Ре­ше­ние. а)  Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

б)  От­бе­рем корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку с по­мо­щью двой­ных не­ра­венств. Из пер­вой серии кор­ней:

По­лу­чен­но­му про­ме­жут­ку со­от­вет­ству­ет целое зна­че­ние По­лу­ча­ем ко­рень От­бе­рем корни из вто­рой серии:

По­лу­чен­но­му про­ме­жут­ку со­от­вет­ству­ет целое зна­че­ние По­лу­ча­ем ко­рень От­бе­рем корни из тре­тьей серии:

По­лу­чен­но­му про­ме­жут­ку со­от­вет­ству­ют целые зна­че­ния и По­лу­ча­ем корни и

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)   За­ме­тим, что точки A, B, C и D рав­но­уда­ле­ны от точки S, сле­до­ва­тель­но, лежат на сфере с цен­тром в этой точке. Таким об­ра­зом, все эти точки лежат в пе­ре­се­че­нии двух сфер. Пе­ре­се­че­ни­ем двух сфер яв­ля­ет­ся окруж­ность, сле­до­ва­тель­но, точки A, B, C и D лежат на одной окруж­но­сти, в част­но­сти в одной плос­ко­сти. За­ме­тим, что тогда ABCD  — ромб, впи­сан­ный в окруж­ность, и, сле­до­ва­тель­но, квад­рат. Таким об­ра­зом, SABCD  — пи­ра­ми­да в ос­но­ва­нии, ко­то­рой лежит квад­рат, а бо­ко­вые ребра равны, сле­до­ва­тель­но, это пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да.

б)  Пусть O  — центр квад­ра­та ABCD, его пло­щадь: Тогда вы­со­та

Таким об­ра­зом, объём мно­го­гран­ни­ка SABCD равен:

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. Пусть Тогда:

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. Долг умень­ша­ет­ся на 15-е число рав­но­мер­но:

Пер­во­го числа долг воз­рас­та­ет на r про­цен­тов, зна­чит, долг на пер­вое число:

Вы­пла­ты:

Сумма вы­плат будет равна:

Тогда

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. а)  Тре­уголь­ник BOC по­до­бен тре­уголь­ни­ку DOA по двум углам, по­это­му

От­рез­ки AO и ED, DO и AE со­от­вет­ствен­но па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, AODE  — па­рал­ле­ло­грамм, зна­чит, и BO : AE  =  1 : 2, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Тре­уголь­ник AME по­до­бен тре­уголь­ни­ку DMB по двум углам, от­сю­да сле­ду­ет, что

Ана­ло­гич­но

Ответ: б) 2.

Ре­ше­ние. Левая часть ис­ход­но­го урав­не­ния не­от­ри­ца­тель­на при любом до­пу­сти­мом зна­че­нии x, по­это­му при кор­ней нет. Пусть тогда ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид:

Левая часть по­лу­чен­но­го урав­не­ния не­от­ри­ца­тель­на при любом до­пу­сти­мом зна­че­нии x, по­это­му при кор­ней нет. При урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень При по­лу­ча­ем:

Дис­кри­ми­нант квад­рат­но­го урав­не­ния равен

зна­чит, это урав­не­ние имеет два корня при Эти корни равны

и все­гда при­над­ле­жат от­рез­ку по­сколь­ку

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет ровно два раз­лич­ных корня при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да. Пусть, на­при­мер, было на­пи­са­но 50 чисел с сум­мой 10 016 (на­при­мер числа от 1 до 49 и по­след­нее число, ко­то­рое обес­пе­чит нуж­ную сумму), тогда сред­нее ариф­ме­ти­че­ское будет 200,32.

б)  Нет. Если их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно где x целое, то их сумма равна где n  — ко­ли­че­ство чисел. При этом xn целое, а   — не­це­лое, по­сколь­ку не крат­но 25 при

в)  Из ре­ше­ния пунк­та б) сле­ду­ет, что чисел не менее 25. Пусть n  — ко­ли­че­ство чисел, тогда их сумма не мень­ше чем

по­это­му их сред­нее ариф­ме­ти­че­ское не мень­ше

Зна­чит, ми­ни­маль­но зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го не менее 13,32.

Для по­лу­че­ния та­ко­го сред­не­го нужны 25 чисел с сум­мой На роль таких чисел под­хо­дят, на­при­мер,

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  13,32.