Ре­ше­ние. Так как CM  — ме­ди­а­на, то BM  =  MC (свой­ство ме­ди­а­ны в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке), а зна­чит, углы B и BCM равны как углы при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка,

Ответ: 24.

Ре­ше­ние. Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды, объем ко­то­рой нужно найти, яв­ля­ет­ся ниж­няя грань па­рал­ле­ле­пи­пе­да, а ее вы­со­той яв­ля­ет­ся ребро CC₁. По­это­му

Ответ: 63.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим «1» ту сто­ро­ну мо­не­ты, ко­то­рая от­ве­ча­ет за вы­иг­рыш жре­бия «Изу­мруд», дру­гую сто­ро­ну мо­не­ты обо­зна­чим «0». Тогда бла­го­при­ят­ных ком­би­на­ций три: 00, 01, 10, а всего ком­би­на­ций 2²  =  4: 00, 01, 10, 11. Тем самым, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна:

Ответ: 0,75.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим со­бы­тия

Тогда

По усло­вию P(A)  =  P(B)  =  0,1; P(A·B)  =  0,05.

Со­бы­тия A и B сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность суммы двух сов­мест­ных со­бы­тий равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий, умень­шен­ной на ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния:

Сле­до­ва­тель­но, ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия, со­сто­я­ще­го в том, что кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 1 − 0,15  =  0,85.

Ответ: 0,85.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся в пер­вом ав­то­ма­те, равна 1 − 0,1  =  0,9. Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся во вто­ром ав­то­ма­те, равна 1 − 0,1  =  0,9. Ве­ро­ят­ность того, что кофе оста­нет­ся хотя бы в одном ав­то­ма­те равна 1 − 0,05  =  0,95. По­сколь­ку P(A + B)  =  P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,95  =  0,9 + 0,9 − х, от­ку­да ис­ко­мая ве­ро­ят­ность х  =  0,85.

При­ме­ча­ние.

За­ме­тим, что со­бы­тия А и В не яв­ля­ют­ся не­за­ви­си­мы­ми. Дей­стви­тель­но, ве­ро­ят­ность про­из­ве­де­ния не­за­ви­си­мых со­бы­тий была бы равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: P(A·B)  =  0,1·0,1  =  0,01, од­на­ко, по усло­вию, эта ве­ро­ят­ность равна 0,05.

Ре­ше­ние. Воз­ве­дем в квад­рат:

Ответ: 7.

Ре­ше­ние. Ис­поль­зу­ем фор­му­лу ко­си­ну­са двой­но­го угла :

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Функ­ция, диф­фе­рен­ци­ру­е­мая на от­рез­ке [a; b], не­пре­рыв­на на нем. Если функ­ция не­пре­рыв­на на от­рез­ке [a; b], а её про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на (от­ри­ца­тель­на) на ин­тер­ва­ле (a; b), то функ­ция воз­рас­та­ет (убы­ва­ет) на от­рез­ке [a; b].

На за­дан­ном от­рез­ке про­из­вод­ная функ­ции не­от­ри­ца­тель­на, функ­ция на этом от­рез­ке воз­рас­та­ет. Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся на левой гра­ни­це от­рез­ка, т. е. в точке −5.

Ответ: −5.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства при за­дан­ных зна­че­ни­ях по­сто­ян­ной тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха К, на­чаль­но­го дав­ле­ния атм и ко­ли­че­ства воз­ду­ха моль:

Ответ: 11,2.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим вы­пол­ня­е­мую де­воч­ка­ми ра­бо­ту по про­пол­ке гряд­ки за 1. Пусть Катя про­па­лы­ва­ет гряд­ку за минут. Катя и Настя про­па­лы­ва­ют гряд­ку за 24 ми­ну­ты. Таким об­ра­зом,

Тем самым, Катя за ми­ну­ту про­па­лы­ва­ет 1/56 гряд­ки, зна­чит, одна Катя про­по­лет гряд­ку за 56 минут.

Ответ: 56.

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка на­хо­дим, что от­ку­да а по­то­му Тогда

Ответ: 27.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

Ис­ко­мая точка мак­си­му­ма

Ответ: −10.

Ре­ше­ние. а)  Решим урав­не­ние:

б)  Вы­яс­ним, какие из най­ден­ных кор­ней при­над­ле­жат от­рез­ку при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. Под­хо­дят числа:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Че­ты­рех­уголь­ник KLMN  — квад­рат, по­это­му пря­мые KN и LM па­рал­лель­ны. Сле­до­ва­тель­но, пря­мая LM па­рал­лель­на плос­ко­сти ABC. Зна­чит, пря­мые LM и AB лежат в плос­ко­сти ADB и не имеют общих точек, тогда они па­рал­лель­ны. Таким об­ра­зом, пря­мые KN, LM и AB па­рал­лель­ны. Ана­ло­гич­но, пря­мые KL, MN и CD па­рал­лель­ны. Так как пря­мые KL и LM вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, пря­мые AB и CD вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти KLM равно вы­со­те тет­ра­эд­ра BKMN, про­ве­ден­ной из точки B. Ос­но­ва­ни­ем дан­но­го тет­ра­эд­ра яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник KMN, пло­щадь ко­то­ро­го равна

Сле­до­ва­тель­но,

Пусть от­ре­зок AH  — вы­со­та тет­ра­эд­ра ABCD, от­ре­зок KH₁  — вы­со­та тет­ра­эд­ра KBNM. Вы­ра­зим объём тет­ра­эд­ра KBNM через объём тет­ра­эд­ра ABCD:

Под­ста­вим най­ден­ные зна­че­ния:

Ответ: б) 3,6.

