Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 527636

В треугольнике ABC провели высоты AA1 и BB1. Окружность, описанная вокруг треугольника ANA1, где точка N — середина стороны AB, пересекла прямую A1B1 в точке K.

а) Докажите, что прямая AK касается окружности, описанной около треугольника ABC.

б) Найдите отношение площадей четырехугольника ABA1B1 и треугольника CA1B1, если ∠ABC = 45°, AB1 = BN = 1.

Спрятать решение

Решение.

а) Достаточно доказать, что \angle KAB_1=\angle ABC (лемма о касательной и хорде). Заметим, что точки A, B1, A1 и B лежат на окружности с центром N. Значит,

\angle CB_1A_1=180 градусов минус \angle AB_1A_1=\angle ABC,

\angle AKA_1=180 градусов минус \angle ANA_1=180 градусов минус 2\angle ABC.

Тогда

\angle KAB_1=180 градусов минус \angle AKA_1 минус \angle KB_1A=180 градусов минус \angle AKA_1 минус \angle CB_1A_1=

=180 градусов минус левая круглая скобка 180 градусов минус 2\angle ABC правая круглая скобка минус \angle ABC=\angle ABC.

б) Если AB_1=BN, то AB_1=B_1N=AN. Следовательно, треугольник AB1N равносторонний. Значит, \angle CAB=60 градусов, \angle ACB=180 градусов минус 45 градусов минус 60 градусов=75 градусов. Далее, CA_1=CA умножить на косинус 75 градусов, CB_1=CB умножить на косинус 75 градусов. Значит, треугольники A1B1C и ABC подобны с k= косинус 75 градусов. Далее:

 дробь: числитель: S_A_1B_1C, знаменатель: S_ABC конец дроби = косинус в квадрате 75 градусов= дробь: числитель: 1 плюс косинус 150 градусов, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 2 минус корень из 3, знаменатель: 4 конец дроби .

Теперь найдём площадей четырехугольника ABA1B1 и треугольника CA1B1:

 дробь: числитель: S_ABA_1B_1, знаменатель: S_A_1B_1C конец дроби = дробь: числитель: 1 минус \dfrac2 минус корень из 3, знаменатель: 4 конец дроби \dfrac2 минус корень из 34= дробь: числитель: 2 плюс корень из 3, знаменатель: 2 минус корень из 3 конец дроби = левая круглая скобка 2 плюс корень из 3 правая круглая скобка в квадрате =7 плюс 4 корень из 3.

Ответ: 7 плюс 4 корень из 3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б3
Получен обоснованный ответ в пункте б

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 280.
Классификатор планиметрии: Окружности, Подобие