Ре­ше­ние. Чтобы пе­ре­ве­сти метры в се­кун­ду в ки­ло­мет­ры в час нужно умно­жать на 3,6. Ско­рость бе­гу­на 180/20 м/c, она равна (180/20) · 3,6  =  32,4 км/ч.

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что впер­вые 5 мм осад­ков вы­па­ло 11 фев­ра­ля.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим все ва­ри­ан­ты.

«По­вре­мен­ный»: 700 · 0,3  =  210 руб.

«Ком­би­ни­ро­ван­ный»: 160 руб. за 420 минут и 280 · 0,2  =  56 руб. за остав­ши­е­ся 280 мин. Всего 216 руб.

«Без­ли­мит­ный»: 255 руб.

Ре­ше­ние. Синус ту­по­го угла равен си­ну­су смеж­но­го остро­го угла. До­стро­им угол до пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка. Длина про­ти­во­ле­жа­ще­го углу ка­те­та равна 4, длина ги­по­те­ну­зы 5. Синус угла равен от­но­ше­нию про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к ги­по­те­ну­зе, по­это­му он равен 4/5.

Ответ: 0,8.

Ре­ше­ние. Воз­мож­ность вы­иг­рать первую и вто­рую пар­тию не за­ви­сят друг от друга. Ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий равна про­из­ве­де­нию их ве­ро­ят­но­стей: 0,5 · 0,3  =  0,15.

Ответ: 0,15.

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ре­ше­ние. Пусть ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен r, тогда длина мень­шей бо­ко­вой сто­ро­ны равна 2r. Суммы длин про­ти­во­по­лож­ных сто­рон опи­сан­но­го во­круг окруж­но­сти че­ты­рех­уголь­ни­ка равны, по­это­му сумма ос­но­ва­ний тра­пе­ции равна сумме длин ее бо­ко­вых сто­рон или 2r + 9. Тогда для пе­ри­мет­ра тра­пе­ции имеем 2(2r + 9)  =  32, от­ку­да r  =  3,5.

Ре­ше­ние. Про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на в точ­ках, ле­жа­щих в про­ме­жут­ках убы­ва­ния: x₂, x₄. Таких точек на гра­фи­ке 2.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, ка­те­том ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся вы­со­та пи­ра­ми­ды, а ги­по­те­ну­зой  — ее бо­ко­вое ребро. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра не­из­вест­ный катет равен 4. В то же время этот катет яв­ля­ет­ся по­ло­ви­ной диа­го­на­ли ле­жа­ще­го в ос­но­ва­нии квад­ра­та. Тогда длина всей диа­го­на­ли равна 8. Пло­щадь квад­ра­та равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей: тогда объем пи­ра­ми­ды:

Ре­ше­ние. Ис­поль­зу­ем свой­ства сте­пе­ней:

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния :

Ре­ше­ние. Бо­ко­вые грани ис­ход­ной приз­мы вдвое боль­ше со­от­вет­ству­ю­щих бо­ко­вых гра­ней от­се­чен­ной приз­мы, по­это­му пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ис­ход­ной приз­мы равна 74.

Ответ: 74.

Ре­ше­ние. Пусть масса 43-про­цент­но­го рас­тво­ра кис­ло­ты  — кг, а масса 89-про­цент­но­го  — Если сме­шать 43-про­цент­ный и 89-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вить кг чи­стой воды, по­лу­чит­ся 69-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты: Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 73-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты: Решая по­лу­чен­ную си­сте­му урав­не­ний:

Ответ: 35.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: Най­ден­ная про­из­вод­ная не об­ра­ща­ет­ся в нуль, по­ло­жи­тель­на при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, по­это­му за­дан­ная функ­ция яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей. Тем самым, она при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние на пра­вом конце от­рез­ка: y(0)  =  29.

Ре­ше­ние. Решим урав­не­ние:

б)  Ука­жем корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим точку

Ответ: а) б)

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 509888.

Ре­ше­ние. а)  В плос­ко­сти через точку К про­ве­дем пря­мую па­рал­лель­но Пусть эта пря­мая пе­ре­се­ка­ет диа­го­наль в точке L. В плос­ко­сти ос­но­ва­ния про­ве­дем пря­мую пусть она пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну в точке P. Тре­уголь­ник KPC₁  — се­че­ние, про­хо­дя­щее через точки К и С₁ па­рал­лель­но пря­мой BD₁. Дей­стви­тель­но, пря­мая BD₁ па­рал­лель­на плос­ко­сти се­че­ния, так как па­рал­лель­на ле­жа­щей в нем пря­мой KL.

