PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Поезд отправился из Санкт-Петербурга в 23 часа 50 минут и прибыл в Москву в 7 часов 50 минут следующих суток. Сколько часов поезд находился в пути?
Футболка стоила 800 рублей. Затем цена была снижена на 15%. Сколько рублей сдачи с 1000 рублей должен получить покупатель при покупке этой футболки после снижения цены?
На диаграмме показано распределение выплавки меди в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2006 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое место — Казахстан. Какое место занимала Канада?
Строительная фирма планирует купить 70 м3 пеноблоков у одного из трёх поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей нужно заплатить за самую дешёвую покупку с доставкой?
| Поставщик | Стоимость пеноблоков (руб. за 1 м3 ) | Стоимость доставки (руб.) | Дополнительные условия доставки |
| А | 2 600 | 10 000 | Нет |
| Б | 2 800 | 8 000 | При заказе товара на сумму свыше 150 000 рублей доставка бесплатная |
| В | 2 700 | 8 000 | При заказе товара на сумму свыше 200 000 рублей доставка бесплатная |
Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки
1 см
В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
Найдите корень уравнения 
Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол BOC, если угол BAC равен 32°.
На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, x3, ..., x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в
Найдите 
если 
Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость погружения батискафа вычисляется по формуле 
где 
м/с
— частота испускаемых импульсов, f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен
. Найдите образующую конуса.
Весной катер идёт против течения реки в 
раза
раза
Найдите точку максимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку 
В прямоугольном параллелепипеде 
известны рёбра: AB = 3, AD = 2, AA1 = 5. Точка O принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 2 : 3, считая от вершины B.
а) Докажите, что сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C1, является ромбом.
б) Найдите площадь этого сечения.
Решите систему неравенств 
Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции 
больше 1.
На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −8.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
см2.
При увеличении диаметра сосуда в 
уменьшится в 
м/с
МГц
МГц.
(км/ч)
(км/ч);
Составим таблицу по данным задачи.
а значит,
производная положительна, а функция не имеет экстремумов. На луче 
производная обращается в нуль в точке −5, которая является точкой максимума.
и 
имеем: 
изображаются точками 
— точками 
изображается жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: 
и 
б) 
пересекает ребро 
в точке 
Отрезок AP параллелен 
отрезок 
параллелен 
Следовательно, искомое сечение — параллелограмм 
(рис. 1). Далее имеем: 
и 
соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке 
По свойству касательных, проведённых из одной точки, 
и. 
Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный. 
прямой, поэтому он опирается на диаметр 
Значит, 
Аналогично получаем, что 
Следовательно, прямые AD и BC параллельны. 
Пусть 
тогда 
общая высота, следовательно, 
то есть 
Аналогично, 
Площадь трапеции ABCD равна 
Проведём к AD перпендикуляр 
равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника 
откуда 
и 
получаем, что 
График этой функции на рассматриваемом промежутке состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии 
При 
находим 
а график этой функции на рассматриваемом промежутке — часть параболы с ветвями, направленными вниз.
может принять только в точках 
или 
то второе неравенство принимает вид 
откуда 
Этот промежуток содержит интервал 
то 
откуда 
Значит, 
функция принимает вид: 
а ее график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии 
а ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз и осью симметрии 
или 
а если 
(то есть при 
), то в точке 
тогда и только тогда, когда:
— количество целых чисел — делится на 4. По условию 
поэтому 
Таким образом, написано 44 числа.
к виду 
Поскольку 
получаем, что 
откуда 
Следовательно, отрицательных чисел больше, чем положительных.
в правую часть равенства 
откуда 
Поскольку 
получаем: 
то есть положительных чисел не более 17.
указанный набор удовлетворяет всем условиям задачи.