Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 527636
i

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­ли вы­со­ты AA1 и BB1. Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тре­уголь­ни­ка ANA1, где точка N  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB, пе­ре­сек­ла пря­мую A1B1 в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AK ка­са­ет­ся окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей че­ты­рех­уголь­ни­ка ABA1B1 и тре­уголь­ни­ка CA1B1, если ∠ABC  =  45°, AB1  =  BN  =  1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  До­ста­точ­но до­ка­зать, что \angle KAB_1=\angle ABC (лемма о ка­са­тель­ной и хорде). За­ме­тим, что точки A, B1, A1 и B лежат на окруж­но­сти с цен­тром N. Зна­чит,

\angle CB_1A_1=180 гра­ду­сов минус \angle AB_1A_1=\angle ABC,

\angle AKA_1=180 гра­ду­сов минус \angle ANA_1=180 гра­ду­сов минус 2\angle ABC.

Тогда

\angle KAB_1=180 гра­ду­сов минус \angle AKA_1 минус \angle KB_1A=180 гра­ду­сов минус \angle AKA_1 минус \angle CB_1A_1=

=180 гра­ду­сов минус левая круг­лая скоб­ка 180 гра­ду­сов минус 2\angle ABC пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle ABC=\angle ABC.

б)  Если AB_1=BN, то AB_1=B_1N=AN. Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник AB1N рав­но­сто­рон­ний. Зна­чит, \angle CAB=60 гра­ду­сов, \angle ACB=180 гра­ду­сов минус 45 гра­ду­сов минус 60 гра­ду­сов=75 гра­ду­сов. Далее, CA_1=CA умно­жить на ко­си­нус 75 гра­ду­сов, CB_1=CB умно­жить на ко­си­нус 75 гра­ду­сов. Зна­чит, тре­уголь­ни­ки A1B1C и ABC по­доб­ны с k= ко­си­нус 75 гра­ду­сов. Далее:

дробь: чис­ли­тель: S_A_1B_1C, зна­ме­на­тель: S_ABC конец дроби = ко­си­нус в квад­ра­те 75 гра­ду­сов= дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­си­нус 150 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Те­перь найдём пло­ща­дей че­ты­рех­уголь­ни­ка ABA1B1 и тре­уголь­ни­ка CA1B1:

дробь: чис­ли­тель: S_ABA_1B_1, зна­ме­на­тель: S_A_1B_1C конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 минус \dfrac2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби \dfrac2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та 4= дробь: чис­ли­тель: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =7 плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: 7 плюс 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 280
Методы геометрии: Свой­ства ка­са­тель­ных, се­ку­щих
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти, По­до­бие
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025