PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Один из углов прямоугольного треугольника равен 
°. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Даны векторы 
и 
Найдите скалярное произведение 
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен
Найдите образующую конуса.
На олимпиаде по русскому языку 400 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 120 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Известно, что вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,25. Такая же вероятность события «К вечеру во втором автомате закончится кофе». Вероятность того, что кофе к вечеру закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к вечеру кофе останется в обоих автоматах.
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч2. Скорость вычисляется по формуле 
, где l — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость 110 км/ч. Ответ выразите в км/ч2 .
От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 176 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 5 часов после этого следом за ним со скоростью на 5 км/ч большей отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.
На рисунке изображены графики функций 
и 
которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Найдите точку максимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 отметили точки M и K на ребрах AA1 и A1B1 соответственно. Известно, что A1M = 2AM, A1K = KB1. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно плоскости ABB1A1.
а) Докажите, что плоскость α проходит через вершину C1.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью α, если все ребра призмы равны 20.
Решите неравенство 
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 6 миллионов рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему равна общая сумма платежей в 2027 году?
Дан остроугольный треугольник ABC. Известно, что 
Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC. Вокруг треугольника AOC описана окружность, которая пересекает сторону BC в точке P.
а) Докажите, что треугольники ABC и PAC подобны.
б) Найдите AB, если 
и AC = 3.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
На доске записано k последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 25, меньше, чем чисел, делящихся на 29.
а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на 25?
б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на 25?
в) Найдите наибольшее возможное значение k.
поэтому образующая равна 
при известном значении длины пути 
км:
км/ч2.
км/ч. Первый теплоход находился в пути на 5 часов больше, чем второй, отсюда имеем:
Значит, 
По графику, g(2) = −1, тогда 
Значит, 
б) 
получим: 
Заметим, что t = 1 является корнем данного многочлена. Чтобы разложить многочлен на множители, разделим его на t − 1 «в столбик» или применив схему Горнера. Получаем:
и 
имеют одинаковые знаки. Получим: 
Составим таблицу по данным задачи.
Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC. Вокруг треугольника AOC описана окружность, которая пересекает сторону BC в точке P. 
откуда
тогда
откуда
Далее последовательно получаем:
поэтому
тогда 
Дискриминант полученного уравнения равен 
Уравнение имеет два решения при 
откуда 
или 
При 
уравнение имеет одно решение. При 
уравнение решений не имеет. 
которому соответствуют два корня исходного уравнения. Тогда линейное уравнение 
должно или не иметь корней, или иметь корень 
или иметь корень принадлежащий интервалу 
Рассмотрим эти три случая.
при
уравнение 
Тогда этот корень принадлежит интервалу 
при
тогда 
имеем 
то есть 
Следовательно, исходное уравнение имеет два решения. При 
вычислим дискриминант:
достигается, если
Получаем:
Теперь рассмотрим крайние числа, кратные 23. Пусть это 23x и 23y. Тогда 
(иначе чисел не 11), и 
что невозможно для 219 чисел.
