PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 12 500 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы?
На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурами воздуха 23 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см
1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.
Найдите корень уравнения
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
На рисунке изображен график функции y = f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите 
Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.
Найдите значение выражения 
Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону 
где t — время с момента начала колебаний, T = 2 с — период колебаний, 
м/с.
где m — масса груза в килограммах, υ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через
Васе надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил
Найдите точку максимума функции 
а) Решите уравнение: 
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [log30,5; log32].
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB = 35, AD = 12, CC1 = 21.
а) Докажите, что высоты треугольников ABD и A1BD, проведённые к стороне BD, имеют общее основание.
б) Найдите угол между плоскостями ABC и A1DB.
Решите неравенство: 
Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой AD = 3BC, CM — высота трапеции.
а) Доказать, что M делит AD в отношении 2 : 1.
б) Найдите расстояние от точки C до середины BD, если AD = 18, AC = 
Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны 
млн
Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за
Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции
больше, чем 
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию 
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.
см2.
см2.
а площадь боковой поверхности 
Из условия имеем: 
м/с.
задач, в последний — 
задач. Всего надо решить 
задач. Поскольку 
где 
имеем: 
задач.
Неравенство 
является верным, следовательно, корень 
принадлежит отрезку [log30,5; log32].
б) 
на плоскость ABCD это прямая AH, то 
по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, высоты треугольников ABD и A1BD имеют общее основание H.
тогда 
и неравенство принимает вид
откуда 
Корнем знаменателя является число 1. Найдём корни числителя:
тогда знаменатель положителен, числитель равен 
Полученное выражение отрицательно, поэтому на промежутке (1; +∞) дробь отрицательна.
тогда знаменатель отрицателен, числитель равен 
поэтому на на промежутке (0; 1) дробь положительна.
получаем
получаем 
получаем
получаем, что второй случай не даёт решений. 
откуда 
Треугольники BCO и MOD равны, поскольку 
угол CBO равен углу ODM, а угол C равен углу M. Тогда 
откуда O — середина BD, CO — искомое расстояние. Из равенства треугольников BCO и MOD следует равенство отрезков CO и OM, откуда 
откуда CD = 10. В треугольнике BCD точка О — середина отрезка BD, поэтому CO — медиана. Найдем ее длину по формуле длины медианы:
то 
или 
причем неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда числа равны. Последним неравенством мы и воспользовались в решении: 
при этом цена составит 
и наименьшему значению 
будет соответствовать наименьшее значение p. Подставив выражение для p в неравенство (⁎), получим
Количество выпускаемой продукции должно быть положительной величиной, поэтому минимальное значение 
то есть на отрезке 
функция имеет вид
Возможное расположение этих парабол показано на рисунках.
принадлежит отрезку 
то наименьшее значение функция может принимать только в точках 
и 
Если 
— то в точке 
больше 
тогда и только тогда, когда:
либо 
или 
и 
Имеем:
верно для всех х. 
и запишем неравенство в виде
а на этом отрезке является отражением лежащей ниже оси абсцисс части этой параболы в верхнюю полуплоскость (см. рис.).
и параболы 
Для этого приравняем к нулю дискриминант квадратного уравнения 
касание происходит именно с графиком функции 
а не с лежащей ниже оси абсцисс частью параболы 
Рассмотрим прямую p, проходящую через точки с координатами (0; −24) и (5; 0). Определим ее угловой коэффициент: 
Сравним угловые коэффициенты k1 и k2:
а потому справа от общей точки (0; −24) касательная проходит ниже прямой p и, значит, касается параболы в точке лежащей выше оси абсцисс. Тем самым подходят все значения k такие, что: 
Возвращаясь к параметру a, получаем: 
откуда находим 
Сумма арифметической прогрессии 1, 2, …, 44 равна 990 < 1000. Значит, наибольшее значение n равно 44.
то 
следовательно, 
Поскольку 
получаем, что 
или 
Прогрессии из 3 и 6 членов с суммой 129 существуют: например, 42, 43, 44 и 19, 20, 21, 22, 23, 24.