В плос­ко­сти ос­но­ва­ния через точку A₁ про­ве­дем пря­мую па­рал­лель­но C₁P. Пусть она пе­ре­се­ка­ет D₁В₁ в точке М. По тео­ре­ме Фа­ле­са имеем: и по­это­му Тогда Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть те­перь точка N  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка   — яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей на­клон­ной PN на плос­кость Тогда угол PNB₁  — ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го дву­гран­но­го угла. Имеем:

Тем самым,

Ответ: б)

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

б)  Урав­не­ние плос­ко­сти  — ax + by + cz + d = 0.

При­ведём ко­ор­ди­на­ты точек C₁(0; 4; 4), K(4; 4; 3),

Под­ста­вив ко­ор­ди­на­ты ука­зан­ных точек в урав­не­ние, по­лу­чим си­сте­му трёх урав­не­ний

Вы­чтем из пер­во­го урав­не­ния вто­рое, из пер­во­го тре­тье, из вто­ро­го тре­тье, по­лу­чим сле­ду­ю­щую эк­ви­ва­лент­ную си­сте­му урав­не­ний:

Таким об­ра­зом, век­тор нор­ма­ли плос­ко­сти имеет вид От­ку­да имеем: a = 1, b = 3, c = 4. По­лу­ча­ем урав­не­ние плос­ко­сти: x + 3y + 4z + d = 0. Опре­де­лим те­перь ко­эф­фи­ци­ент d, для этого под­ста­вим в это урав­не­ние ко­ор­ди­на­ты точки C₁:

Имеем: x + 3y + 4z – 28 = 0  — урав­не­ние плос­ко­сти PKC₁. Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра нор­ма­ли к плос­ко­сти Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра нор­ма­ли к плос­ко­сти Обо­зна­чим угол между плос­ко­стя­ми и как Найдём ко­си­нус угла между плос­ко­стя­ми и

От­ку­да Может также быть по­лу­чен ответ и через арк­тан­генс:

При­ведём идею ре­ше­ния Ев­ге­ния Мат­ве­е­ва.

Введём си­сте­му ко­ор­ди­нат с цен­тром в точке Урав­не­ние плос­ко­сти се­че­ния C₁PK в от­рез­ках Нор­маль­ный век­тор к этой плос­ко­сти: нор­маль­ный век­тор к плос­ко­сти BB₁C₁C: Тогда

Ре­ше­ние. Най­дем ОДЗ: 4 + 3x − x² > 0 ⇔ x² − 3x − 4 < 0 ⇔ (x − 4)(x + 1)<0 ⇔ −1< x < 4.

Пусть тогда

Пе­ре­хо­дим к пе­ре­мен­ной x:

Не­ра­вен­ство   — ре­ше­ний не имеет, т. к.

Учи­ты­вая ОДЗ, по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Тре­уголь­ник AOH рав­но­бед­рен­ный и тра­пе­ция ABCD рав­но­бед­рен­ная, по­это­му ∠AHO = ∠OAH = ∠CDA. Зна­чит, пря­мые OH и CD па­рал­лель­ны, а так как OQ  — сред­няя линия тра­пе­ции, то па­рал­лель­ны пря­мые OQ и AD. Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны четырёхуголь­ни­ка DQOH по­пар­но па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, DQOH  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Пусть окруж­ность с цен­тром в точке O ра­ди­у­са R ка­са­ет­ся сто­ро­ны CD в точке P. В пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках OPQ и AHB имеем

По­это­му

Пусть AH  =  x. По­сколь­ку тра­пе­ция ABCD рав­но­бед­рен­ная, AD  =  2AH + BC; DH  =  AH + BC  =  x + 2.

