Ре­ше­ние. a)  Ис­поль­зу­ем фор­му­лу ко­си­ну­са двой­но­го угла:

б)  От­бе­рем корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. Под­хо­дят:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние.

Рис. 1

a)  Бо­ко­вая грань BCC₁B₁ приз­мы па­рал­лель­на грани ADD₁A₁, по­сколь­ку со­став­ля­ю­щие их рёбра со­от­вет­ствен­но па­рал­лель­ны. Про­ведём через вер­ши­ну C пря­мую, па­рал­лель­ную KM. Пусть эта пря­мая пе­ре­се­ка­ет ребро BB₁ в точке N, а про­дол­же­ние ребра B₁C₁ в точке E, а пря­мая EM пе­ре­се­ка­ет ребро A₁B₁ в точке L (рис. 1).

Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки CBN и MD₁K равны, по­сколь­ку равны их ка­те­ты BC и MD₁, а также ост­рые углы, ввиду па­рал­лель­но­сти со­от­вет­ству­ю­щих сто­рон. Сле­до­ва­тель­но,

а зна­чит, точка N  — се­ре­ди­на ребра BB₁.

б)  Пусть вы­со­та приз­мы равна 2x. Тогда В рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции с ос­но­ва­ни­я­ми 5 и 3 и углом 60° бо­ко­вые сто­ро­ны равны 2, то есть

Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки EB₁N и CBN равны по ка­те­ту и углу при вер­ши­не N. Зна­чит,

Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков CDK и NCK имеем:

Для тре­уголь­ни­ка BCD имеем:

По­сколь­ку по­лу­ча­ем: от­ку­да Сле­до­ва­тель­но,

Рис. 2

Пло­щадь пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции MKCE равна

Тре­уголь­ни­ки A₁ML и B₁EL по­доб­ны, зна­чит,

а пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ELN и EMN от­но­сят­ся как (рис. 2). Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка ELN равна

Пло­щадь се­че­ния MKCNL равна раз­но­сти пло­ща­дей тра­пе­ции MKCE и тре­уголь­ни­ка ELN:

Ответ: б)  

Ре­ше­ние. В левой части не­ра­вен­ства для вы­ра­же­ния, сто­я­ще­го под зна­ком ло­га­риф­ма, при­ме­ним фор­му­лу куба раз­но­сти, по­лу­чим:

по­это­му не­ра­вен­ство можно за­пи­сать в виде

Ответ:

При­ведём дру­гой спо­соб.

При­ведём еще один спо­соб.

Ре­ше­ние. Пусть долг в июле 2030 года со­ста­вит 5S тыс. руб­лей, тогда в пер­вые пять лет долг дол­жен умень­шать­ся на  тыс. руб­лей, а в сле­ду­ю­щие пять лет  — на S тыс. руб­лей. Со­ста­вим таб­ли­цу.

Год	Долг в ян­ва­ре (после на­чис­ле­ния про­цен­тов) тыс. руб.	Вы­пла­та тыс. руб.	Долг в июле тыс. руб.
2025			800
2026
2027
2028
2029
2030
2031
...	...	...	...
2034
2035

Вы­пла­ты в пер­вые пять лет пред­став­ля­ют собой ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, найдём их сумму

Вы­пла­ты в по­след­ние пять лет также пред­став­ля­ют собой ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, найдём их сумму

Сумма всех вы­плат по усло­вию равна 1970 тыс. руб., тогда

Таким об­ра­зом, долг в июле 2030 года со­ста­вит 300 тыс. руб­лей.

Ответ: 300 000.

Ре­ше­ние. а)  Пусть пря­мая, про­хо­дя­щая через точку O па­рал­лель­но BC пе­ре­се­ка­ет пря­мую AB в точке M и пря­мую CD в точке F. Углы MOA и OAD равны как на­крест ле­жа­щие, сле­до­ва­тель­но, угол MAO равен углу MOA, тогда AM  =  MO. Ана­ло­гич­но углы BCO и COF равны, сле­до­ва­тель­но, OF  =  CF. За­ме­тим, что AMFD  — рав­но­бо­кая тра­пе­ция, сле­до­ва­тель­но, AM  =  FD, тогда

б)  Пусть AM  =  2x, BM  =  3x, угол AMO равен α, тогда Для тре­уголь­ни­ков AMO и CFO по тео­ре­ме ко­си­ну­сов:

Учи­ты­вая, что по усло­вию AO  =  OC, по­лу­ча­ем

От­сю­да Имеем:

от­сю­да

Вы­ра­зим длину AD:

Най­дем от­но­ше­ние BC к AD:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы:

Решая урав­не­ние за­клю­ча­ем, что па­ра­бо­ла и пря­мая пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках и По­это­му в си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOy гра­фи­ком по­лу­чен­ной си­сте­мы будет объ­еди­не­ние пря­мой и участ­ка па­ра­бо­лы ле­жа­щих не выше пря­мой (вы­де­ле­но оран­же­вым)

Гра­фи­ком вто­ро­го урав­не­ния ис­ход­ной си­сте­мы яв­ля­ет­ся се­мей­ство па­рал­лель­ных пря­мых с уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том −1.

Найдём, при каких зна­че­ни­ях a урав­не­ние имеет один ко­рень:

Дис­кри­ми­нант об­ра­ща­ет­ся в нуль при Зна­чит, при этом зна­че­нии па­ра­мет­ра пря­мая имеет толь­ко одну общую точку с па­ра­бо­лой   — точку C. Пря­мая вы­де­ле­на на ри­сун­ке крас­ным.

Пря­мая про­хо­дит через точку A при

Пря­мая вы­де­ле­на на ри­сун­ке зе­ле­ным

Пря­мая про­хо­дит через точку B при

Пря­мая вы­де­ле­на на ри­сун­ке синим.

Пря­мые и имеют раз­ные уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты, зна­чит. пе­ре­се­ка­ют­ся при любом зна­че­нии a.

Ана­ли­зи­руя гра­фи­ки, по­лу­ча­ем что ис­ход­ная си­сте­ма:

  — при имеет одно ре­ше­ние;

  — при   — два ре­ше­ния;

  — при   — три ре­ше­ния ;

  — при   — два ре­ше­ния;

  — при   — одно ре­ше­ние.

Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния при или

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да, может. На­при­мер, если в клас­се 25 уча­щих­ся из них 9 де­во­чек, то доля де­во­чек со­став­ля­ет 36%.

б)  Нет, не может. По­сколь­ку доля де­во­чек была мень­ше по­ло­ви­ны, де­во­чек было мень­ше, чем маль­чи­ков. После по­яв­ле­ния новой де­воч­ки число де­во­чек не могло пре­взой­ти число маль­чи­ков, по­это­му про­цент де­во­чек не пре­вы­ша­ет 50%.

в)  По пунк­ту б) мы уже по­лу­чи­ли, что де­во­чек не более 50%. Это зна­че­ние до­сти­га­ет­ся, на­при­мер, если из­на­чаль­но было 11 уче­ни­ков, из них 5 де­во­чек.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  50.