Ре­ше­ние. Тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный, углы при его ос­но­ва­нии равны. По­это­му

Ответ: 150.

Ре­ше­ние. Вы­пи­шем ко­ор­ди­на­ты век­то­ров: Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров равно:

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. По по­стро­е­нию ра­ди­у­сы шара и ос­но­ва­ния ци­лин­дра равны. Пло­щадь по­верх­но­сти ци­лин­дра, с ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния r и вы­со­той 2r равна

Пло­щадь по­верх­но­сти шара ра­ди­у­са r равна то есть в 1,5 раза мень­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти ци­лин­дра. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь по­верх­но­сти шара равна 20.

Ответ: 20.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим со­бы­тия A  =  «уча­щий­ся решит 4 за­да­чи» и В  =  «уча­щий­ся решит боль­ше 4 задач». Их сумма  — со­бы­тие A + B  =  «уча­щий­ся решит боль­ше 3 задач». Со­бы­тия A и В не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

Тогда, ис­поль­зуя дан­ные за­да­чи, по­лу­ча­ем: 0,89  =  P(A) + 0,76, от­ку­да P(A)  =  0,89 − 0,76  =  0,13.

Ответ: 0,13.

Ре­ше­ние. Усло­вию, что при дву­крат­ном брос­ке иг­раль­ной кости три очка не вы­па­ли ни разу, со­от­вет­ству­ет 25 ис­хо­дов (от­ме­че­ны оран­же­вым цве­том). Со­бы­тию «сумма вы­пав­ших очков равна 10» со­от­вет­ству­ет 3 из них (от­ме­че­ны зелёным цве­том). Зна­чит, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна

Ответ: 0,12.

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: −3.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. На за­дан­ном от­рез­ке про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на, по­это­му функ­ция на этом от­рез­ке убы­ва­ет. По­это­му наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся на пра­вой гра­ни­це от­рез­ка, т. е. в точке 3.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Найдём, при каком уско­ре­нии гон­щик до­стиг­нет тре­бу­е­мой ско­ро­сти, про­ехав 0,8 ки­ло­мет­ра. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния при из­вест­ном зна­че­нии длины пути км:

Если его уско­ре­ние будет пре­вос­хо­дить най­ден­ное, то, про­ехав 0,8 ки­ло­мет­ра, гон­щик наберёт боль­шую ско­рость, по­это­му наи­мень­шее не­об­хо­ди­мое уско­ре­ние равно 9000 км/ч².

Ответ: 9000.

Ре­ше­ние. Пусть км/ч  — ско­рость ав­то­мо­би­ля, при­шед­ше­го к фи­ни­шу пер­вым, тогда ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля  — км/ч, Пер­вый ав­то­мо­биль при­был к фи­ни­шу на 1 час рань­ше вто­ро­го, от­сю­да имеем:

Зна­чит, ско­рость вто­ро­го ав­то­мо­би­ля рав­ня­ет­ся км/ч.

Ответ: 60.

Ре­ше­ние. Из ри­сун­ка видно, что и По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний, ко­то­рую можно ре­шить ме­то­дом под­ста­нов­ки:

Таким об­ра­зом,

Ответ: 64.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма

Ответ: −6.

Ре­ше­ние. а)  Ис­поль­зуя фор­му­лы при­ве­де­ния, по­лу­чим урав­не­ние, квад­рат­ное от­но­си­тель­но си­ну­са:

б)  От­рез­ку при­над­ле­жат корни (см. рис.).

Ответ: а)   б)  

Ре­ше­ние. а)  По усло­вию MB₁KD  — ромб. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки AMD и A₁MB₁. За­ме­тим, что по­сколь­ку приз­ма пра­виль­ная, и по­сколь­ку MB₁KD  — ромб. Таким об­ра­зом, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AMD и A₁MB₁ равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе, сле­до­ва­тель­но,

б)  Ана­ло­гич­но пунк­ту а) по­лу­ча­ем, что Сле­до­ва­тель­но, от­ре­зок MK па­рал­ле­лен диа­го­на­ли ос­но­ва­ния AC, а его длина равна

по­сколь­ку

Се­че­ние приз­мы  — ромб, его пло­щадь равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей:

от­ку­да

Обо­зна­чим вы­со­ту приз­мы h. Тогда от­ку­да Из по­лу­чен­но­го урав­не­ния на­хо­дим, что

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Левая часть не­ра­вен­ства опре­де­ле­на при при таких зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной на­хо­дим:

Учи­ты­вая огра­ни­че­ния по­лу­ча­ем:

Ответ:

