Заголовок: ЕГЭ по математике 04.07.2025. Добровольная пересдача. Разные города. Вариант 1
Комментарий:
Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
РЕШУ ЕГЭ — математика профильная
Вариант № 84941970

ЕГЭ по математике 04.07.2025. Добровольная пересдача. Разные города. Вариант 1

1.  
i

Че­ты­рех­уголь­ник ABCD впи­сан в окруж­ность. Угол ABD равен 75°, угол CAD равен 35°. Най­ди­те угол ABC. Ответ дайте в гра­ду­сах.

2.  
i

Даны век­то­ры \veca левая круг­лая скоб­ка 3; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка и \vecb левая круг­лая скоб­ка 0; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние \vec a умно­жить на \vec b.

3.  
i

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся точки A, B, C, D_1 пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA_1B_1C_1D_1, у ко­то­ро­го AB = 4, AD = 3, AA_1 = 4.

4.  
i

Ве­ро­ят­ность того, что на те­сти­ро­ва­нии по ис­то­рии уча­щий­ся решит боль­ше 10 задач, равна 0,75. Ве­ро­ят­ность того, что уча­щий­ся верно решит боль­ше 9 задач, равна 0,8. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Т. верно решит ровно 10 задач.

5.  
i

В ко­роб­ке 8 синих, 6 крас­ных и 11 зелёных фло­ма­сте­ров. Слу­чай­ным об­ра­зом вы­би­ра­ют два фло­ма­сте­ра. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что ока­жут­ся вы­бра­ны один синий и один крас­ный фло­ма­стер?

6.  
i

Ре­ши­те урав­не­ние левая круг­лая скоб­ка 2x плюс 7 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те .

7.  
i

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби .

8.  
i

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции у = f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка   — про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (1; 10). Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции f(x).

9.  
i

Во­до­лаз­ный ко­ло­кол, со­дер­жа­щий \nu = 2 моль воз­ду­ха при дав­ле­нии p_1 = 1,5 ат­мо­сфе­ры, мед­лен­но опус­ка­ют на дно водоёма. При этом про­ис­хо­дит изо­тер­ми­че­ское сжа­тие воз­ду­ха до ко­неч­но­го дав­ле­ния p_2. Ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая водой при сжа­тии воз­ду­ха, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем A = альфа \nu T ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 дробь: чис­ли­тель: p_2 , зна­ме­на­тель: p_1 конец дроби , где альфа =5,75  — по­сто­ян­ная, T = 300 К  — тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха. Най­ди­те, какое дав­ле­ние p_2 (в атм) будет иметь воз­дух в ко­ло­ко­ле, если при сжа­тии воз­ду­ха была со­вер­ше­на ра­бо­та в 6900 Дж.

10.  
i

Име­ют­ся два со­су­да. Пер­вый со­дер­жит 30 кг, а вто­рой  — 20 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если эти рас­тво­ры сме­шать, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 68% кис­ло­ты. Если же сме­шать рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 70% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом со­су­де?

11.  
i

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции вида f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =a в сте­пе­ни x . Най­ди­те зна­че­ние f(4).

12.  
i

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции y= дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: x конец дроби плюс x плюс 3.

13.  
i

a)  Ре­ши­те урав­не­ние 4 ко­си­нус в кубе x плюс синус левая круг­лая скоб­ка x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = 0.

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка Пи ; 2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

14.  
i

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точки M и K  — се­ре­ди­ны его ребер AB и BC со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α про­хо­дит через точку B па­рал­лель­но пря­мым A1M и B1K.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через точку D.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния куба плос­ко­стью α, если его ребра равны 2.

15.  
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство дробь: чис­ли­тель: 1,5 в сте­пе­ни x минус 3,375, зна­ме­на­тель: 0,25 в сте­пе­ни x минус 0,5 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 3,5 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 32 конец дроби мень­ше или равно 0.

16.  
i

В июле пла­ни­ру­ет­ся от­крыть вклад в банке под 25% го­до­вых на не­ко­то­рую сумму. В на­ча­ле 2, 3 и 4 годов со вкла­да сни­ма­ют одну и ту же сумму. Най­ди­те ис­ход­ную сумму вкла­да, если после тре­тье­го сня­тия на вкла­де оста­лось 0 руб­лей, а всего было снято 375 000 руб­лей.

17.  
i

Дан пря­мо­уголь­ник ABCD. Из­вест­но, что CD  =  3AD. Точка M  — се­ре­ди­на его сто­ро­ны AD. На сто­ро­не CD от­ме­че­на точка N. Из­вест­но, что CN  =  2ND. Точка K  — се­ре­ди­на от­рез­ка CM.

а)  До­ка­жи­те, что точки B, N и K лежат на одной пря­мой.

б)  Най­ди­те KN, если из­вест­но, что AD = 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

18.  
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x плюс 3 a конец ар­гу­мен­та умно­жить на на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x минус 2 a пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на на­ту­раль­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x минус 2 a пра­вая круг­лая скоб­ка

имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 1].

19.  
i

На доске было на­пи­са­но 20 на­ту­раль­ных чисел (не­обя­за­тель­но раз­лич­ных), каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 50. Вме­сто не­ко­то­рых чисел (воз­мож­но, од­но­го) на доске на­пи­са­ли числа, боль­шие пер­во­на­чаль­ных на еди­ни­цу. Числа, ко­то­рые после этого ока­за­лись рав­ны­ми 51, с доски стёрли, но на доске оста­лось хотя бы одно число.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел умень­ши­лось?

б)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 24. Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел ока­зать­ся рав­ным 17?

в)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 24. Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел, ко­то­рые оста­лись на доске.