ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 16 № 510075 Добавить в вариант

Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

Спрятать решение

Решение.

Допустим, что на заводе, расположенном в первом городе, рабочие трудятся x² часов, а на заводе, расположенном во втором городе, y² часов. Тогда в неделю будет произведено 2x + 5y единиц товара, а затраты на оплату труда составят 500(x² + y²) рублей. В этом случае нужно найти наименьшее значение 500(x² + y²) при условии 2x + 5y =580. Выразим y через x:

$y= дробь: числитель: 580 минус 2x, знаменатель: 5 конец дроби ,0 меньше или равно x меньше или равно 290.$

Таким образом, нам нужно найти наименьшее значение функции

$S левая круглая скобка x правая круглая скобка =500 левая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 580 минус 2x, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка$

при 0 ≤ x ≤ 290. После преобразования получаем:

$S левая круглая скобка x правая круглая скобка =20 левая круглая скобка 29x в квадрате минус 2320x плюс 336400 правая круглая скобка .$

Наименьшее значение квадратного трёхчлена $29x в квадрате минус 2320x плюс 336400$ достигается при $x= дробь: числитель: 2320, знаменатель: 2 умножить на 29 конец дроби =40,$

причём $40 принадлежит левая квадратная скобка 0;290 правая квадратная скобка .$ При этом значении получаем: $S левая круглая скобка 40 правая круглая скобка =5800000.$

Ответ: 5 800 000.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 509505: 510075 673603 Все

Источники:

ЕГЭ по математике 26.03.2015. Досрочная волна, Восток;

Задания 17 (С4) ЕГЭ 2015.

Классификатор алгебры: Общие задачи по финансовой математике, Задачи на оптимальный выбор

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь