Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 510074

Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями BC и AD. На стороне AB как на диаметре построена окружность с центром в точке O, касающаяся стороны CD и повторно пересекающая основание AD в точке H. Точка Q — середина стороны CD.

а) Докажите, что OQDH — параллелограмм.

б) Найдите AD, если ∠BAD = 60°, BC = 2.

Решение.

а) Треугольник AOH равнобедренный и трапеция ABCD равнобедренная, поэтому ∠AHO = ∠OAH = ∠CDA. Значит, прямые OH и CD параллельны, а так как OQ — средняя линия трапеции, то параллельны прямые OQ и AD. Противоположные стороны четырёхугольника DQOH попарно параллельны, следовательно, DQOH — параллелограмм.

б) Пусть окружность с центром в точке O радиуса R касается стороны CD в точке P. В прямоугольных треугольниках OPQ и AHB имеем

OQ= дробь, числитель — OP, знаменатель — синус \angel OQP = дробь, числитель — R, знаменатель — синус 60 в степени circ = дробь, числитель — 2R, знаменатель — корень из 3 ,AH=AB косинус \angle BAH=2R косинус 60 в степени circ =R.

Поэтому

 дробь, числитель — AH, знаменатель — DH = дробь, числитель — AH, знаменатель — OQ = дробь, числитель — R, знаменатель — дробь, числитель — 2R { корень из 3 , знаменатель — } = дробь, числитель — корень из 3 , знаменатель — 2 .

Пусть AH = x. Поскольку трапеция ABCD равнобедренная, AD = 2AH + BC; DH = AH + BC = x + 2.

Тогда

 дробь, числитель — AH, знаменатель — DH = дробь, числитель — x, знаменатель — x плюс 2 = дробь, числитель — корень из 3 , знаменатель — 2 ,

откуда x= дробь, числитель — 2 корень из 3 , знаменатель — 2 минус корень из 3 . Значит, AD=2x плюс 2= дробь, числитель — 4 плюс 2 корень из 3 , знаменатель — 2 минус корень из 3 =14 плюс 8 корень из 3 .

 

Ответ: б) 14 плюс 8 корень из 3 .


Аналоги к заданию № 512338: 512380 509204 510074 519904 Все

Источник: ЕГЭ по математике 26.03.2015. Досрочная волна, Восток., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2015
Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники