ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 16 № 642781 Добавить в вариант

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 800 тыс. руб. на 10 лет. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

—  с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

—  в июле каждого из годов 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 долг должен быть на какую-⁠то одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

—  в июле каждого из годов 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше по сравнению с июлем предыдущего года;

—  к июлю 2035 года кредит должен быть выплачен.

Известно, что сумма выплат по кредиту составит 1970 тыс. руб. Найдите, сколько рублей составит долг в июле 2030 года.

Спрятать решение

Решение.

Пусть долг в июле 2030 года составит 5S тыс. рублей, тогда в первые пять лет долг должен уменьшаться на $дробь: числитель: 800 минус 5S, знаменатель: 5 конец дроби =160 минус S$  тыс. рублей, а в следующие пять лет  — на S тыс. рублей. Составим таблицу.

Год	Долг в январе (после начисления процентов) тыс. руб.	Выплата тыс. руб.	Долг в июле тыс. руб.
2025			800
2026	$1,3 умножить на 800$	$1,3 умножить на 800 минус левая круглая скобка 640 плюс S правая круглая скобка$	$640 плюс S$
2027	$1,3 левая круглая скобка 640 плюс S правая круглая скобка$	$1,3 умножить на левая круглая скобка 640 плюс S правая круглая скобка минус левая круглая скобка 480 плюс 2S правая круглая скобка$	$480 плюс 2S$
2028	$1,3 левая круглая скобка 480 плюс 2S правая круглая скобка$	$1,3 умножить на левая круглая скобка 480 плюс 2S правая круглая скобка минус левая круглая скобка 320 плюс 3S правая круглая скобка$	$320 плюс 3S$
2029	$1,3 левая круглая скобка 320 плюс 3S правая круглая скобка$	$1,3 левая круглая скобка 320 плюс 3S правая круглая скобка минус левая круглая скобка 160 плюс 4S правая круглая скобка$	$160 плюс 4S$
2030	$1,3 левая круглая скобка 160 плюс 4S правая круглая скобка$	$1,3 левая круглая скобка 160 плюс 4S правая круглая скобка минус 5S$	$5S$
2031	$1,3 умножить на 5S$	$1,3 умножить на 5S минус 4S$	$4S$
...	...	...	...
2034	$1,3 умножить на 2S$	$1,3 умножить на 2S минус S$	$S$
2035	$1,3 умножить на S$	$1,3 умножить на S минус 0$	$0$

Выплаты в первые пять лет представляют собой арифметическую прогрессию, найдём их сумму

$B_2026 минус 2030=$
$= \underbrace1,3 умножить на 800 минус левая круглая скобка 640 плюс S правая круглая скобка _1 минус я выплата плюс \underbrace1,3 умножить на левая круглая скобка 640 плюс S правая круглая скобка минус левая круглая скобка 480 плюс 2S правая круглая скобка _2 минус я выплата плюс \underbrace1,3 умножить на левая круглая скобка 480 плюс 2S правая круглая скобка минус левая круглая скобка 320 плюс 3S правая круглая скобка _3 минус я выплата плюс \underbrace1,3 левая круглая скобка 320 плюс 3S правая круглая скобка минус левая круглая скобка 160 плюс 4S правая круглая скобка _4 минус я выплата плюс \underbrace1,3 левая круглая скобка 160 плюс 4S правая круглая скобка минус 5S_5 минус я выплата=$
$= дробь: числитель: 1,3 умножить на 800 минус левая круглая скобка 640 плюс S правая круглая скобка плюс 1,3 левая круглая скобка 160 плюс 4S правая круглая скобка минус 5S, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5= дробь: числитель: 608 минус 0,8S, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 = левая круглая скобка 304 минус 0,4S правая круглая скобка умножить на 5 = 1520 минус 2S .$ $B_2026 минус 2030=$
$= \underbrace1,3 умножить на 800 минус левая круглая скобка 640 плюс S правая круглая скобка _1 минус я выплата плюс \underbrace1,3 умножить на левая круглая скобка 640 плюс S правая круглая скобка минус левая круглая скобка 480 плюс 2S правая круглая скобка _2 минус я выплата плюс \underbrace1,3 умножить на левая круглая скобка 480 плюс 2S правая круглая скобка минус левая круглая скобка 320 плюс 3S правая круглая скобка _3 минус я выплата плюс \underbrace1,3 левая круглая скобка 320 плюс 3S правая круглая скобка минус левая круглая скобка 160 плюс 4S правая круглая скобка _4 минус я выплата плюс \underbrace1,3 левая круглая скобка 160 плюс 4S правая круглая скобка минус 5S_5 минус я выплата=$
$= дробь: числитель: 1,3 умножить на 800 минус левая круглая скобка 640 плюс S правая круглая скобка плюс 1,3 левая круглая скобка 160 плюс 4S правая круглая скобка минус 5S, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5=$
$= дробь: числитель: 608 минус 0,8S, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 = левая круглая скобка 304 минус 0,4S правая круглая скобка умножить на 5 = 1520 минус 2S .$

Выплаты в последние пять лет также представляют собой арифметическую прогрессию, найдём их сумму

$B_2031 минус 2035= \underbrace1,3 умножить на 5S минус 4S_6 минус я выплата плюс ... плюс \underbrace1,3 умножить на 2S минус S_9 минус я выплата плюс \underbrace1,3 умножить на S_10 минус я выплата =$
$= дробь: числитель: 1,3 умножить на 5S минус 4S плюс 1,3 умножить на S, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 = дробь: числитель: 3,8S, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 = 9,5S.$ $B_2031 минус 2035=$
$= \underbrace1,3 умножить на 5S минус 4S_6 минус я выплата плюс ... плюс \underbrace1,3 умножить на 2S минус S_9 минус я выплата плюс \underbrace1,3 умножить на S_10 минус я выплата =$
$= дробь: числитель: 1,3 умножить на 5S минус 4S плюс 1,3 умножить на S, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 = дробь: числитель: 3,8S, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 = 9,5S.$

Сумма всех выплат по условию равна 1970 тыс. руб., тогда

$1520 минус 2S плюс 9,5S=1970 равносильно 7,5S=450 равносильно 5S=300.$

Таким образом, долг в июле 2030 года составит 300 тыс. рублей.

Ответ: 300 000.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 642781: 645666 643056 650557 Все

Источники:

Задания 15 ЕГЭ–2023;

ЕГЭ по математике 01.06.2023. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 309 (часть 2);

ЕГЭ по математике 01.06.2023. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 302 (часть 2).

Классификатор алгебры: Задачи о кредитах

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь