Ре­ше­ние. а)  За­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде:

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти от­бе­рем корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа:

Ответ: а)   б)  

Ре­ше­ние. а)  По усло­вию точка M  — се­ре­ди­на ребра AA₁. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AMD и A₁MB₁. За­ме­тим, что по­сколь­ку приз­ма пра­виль­ная, и так как точка M  — се­ре­ди­на ребра AA₁. Таким об­ра­зом, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AMD и A₁MB₁ равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе, сле­до­ва­тель­но, За­ме­тим, что пря­мые MB₁ и MD па­рал­лель­ны пря­мым DK и KB₁ со­от­вет­ствен­но, так как лежат в па­рал­лель­ных гра­нях приз­мы, а также в одной плос­ко­сти По­это­му че­ты­рех­уголь­ник MB₁KD  — па­рал­ле­ло­грамм. Его смеж­ные сто­ро­ны равны, а зна­чит, че­ты­рех­уголь­ник MB₁KD  — ромб.

б)  Пло­щадь ос­но­ва­ния равна 3, а приз­ма пра­виль­ная, по­это­му сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны  Ана­ло­гич­но пунк­ту а) можно по­лу­чить, что точка K  — се­ре­ди­на ребра CC₁. Сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок MK па­рал­ле­лен диа­го­на­ли ос­но­ва­ния AC, а его длина равна

Вы­со­та приз­мы равна 3, по­это­му най­дем диа­го­наль ромба B₁D:

Тогда пло­щадь ромба MB₁KD есть:

Ответ: б)  

Ре­ше­ние. Левая часть не­ра­вен­ства опре­де­ле­на при при таких зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной на­хо­дим:

Учи­ты­вая огра­ни­че­ния по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть на пер­вом за­во­де ра­бо­чие сум­мар­но будут ра­бо­тать x² часов, тогда они про­из­ве­дут х еди­ниц то­ва­ра, а на за­ра­бот­ную плату ра­бо­чим пер­во­го за­во­да пойдёт 250x² руб­лей. Пусть на вто­ром за­во­де ра­бо­чие сум­мар­но будут ра­бо­тать y² часов, тогда они про­из­ве­дут y еди­ниц то­ва­ра, а на за­ра­бот­ную плату ра­бо­чим вто­ро­го за­во­да пойдёт 200y² руб­лей. Тогда

Общее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра, про­из­во­ди­мое двумя за­во­да­ми, равно

где Опре­де­лим наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции S(y) для таких зна­че­ний пе­ре­мен­ной. Возьмём про­из­вод­ную:

Найдём ста­ци­о­нар­ные точки:

От­ме­тим на ри­сун­ке про­ме­жут­ке мо­но­тон­но­сти функ­ции:

Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке до­сти­га­ет­ся в точке мак­си­му­ма:

Ответ: 90.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что вы­со­та AA₁ тре­уголь­ни­ка ABC про­хо­дит через точку H. В четырёхуголь­ни­ке AC₁HB₁ углы C₁ и B₁  — пря­мые, сле­до­ва­тель­но, около этого четырёхуголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность, причём AH  — её диа­метр. Впи­сан­ные углы AC₁B₁ и AHB₁ опи­ра­ют­ся на одну дугу, сле­до­ва­тель­но, ∠AHB₁ = ∠AC₁B₁.

Углы BC₁C и BB₁C  — пря­мые, зна­чит, точки B, C, B₁ и C₁ лежат на окруж­но­сти с диа­мет­ром BC. Сле­до­ва­тель­но,

По­лу­ча­ем, что

б)  В тре­уголь­ни­ке AB₁C₁ диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти от­ку­да

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BB₁A имеем:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CC₁A имеем:

По­лу­ча­ем, что Тре­уголь­ни­ки ABC и AB₁C₁ имеют общий угол A и сле­до­ва­тель­но, они по­доб­ны. Тогда

Зна­чит,

Ответ: б)  6.

Ре­ше­ние. Ис­ход­ное урав­не­ние рав­но­силь­но урав­не­нию

Рас­смот­рим два слу­чая.

Пер­вый слу­чай: По­лу­ча­ем при

Вто­рой слу­чай: при усло­вии По­лу­ча­ем:

Для корня усло­вие при­ни­ма­ет вид от­ку­да То есть в этом слу­чае при

Ко­рень урав­не­ния при­над­ле­жит от­рез­ку [0; 1] при

Корни урав­не­ния и сов­па­да­ют при

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 1] при и

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер,

б)  Сумма всех цифр из усло­вия равна 32, а сумма цифр числа 94 358 равна 29. Если бы при сло­же­нии ни разу не слу­чи­лось пе­ре­но­са в сле­ду­ю­щий раз­ряд, сумма цифр от­ве­та была бы 32, а каж­дый пе­ре­нос умень­ша­ет ее на 9, по­это­му если она не 32, то сразу не боль­ше

в)  За­ме­тим, что До­ка­жем, что по­лу­чить боль­ше нель­зя. Если оба сла­га­е­мых не более чем пя­ти­знач­ны, то их сумма не пре­вос­хо­дит

зна­чит, одно из сла­га­е­мых ше­сти­знач­ное. Ясно также, что в ше­сти­знач­ном числе все цифры долж­ны быть упо­ря­до­че­ны по убы­ва­нию, иначе его (а зна­чит и сумму) можно уве­ли­чить. Если в нем будет ис­поль­зо­ва­на еди­ни­ца не вме­сто двой­ки, это умень­шит одну из цифр (кроме по­след­ней), по­это­му число умень­шит­ся не менее чем на 10, и это не удаст­ся ском­пен­си­ро­вать уве­ли­че­ни­ем од­но­знач­но­го сла­га­е­мо­го. Ва­ри­ант дает такую же сумму.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  976 433.