть число A, чтобы издание, у которого все оценки наибольшие, получило бы рейтинг 1?
Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200 000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон — 42 000 рублей, Гоша — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1 000 000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.
На рисунке изображён график функции
Найдите значение x, при котором 
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Длина диагонали куба ABCDA1B1C1D1 равна 3. На луче A1C отмечена точка P так, что A1P = 4.
а) Докажите, что PBDC1 — правильный тетраэдр.
б) Найдите длину отрезка AP.
Решите неравенство: 
В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. руб. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. руб.;
— выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 360 тыс. руб.;
— к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.
Найдите общую сумму выплат за пять лет.
Известно, что АBCD трапеция, АD = 2BC, AD, BC — основания. Точка M такова, что углы АBM и MCD прямые.
а) Доказать, что MA = MD.
б) Расстояние от M до AD равно BC, а угол АDC равен 55°. Найдите угол BAD.
Найдите все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение 
имеет хотя бы одно решение.
а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 99?
б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 9. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.
в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 6,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
Периметр треугольника равен
имеет координаты 
вектор 
имеет координаты 
Скалярное произведение векторов равно:
Вероятность противоположного события, состоящего в том, что стрелок не попадёт в мишень с двух выстрелов, 
Вероятность не поразить одну из пяти мишеней равна 
м/с.
м/с.
уставного капитала. Тогда Борис внес 
Таким образом, 
или 
Найдем их:
наименьшее из найденных чисел равно 18.
где 
б) 
меньше его диагонали, ребро данного куба равно 
Тогда точки B, D, C1 имеют координаты 
соответственно.
Тогда точка P имеет координаты 
Тогда 
Значит, все рёбра тетраэдра DBC1P равны, поэтому он правильный.
Раcстояние от точки P до точки A равно
и 
: 
и 
Отсюда вычислим 
:
и 
и 
:
и 
Все ребра равны, значит, PDBC1 — правильный тетраэдр. 
:
Следовательно, 
как диагонали квадратов со стороной AB. Тогда треугольник BC1D правильный.
ABCD — квадрат, поэтому имеем: 
как накрест лежащие и 
как вертикальные, получаем: 
по двум углам, тогда 
прямоугольный, тогда 
откуда 
поскольку 
верно. Тогда, по теореме, обратной теореме Пифагора, ΔOMC прямоугольный, ∠M = 90°.
и 
— правильный, поэтому M — точка пересечения медиан, биссектрис и высот ΔBDC1, то есть центр описанной окружности.
по теореме косинусов 
поэтому 
— правильный тетраэдр, что и требовалось доказать.
по теореме косинусов 
:
:
поэтому BC — средняя линия треугольника AQD, тогда 
Углы MCD и MBA прямые, из чего следует, что MC и MB — медианы и высоты, тогда треугольники QMD и QMA равнобедренные, то есть 
а значит, 
что и требовалось доказать.
тогда 
MN — медиана, 
поэтому угол 
Треугольник MND прямоугольный и равнобедренный, тогда 
Заметим теперь, что 
тогда 
Имеем:
Тогда 
где 
поскольку 
Найдем множество значений функции 
на отрезке [0; 2]. 
на промежутке [0; 2), поэтому функция убывает на отрезке [0; 2], и, следовательно, множество ее значений на отрезке [0; 2] ― отрезок 
то есть отрезок 
Таким образом, уравнение 
имеет решения тогда и только тогда, когда выполняются условия 
где 
и рассмотрим функцию 
Ее производная 
и 
Таким образом, приходим к системе 
на отрезке [0; 2] (см. решение 1) и исследовать взаимное расположение графика этой функции и прямой 
неверные из-за неверной оценки введенной переменной 
то 
что невозможно. Если d — натуральное число, то возможен единственный случай: d = 1. Тогда a = 2, и искомые числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Случай 
невозможен, поэтому 
Кроме того 
значит, 
откуда 
то есть 