Тогда

от­ку­да Зна­чит,

Ответ: б)

Ре­ше­ние. До­пу­стим, что на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном в пер­вом го­ро­де, ра­бо­чие тру­дят­ся x² часов, а на за­во­де, рас­по­ло­жен­ном во вто­ром го­ро­де, y² часов. Тогда в не­де­лю будет про­из­ве­де­но 2x + 5y еди­ниц то­ва­ра, а за­тра­ты на опла­ту труда со­ста­вят 500(x² + y²) руб­лей. В этом слу­чае нужно найти наи­мень­шее зна­че­ние 500(x² + y²) при усло­вии 2x + 5y =580. Вы­ра­зим y через x:

при 0 ≤ x ≤ 290. После пре­об­ра­зо­ва­ния по­лу­ча­ем:

Наи­мень­шее зна­че­ние квад­рат­но­го трёхчле­на до­сти­га­ет­ся при

причём При этом зна­че­нии по­лу­ча­ем:

Ответ: 5 800 000.

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние:

Гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся объ­еди­не­ние от­кры­то­го луча AB, за­кры­то­го луча CD и от­рез­ка BE с от­кры­тым кон­цом Вто­рое урав­не­ние пе­ре­пи­шем в виде: оно задаёт мно­же­ство па­рал­лель­ных пря­мых с уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том Зна­че­ние па­ра­мет­ра a равно ор­ди­на­те точки, в ко­то­рой каж­дая такая пря­мая пе­ре­се­ка­ет ось

Ко­ли­че­ство точек пе­ре­се­се­ний гра­фи­ков со­от­вет­ству­ет ко­ли­че­ству ре­ше­ний ис­ход­ной си­сте­мы. Зна­че­ние на­хо­дим из усло­вия, что пря­мая про­хо­дит через точку также по­сту­пим с осталь­ны­ми па­ра­мет­ра­ми

Таким об­ра­зом, ко­ли­че­ство точек пе­ре­се­че­ний гра­фи­ков в за­ви­си­мо­сти от зна­че­ния a сле­ду­ю­щее:

  — одна точка,   — две точки,   — три точки,   — две точки,   — одна точка,   — две точки,   — одна точка. От­ку­да по­лу­ча­ем ответ к за­да­че.

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть ис­ход­ные числа равны и пусть суммы цифр, сто­я­щих в раз­ря­де де­сят­ков и еди­ниц, со­от­вет­ствен­но и

а)  Решим си­сте­му урав­не­ний:

При­ме­ром ис­ход­но­го на­бо­ра чисел может быть 70 дву­знач­ных чисел, за­кан­чи­ва­ю­щих­ся еди­ни­цей, сумма де­сят­ков ко­то­рых дает 290. На­при­мер, это 68 чисел 41 и два числа 91 или 50 чисел 51 и 20 чисел 21. Ещё при­мер (его можно по­стро­ить, об­ра­тив вни­ма­ние, что сумма де­сят­ков при­мер­но в 4 раза боль­ше суммы еди­ниц): 32 раза число 92 и число 26.

б)  Решим си­сте­му урав­не­ний:

По­сколь­ку нулей в за­пи­си чисел нет, сумма цифр, сто­я­щих в раз­ря­де еди­ниц, не мень­ше ко­ли­че­ства чисел. Тем самым, чисел не боль­ше 30. Но тогда сумма цифр, сто­я­щих в раз­ря­де де­сят­ков, не может быть боль­ше 270. Про­ти­во­ре­чие.

Иначе: по­сколь­ку в за­пи­си нет нулей, а цифры в раз­ря­де де­сят­ков не пре­вы­ша­ют 9, спра­вед­ли­вы со­от­но­ше­ния: то есть что про­ти­во­ре­чит по­лу­чен­ной си­сте­ме, в ко­то­рой

в)  Тре­бу­ет­ся опре­де­лить, для ка­ко­го наи­мень­ше­го S имеет ре­ше­ния си­сте­ма урав­не­ний

Из по­лу­чен­ной си­сте­мы сле­ду­ет, что ве­ли­чи­на S крат­на 9 и 11, то есть крат­на 99. Тогда Тогда

Наи­мень­ше­му зна­че­нию S со­от­вет­ству­ет наи­мень­шее зна­че­ние при­чем из вто­ро­го урав­не­ния си­сте­мы ясно, что Улуч­шим оцен­ку: за­ме­тим, что от­ку­да тогда

и, таким об­ра­зом,

Если то: за­дан­ным на­бо­ром чисел, на­при­мер, яв­ля­ют­ся 30 чисел 91, 9 чисел 21 и число 51, сумма чисел в на­бо­ре равна

Ответ: а)  на­при­мер, 32 раза число 92 и число 26; б)  нет; в)  693.