Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). На за­дан­ном от­рез­ке лежат корни

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть SO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Про­ек­ция от­рез­ка AS на плос­кость ABC  — это от­ре­зок AO. Про­ек­ция от­рез­ка SC на плос­кость ABC  — это от­ре­зок OC. Сле­до­ва­тель­но, про­ек­ция точки N  — это се­ре­ди­на от­рез­ка OC, точка P. Точки C, P, O, M лежат на одной пря­мой, при­чем CP  =  PO  =  OM, сле­до­ва­тель­но, MP  =  CO  =  AO. Таким об­ра­зом, про­ек­ции от­рез­ков MN и SA на плос­кость ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равны.

б)  Обо­зна­чим вы­со­ту пи­ра­ми­ды за h. Тогда По пунк­ту а) имеем:

сле­до­ва­тель­но,

Тогда

Таким об­ра­зом, для ис­ко­мо­го объ­е­ма по­лу­ча­ем

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Ис­поль­зу­ем свой­ства ло­га­риф­ма, раз­ло­жим на мно­жи­те­ли:

При­ме­ним на луче метод ин­тер­ва­лов (см. рис.) и вы­пи­шем ответ:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Углы A₁BC и A₁AC равны как впи­сан­ные, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу. Сле­до­ва­тель­но,

б)  Вы­чис­лим угол B:

Вы­чис­лим угол B₁A₁A:

Вы­чис­лим угол AA₁C₁:

таким об­ра­зом,

По тео­ре­ме си­ну­сов имеем:

где R  — это ра­ди­ус опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка A₁B₁C_1. окруж­но­сти и 2R  =  AB.

Таким об­ра­зом,

Ответ: б) 3.

Ре­ше­ние. пусть S  — сумма кре­ди­та, а x  — раз­мер еже­год­но­го пла­те­жа. Тогда кре­дит банку был вы­пла­чен по сле­ду­ю­щей схеме:

Таким об­ра­зом, всего банку за два года было вы­пла­че­но 2x = 720 000 руб­лей.

Ответ: 720 000 руб­лей.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что при x < −1 и при x > 1 пер­вая часть пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы не опре­де­ле­на, а при пер­вое урав­не­ние си­сте­мы при­ни­ма­ет вид:

от­ку­да

Вто­рое урав­не­ние си­сте­мы рав­но­силь­но урав­не­нию от­ку­да x  =  a или y  =  a.

Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­я­ми ис­ход­ной си­сте­мы яв­ля­ют­ся пары чисел для ко­то­рых вы­пол­не­но усло­вие

Для пары (a; 2a) усло­вие при­ни­ма­ет вид

Для пары (a; −2a) усло­вие при­ни­ма­ет вид

Для пары усло­вие при­ни­ма­ет вид

Для пары усло­вие при­ни­ма­ет вид

Пары сов­па­да­ют при a  =  0 и по­пар­но раз­лич­ны при дру­гих зна­че­ни­ях a.

Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма урав­не­ний имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть какая-⁠то де­воч­ка со­бра­ла мень­ше гри­бов, чем какой-⁠то маль­чик. До­ба­вим к ним пять дру­гих маль­чи­ков и трёх дру­гих де­во­чек. По­лу­ча­ем, что че­ты­ре де­воч­ки со­бра­ли мень­ше гри­бов, чем шесть маль­чи­ков, что про­ти­во­ре­чит усло­вию, по­сколь­ку любые две де­воч­ки со­бра­ли боль­ше гри­бов, чем любые три маль­чи­ка.

б)  Пусть де­сять маль­чи­ков со­бра­ли 91, 92, ..., 100 гри­бов со­от­вет­ствен­но, а семь де­во­чек 149, 150 ..., 155 гри­бов. Тогда усло­вия за­да­чи вы­пол­не­ны.

в)  Пусть де­сять маль­чи­ков со­бра­ли гри­бов со­от­вет­ствен­но, а семь де­во­чек гри­бов. По усло­вию

По­лу­ча­ем:

от­ку­да

Ана­ло­гич­но,

от­ку­да

Сле­до­ва­тель­но, сум­мар­ное число гри­бов не мень­ше 10 · 5 + 7 · 8  =  106. Если де­сять маль­чи­ков со­бра­ли по 5 гри­бов, а семь де­во­чек по 8 гри­бов, то усло­вия за­да­чи вы­пол­не­ны, а сум­мар­ное число гри­бов равно 106. Таким об­ра­зом, наи­мень­шее сум­мар­ное число гри­бов равно 106.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  106.