1. Тип 13 № 548424 
Источники:
Классификатор алгебры: Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Разложение на множители, Формулы приведения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Применим формулу приведения, разложим на множители:
б) Отберем корни при помощи единичной тригонометрической окружности (см. рис.). Отрезку удовлетворяют корни: 
Ответ: а)
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 548424
а) б)
б) Классификатор алгебры: Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Разложение на множители, Формулы приведения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
откуда 
Пусть BK' = x, применим теорему косинусов: 
является посторонним, поскольку 
то есть меньше высоты треугольника BCM. Теперь заметим, что 
откуда 
При этом 
откуда 
метод интервалов (см. рис.) и выпишем ответ: 
Имеем: 
следовательно, треугольники 
и 
подобны по второму признаку, откуда 
и 
Но по условию 
поэтому отрезки 
и 
равны и параллельны, а значит, 
— параллелограмм по признаку параллелограмма.
а тогда 
По теореме Пифагора в треугольнике AQC имеем: 
По теореме Менелая 
Тогда 
и по теореме Пифагора для треугольника DQC находим 
параллелен 
Тогда по обобщенной теореме Фалеса, примененной к отрезкам 
и параллельным прямым 
получаем: 
Пусть 
тогда из полученного соотношения находим, что 
Снова применим обобщенную теорему Фалеса — для отрезков 
и параллельных прямых
Получим: 
Значит, точка D делит отрезок BB1 так же, как точка А1 делит ВС. По теореме, обратной обобщенной теореме Фалеса, из этого следует параллельность прямых DA1 и B1C, а также подобие треугольников BDA1 и BB1C.
Но по условию 
следовательно, 
Таким образом, противоположные стороны 
и 
Четырехугольник 
По теореме Фалеса для отрезков 
получаем: 
откуда 
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике 
находим 
По теореме Пифагора в треугольнике DQC вычисляем 
откуда 
то есть противоположные стороны 
прямоугольный с гипотенузой 
и катетом 
а потому 
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°, поэтому 
имеем:
Получаем:
задаёт пучок прямых, проходящих через начало координат, симметричных друг другу относительно оси ординат и совпадающих при 
(см. рис., выделено красным). Двойное неравенство 
задает внутреннюю часть горизонтальной полосы, ограниченной прямыми 
и 
Уравнение 
задает окружность с центром в точке 
и радиусом 
Дуга окружности, лежащая в указанной полосе, выделена на рисунке синим. Определим, при каком значении параметра а прямые, задаваемые уравнениями 
имеют с этой дугой окружности ровно две общие точки. 
и 
одинаково. Поэтому искомые значения параметра симметричны относительно нуля. Рассмотрим случай 
Точка 
является решением при любом значении параметра a. Вторая точка пересечения соответствует следующим трем случаям.
если при этом прямая 
не пересекает дугу в точке, отличной от точки 
Этот случай реализуется при 
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то есть перпендикулярна прямой 
содержащий этот радиус (см. рис.). Две прямые на плоскости, отличные от координатных осей, перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно −1. Тем самым 
откуда 
Следовательно, искомое уравнение касательной есть 
что соответствует значениям 
При этом вторая прямая 
пересекает дугу в точке, отличной от начала координат, а значит, найденное значение параметра является искомым.
или 
что невозможно, поскольку сумма чисел всегда не меньше их количества, а следовательно, 
откуда 
то есть 
Противоречие.
Получим:
Найдем производную:
найденная производная отрицательна, функция f убывает, а потому при 