PDF-версии: 
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Перенесем 
в правую часть, заметим, что сумма 
не принимает отрицательных значений. Следовательно, при условии 
возведение обеих частей уравнения в квадрат является равносильным преобразованием. Имеем:
Выразим множители, стоящие в левой части уравнения, через 
В силу основного тригонометрического тождества 
Чтобы преобразовать первый множитель, воспользуемся формулой 
откуда получим: 
Далее применим формулы косинуса тройного угла 
и косинуса половинного угла 
:
Пусть 
тогда имеем:
Вернемся к исходной переменной, получим уравнение 
откуда 
Учитывая условие 
окончательно получаем: 
б) Чтобы найти корни на заданном отрезке, решим двойное неравенство:
Так как 
правая часть полученного двойного неравенства лежит в интервале (−1; 0). Значения k целые, поэтому наибольшее значение k = −1. Оценим левую часть:
Поскольку 
подходит также значение k = −2. Поскольку 
осталось проверить значение k = −3. Покажем, что 
:
Итак, k = −3, k = −2 или k = −1. Найденным значениям k соответствуют корни 
и 
Ответ: а) 
б) 
Приведем идею другого решения.
Выразим 
через Для этого воспользуемся тем, что
Тогда
Заметим, что 
обозначим 
и сведем задачу к уравнению
откуда получаем уравнение 
с корнями −1 и 
Корень −1 посторонний, поскольку обращает знаменатель 
приводит к уравнению которое, с учетом ОДЗ и условия возведения в квадрат, дает решение
Приведем решение Ларисы Матвеевой.
Перенесем в правую часть, заметим, что сумма не принимает отрицательных значений. Следовательно, при условии возведение обеих частей уравнения в квадрат является равносильным преобразованием. Имеем:
Заметим, что левая часть уравнения неположительна, а правая часть неотрицательна, следовательно, равенство может иметь место только тогда, когда обе части равны 0.
Найдем значения x, при которых
Учитывая ограничение 
получим 
При данном значении x левая часть уравнения (*) также обращается в 0, следовательно, данное значение x является корнем исходного уравнения.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) 
лежит прямоугольный треугольник AВС с прямым углом В. На ребре ВС взята точка L, причем BL : LC = 1 : 2. 
и точку пересечения диагоналей грани 
параллельно АС, проходит через точку L.
Найдите угол между прямыми BQ и LN, если призма 
а точки T и S — точки пересечения сечения с ребром 
и 
соответственно, так как сечение 
которое параллельно 
параллельно и 
и проходит через точку N. Тогда треугольники 
и 
подобны с коэффициентом подобия 
Следовательно, 
Рассмотрим грань 
плоскость α пересекает ее по прямой TE. Пусть прямые TE и BC пересекаются в точке L'. Рассмотрим треугольники 
и 
Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, тогда 
и L является точкой L'. 
Вычислим:
Решая это уравнение, получаем, что 
Таким образом,
тогда имеем 
откуда
получаем, что 
Тогда полная выплата равна 
тыс. руб.
получаем:
не является решением уравнения ни при каком значении параметра a. При 
можно разделить обе части уравнения на 
Получим
является корнем уравнения (⁎), то и число 
тоже является корнем этого уравнения. Тогда уравнение будем иметь единственный корень, только если 
то есть при 
или 
Найдём при каких значениях параметра a эти числа являются корнями уравнения (⁎).
имеем:
где 
тогда 
и уравнение принимает вид
в уравнение (⁎⁎), получим:
в уравнение (⁎⁎), получим:
в уравнение (⁎⁎), получим:
в уравнение (⁎⁎), получим:
чисел, каждое из которых не меньше 2. Значит, общая сумма таких 35 чисел будет не меньше, чем 
Противоречие.
и не больше 69. Пусть она равна 
где 
Удаляя из набора x единиц, получим требуемое.