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что при и вы­пол­не­нии усло­вия вы­пол­ня­ет­ся и усло­вие

Ре­ше­ние. Пусть на пер­вом за­во­де ра­бо­чие сум­мар­но будут ра­бо­тать x² часов, тогда они про­из­ве­дут х еди­ниц то­ва­ра, а на за­ра­бот­ную плату ра­бо­чим пер­во­го за­во­да пойдёт 200x² руб­лей. Пусть на вто­ром за­во­де ра­бо­чие сум­мар­но будут ра­бо­тать y² часов, тогда они про­из­ве­дут y еди­ниц то­ва­ра, а на за­ра­бот­ную плату ра­бо­чим вто­ро­го за­во­да пойдёт 300y² руб­лей. Тогда

Общее ко­ли­че­ство еди­ниц то­ва­ра, про­из­во­ди­мое двумя за­во­да­ми, равно

где Опре­де­лим наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции S(y) для таких зна­че­ний пе­ре­мен­ной. Возьмём про­из­вод­ную:

Найдём ста­ци­о­нар­ные точки:

От­ме­тим на ри­сун­ке про­ме­жут­ке мо­но­тон­но­сти функ­ции:

Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке до­сти­га­ет­ся в точке мак­си­му­ма:

Ответ: 100.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что вы­со­та AA₁ тре­уголь­ни­ка ABC про­хо­дит через точку H. В четырёхуголь­ни­ке AC₁HB₁ углы C₁ и B₁  — пря­мые, сле­до­ва­тель­но, около этого четырёхуголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность, причём AH  — её диа­метр. Впи­сан­ные углы AC₁B₁ и AHB₁ опи­ра­ют­ся на одну дугу, сле­до­ва­тель­но, ∠AHB₁ = ∠AC₁B₁.

Углы BC₁C и BB₁C  — пря­мые, зна­чит, точки B, C, B₁ и C₁ лежат на окруж­но­сти с диа­мет­ром BC. Сле­до­ва­тель­но,

По­лу­ча­ем, что ∠ACB = ∠AHB₁.

б)  В тре­уголь­ни­ке AB₁C₁ диа­метр опи­сан­ной окруж­но­сти от­ку­да

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BB₁A имеем:

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CC₁A имеем:

По­лу­ча­ем, что Тре­уголь­ни­ки ABC и AB₁C₁ имеют общий угол A и сле­до­ва­тель­но, они по­доб­ны. Тогда Зна­чит, BC  =  2B₁C₁  =  24.

Ответ: б)  24.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

В си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOa гра­фи­ка­ми урав­не­ний яв­ля­ют­ся пря­мые и При не­от­ри­ца­тель­ных зна­че­ни­ях x не­ра­вен­ству удо­вле­тво­ря­ют точки ле­жа­щие од­но­вре­мен­но не ниже пря­мой и не выше пря­мой Ре­ше­ние по­лу­чен­ной си­сте­мы на от­рез­ке [0; 1] вы­де­ле­но оран­же­вым цве­том. Абс­цис­сы точек A и B пе­ре­се­че­ния пря­мых найдём из урав­не­ний:

От­ку­да

Ана­ли­зи­руя гра­фик, по­лу­ча­ем, что ис­ход­ное урав­не­ние на от­рез­ке [0; 1]:

—  при не имеет кор­ней;

—  при имеет один ко­рень;

—  при имеет два корня;

—  при имеет один ко­рень;

—  при не имеет кор­ней.

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние на от­рез­ке [0; 1] имеет один ко­рень при или при

Ответ:

Ре­ше­ние. Сразу за­ме­тим, что число крат­но 45 тогда и толь­ко тогда, когда оно крат­но 5 и 9. Зна­чит, цифры 0 и 5 стоят у этих чисел на конце, а сумма цифр каж­до­го из них крат­на 9.

а)  Да. На­при­мер ,

б)  Нет, по­сколь­ку число 3435 не крат­но 9, и по­то­му не может быть сум­мой двух чисел, крат­ных 9.

в)  За­ме­тим, что До­ка­жем, что это наи­боль­шая воз­мож­ная сумма. Как уже уста­нов­ле­но, цифры 0 и 5 стоят в раз­ря­де еди­ниц. Если в раз­ря­де тысяч стоит не 9, то сумма не пре­вос­хо­дит

Если в раз­ря­де сотен стоят не цифры 3 и 7, то сумма не пре­вос­хо­дит

Если же в раз­ря­де сотен стоят цифры 3 и 7, то в раз­ря­де де­сят­ков толь­ко остав­ши­е­ся 1 и 2 и сумма тогда равна

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  10035.