Ре­ше­ние. Пусть тогда не­ра­вен­ство при­мет вид:

При по­лу­чим: от­ку­да

При по­лу­чим: от­ку­да

При по­лу­чим: от­ку­да

Ре­ше­ние ис­ход­но­го не­ра­вен­ства:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть сумма кре­ди­та равна S руб­лей, а еже­год­ная вы­пла­та равна x руб­лей. Каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 25%, то есть в раз. За­пол­ним таб­ли­цу.

Год (номер года)	Долг в ян­ва­ре (в руб.)	Вы­пла­та (в руб.)	Долг в июле (в руб.)
2023			S
2024 (1)	kS	x
2025 (2)		x
2026 (3)		x
2027 (4)		x

Вы­ра­зим S:

Тогда, учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем:

Сумма вы­плат равна 375 000 руб­лей, зна­чит, Под­ста­вив это зна­че­ние, на­хо­дим

Ответ: 221 400.

Ре­ше­ние. а)  Пусть O  — центр боль­шей окруж­но­сти. Линия цен­тров ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку ка­са­ния, по­это­му OA  — диа­метр мень­шей окруж­но­сти.

Точка K лежит на окруж­но­сти с диа­мет­ром OA, зна­чит, ∠AKO = 90°. От­ре­зок OK  — пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный из цен­тра боль­шей окруж­но­сти на хорду AB. По­это­му K  — се­ре­ди­на AB. Ана­ло­гич­но, M  — се­ре­ди­на AC, по­это­му KM  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые MK и BC па­рал­лель­ны.

б)  Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр OH на хорду BC. Тогда H  — се­ре­ди­на BC. Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OHB на­хо­дим, что

Пусть Q  — центр мень­шей окруж­но­сти. Тогда пря­мые QP и OH па­рал­лель­ны. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр QF из цен­тра мень­шей окруж­но­сти на OH. Тогда

а из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка APO на­хо­дим, что

От­ре­зок KM  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, по­это­му L сре­ди­на AP. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим два слу­чая. Пер­вый слу­чай:

Вто­рой слу­чай:

Корни и сов­па­да­ют при При этом Корни и сов­па­да­ют при Корни и сов­па­да­ют при

Объ­еди­няя ре­зуль­та­ты, по­лу­ча­ем, что ис­ход­ное урав­не­ние на от­рез­ке [0; 4]:

  — при не имеет кор­ней;

  — при имеет один ко­рень

  — при имеет два корня и

  — при имеет два корня и

  — при имеет один ко­рень

  — при не имеет кор­ней.

Таким об­ра­зом, урав­не­ние имеет ровно один ко­рень на от­рез­ке [0; 4] при или

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да. Пер­вым ходом от ли­ней­ки можно от­ре­зать 8 см и по­лу­чить две ли­ней­ки по 8 см. Вто­рым ходом можно от­ре­зать ото всех ли­не­ек 4 см и по­лу­чить че­ты­ре ли­ней­ки по 4 см. Тре­тьим можно от­ре­зать по 2 см и по­лу­чить 8 ли­не­ек по 2 см. По­след­ним, чет­вер­тым, ходом можно от­ре­зать по 1 см и по­лу­чить 16 ча­стей по 1 см.

б)  Нет. За один ход можно раз­де­лить не­ко­то­рое ко­ли­че­ство ча­стей на две, по­это­му с каж­дым ходом общее ко­ли­че­ство ча­стей уве­ли­чи­ва­ет­ся не более, чем в 2 раза. Сле­до­ва­тель­но, за 5 ходов можно по­лу­чить не более 32 ча­стей, а не­об­хо­ди­мо по­лу­чить 100 ча­стей.

в)  За семь ходов можно по­лу­чить не более 128 ча­стей, а не­об­хо­ди­мо по­лу­чить 200 ча­стей, по­это­му семи ходов не хва­тит. По­ка­жем, как можно раз­де­лить ли­ней­ку за во­семь ходов. Каж­дым ходом, кроме по­след­не­го, будем от­ре­зать ука­зан­ную часть от всех име­ю­щих­ся ли­не­ек. По­след­ним ходом от­ре­жем 1 см толь­ко от ли­не­ек, длина ко­то­рых боль­ше од­но­го сан­ти­мет­ра.

Ответ: а) да, может; б) нет, не может; в) за 8 ходов.