ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д16 C5 № 546986 Добавить в вариант

15 декабря планируется взять кредит в банке на 2400 тысяч рублей на (n + 2) месяца. Условии его возврата таковы:

  — 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 2,5% по сравнению с концом предыдущего месяца;

  — со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

  — 15‐го числа первого и последнего месяца долг должен уменьшиться на 400 тысяч рублей, а во все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца на a тысяч рублей.

Найдите n, если всего банку будет выплачено 3690 тысяч рублей.

Спрятать решение

Решение.

В соответствии с условием задачи заполним таблицу.

Номер месяца	Долг на 1-е число (после начисления процентов), тыс. руб.	Выплата, тыс. руб.	Долг на 15-е число, тыс. руб.
			$2400$
1	$1,025 умножить на 2400$	$460$	$2000$
2	$1,025 умножить на 2000$	$50 плюс a$	$2000 минус a$
3	$1,025 умножить на левая круглая скобка 2000 минус a правая круглая скобка$	$50 плюс 0,975a$	$2000 минус 2a$
...	...	...	...
n	...	...	$400 плюс a$
$n плюс 1$	$1,025 умножить на левая круглая скобка 400 плюс a правая круглая скобка$	$10 плюс 1,025a$	$400=2000 минус na$
$n плюс 2$	$1,025 умножить на 400$	$410$	0

Из равенства $2000 минус na = 400$ получаем, что $na=1600.$ Тогда полная выплата равна

$B = \underset1 минус я выплата\phantom левая круглая скобка 460 \phantom правая круглая скобка плюс \underset2 минус я выплата левая круглая скобка 50 плюс a правая круглая скобка плюс \underset3 минус я выплата левая круглая скобка 50 плюс 0,975a правая круглая скобка плюс \dots плюс \underset левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус я выплата левая круглая скобка 10 плюс 1,025a правая круглая скобка плюс \undersetпоследняя выплата\phantom левая круглая скобка 410. \phantom правая круглая скобка$ $B = \underset1 минус я выплата\phantom левая круглая скобка 460 \phantom правая круглая скобка плюс \underset2 минус я выплата левая круглая скобка 50 плюс a правая круглая скобка плюс \underset3 минус я выплата левая круглая скобка 50 плюс 0,975a правая круглая скобка плюс$
$плюс \dots плюс \underset левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус я выплата левая круглая скобка 10 плюс 1,025a правая круглая скобка плюс \undersetпоследняя выплата\phantom левая круглая скобка 410. \phantom правая круглая скобка$

Все выплаты, кроме первой и последней, составляют арифметическую прогрессию, ее сумма равна

$дробь: числитель: левая круглая скобка 50 плюс a правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 10 плюс 1,025a правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби умножить на n}} = дробь: числитель: 60 плюс 2,025a, знаменатель: 2 конец дроби умножить на n,$

откуда для полной выплаты получаем:

$B = 460 плюс дробь: числитель: 60 плюс 2,025a, знаменатель: 2 конец дроби умножить на n плюс 410 = 30n плюс 1,0125na плюс 870$ тыс. руб.

Учитывая, что полная выплата, по условию, равна 3690 тыс. руб., и что $na=1600,$ получаем:

$30n плюс 1,0125 умножить на 1600 плюс 870=3690 равносильно 30n=1200 равносильно n=40.$

Ответ: 40.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	3
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели и получен результат: – неверный ответ из-за вычислительной ошибки; – верный ответ, но решение недостаточно обосновано	2
Верно построена математическая модель, решение сведено к исследованию этой модели, при этом решение может быть не завершено	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 315. (Часть C)

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь