Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем левую часть урав­не­ния при по­мо­щи фор­му­лы раз­но­сти ко­си­ну­сов:

б)  Отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку Учи­ты­вая, что решим не­ра­вен­ства:

Зна­чит,

Зна­чит,

Зна­чит,

На ука­зан­ном про­ме­жут­ке лежат числа

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть M и N се­ре­ди­ны AB и BC, со­от­вет­ствен­но, L  — точка пе­ре­се­че­ния сред­ней линии MN с вы­со­той BH ос­но­ва­ния, точка O  — центр ос­но­ва­ния. Так как плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию, она па­рал­лель­на SO  — вы­со­те пи­ра­ми­ды. Зна­чит, плос­кость α будет пе­ре­се­кать­ся с плос­ко­стью BSH по пря­мой KL па­рал­лель­ной SO, где K  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α с реб­ром SB. Тогда по тео­ре­ме Фа­ле­са по­лу­ча­ем:

б)  За­ме­тим, что плос­кость α от­се­ка­ет от пи­ра­ми­ды SABC пи­ра­ми­ду KBMN с ос­но­ва­ни­ем BMN и вер­ши­ной K. Вы­чис­лим, какую часть со­став­ля­ет V_KBMN от V_SABC. Из пунк­та а) сле­ду­ет, что KL  — вы­со­та KBMN и Кроме того, как пло­щадь тре­уголь­ни­ка, от­се­ка­е­мо­го сред­ней ли­ни­ей MN. Зна­чит,

Таким об­ра­зом, от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость α раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду SABC, со­став­ля­ет 3 : 13.

Ответ: б) 3 : 13.

Ре­ше­ние. Най­дем об­ласть опре­де­ле­ния не­ра­вен­ства:

На най­ден­ной об­ла­сти опре­де­ле­ния

от­ку­да имеем:

Учи­ты­вая, что по­лу­ча­ем, что

Ответ:

При­ме­ча­ние.

От­ме­тим, что в общем слу­чае спра­вед­ли­во сле­ду­ю­щее пред­став­ле­ние ло­га­риф­ма про­из­ве­де­ния:

Ре­ше­ние. а)  До­ста­точ­но до­ка­зать, что (лемма о ка­са­тель­ной и хорде). За­ме­тим, что точки A, B₁, A₁ и B лежат на окруж­но­сти с цен­тром N. Зна­чит,

Тогда

б)  Если то Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник AB₁N рав­но­сто­рон­ний. Зна­чит, Далее, Зна­чит, тре­уголь­ни­ки A₁B₁C и ABC по­доб­ны с Далее:

Те­перь найдём пло­ща­дей че­ты­рех­уголь­ни­ка ABA₁B₁ и тре­уголь­ни­ка CA₁B₁:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть банк на­чис­ля­ет r про­цен­тов, то есть умно­жа­ет оста­ток долга на Тогда пер­вые три пла­те­жа со­став­ля­ли мил­ли­о­нов руб­лей. Пусть далее чет­вер­тый и пятый пла­те­жи со­став­ля­ли N мил­ли­о­нов руб­лей. Тогда от­ку­да По усло­вию, общие вы­пла­ты со­ста­вят 6,1 млн руб., от­ку­да имеем:

Тогда

Ответ: 10.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Дата	Долг до вы­пла­ты,	Вы­пла­та,	Долг после вы­пла­ты,
01.07.2016	4200
01.01.2017
01.02.2017		42r
01.07.2017			4200
01.01.2018
01.02.2018		42r
01.07.2018			4200
01.01.2019
01.02.2019		42r
01.07.2019			4200
01.01.2020
01.02.2020		x
01.07.2020
01.01.2021
01.02.2022		x	0

1)  

2)   от­ку­да

Рас­че­ты будем вести в тыс. руб.

1.  По­сколь­ку в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг кли­ен­та будет равен сумме взя­то­го кре­ди­та, то в те­че­ние пер­вых трех из пяти лет кли­ент будет вы­пла­чи­вать кре­ди­то­ру лишь про­цент­ные на­чис­ле­ния за пер­вые три года. Общая сумма вы­пла­чен­ных де­неж­ных средств со­ста­вит (тыс. руб.) Сле­до­ва­тель­но, за по­след­ние два рас­чет­ных года кли­ент вы­пла­тит кре­ди­то­ру тыс. руб. А это зна­чит, что суммы вы­плат 2020 года и ана­ло­гич­ная сумма 2021 года со­ста­вят по (тыс. руб.) каж­дая.

2.  По усло­вию за­да­чи к ян­ва­рю 2020 года долг кли­ен­та со­ста­вит 4200 тыс. руб. В ян­ва­ре 2020 г этот долг воз­рас­тет до (тыс. руб.).

С фев­ра­ля по июнь кли­ент вы­пла­тит кре­ди­то­ру сумму тыс. руб. Долг к июлю 2020 г. со­ста­вит (тыс. руб.)

3.  К ян­ва­рю 2021 года долг кли­ен­та со­ста­вит тыс. руб. В ян­ва­ре 2020 г. этот долг воз­рас­тет до

С фев­ра­ля по июнь кли­ент вы­пла­тит кре­ди­то­ру сумму тыс. руб. Долг будет по­га­шен пол­но­стью. Сле­до­ва­тель­но,

Вто­рой ко­рень не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи.

Ответ: 10.

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 513923.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что

В си­сте­ме ко­ор­ди­нат xOa гра­фи­ком по­лу­чен­ной со­во­куп­но­сти, а зна­чит, и гра­фи­ком ис­ход­но­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся объ­еди­не­ние вер­ти­каль­ной пря­мой и гра­фи­ка функ­ции Для по­стро­е­ния эс­ки­за гра­фи­ка ис­сле­ду­ем функ­цию с по­мо­щью про­из­вод­ной.

Найдём об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции:

Найдём про­из­вод­ную:

За­ме­тим, что точка не вхо­дит в об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции. Зна­чит, един­ствен­ной кри­ти­че­ской точ­кой яв­ля­ет­ся От­ме­тим на ри­сун­ке знаки про­из­вод­ной и по­ве­де­ние функ­ции:

Вы­чис­лим зна­че­ния:

За­ме­тим, что при зна­че­ния

Эскиз гра­фи­ка ис­ход­но­го урав­не­ния изоб­ражён на ри­сун­ке синим цве­том. Число кор­ней урав­не­ния в за­ви­си­мо­сти от па­ра­мет­ра a опре­де­лим по числу точек пе­ре­се­че­ния гра­фи­ка урав­не­ния с со­от­вет­ству­ю­щи­ми го­ри­зон­таль­ны­ми пря­мы­ми (не­ко­то­рые из этих пря­мых изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке крас­ным цве­том).

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние:

− при имеет один ко­рень;

− при   — три корня;

− при   — че­ты­ре корня;

− при   — три корня;

− при   — два корня.

Зна­чит, чётное число ре­ше­ний урав­не­ние имеет при или

Ответ:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

За­ме­тим, что

Тем самым, при любом зна­че­нии па­ра­мет­ра число 0 яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем урав­не­ния. Сле­до­ва­тель­но, чтобы число ре­ше­ний было чет­ным, урав­не­ние долж­но иметь не­чет­ное число ре­ше­ний при Для этого урав­не­ние (*) долж­но иметь не­чет­ное число ре­ше­ний на об­ла­сти опре­де­ле­ния ис­ход­но­го урав­не­ния за ис­клю­че­ни­ем точки 0.

Найдём об­ласть опре­де­ле­ния ис­ход­но­го урав­не­ния:

По­стро­им эскиз гра­фи­ка функ­ции Най­дем про­ме­жут­ки мо­но­тон­но­сти и экс­тре­му­мы функ­ции:

Обо­зна­чая и решая урав­не­ние на­хо­дим: или от­ку­да, воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­ча­ем Знаки про­из­вод­ной и по­ве­де­ние функ­ции ука­жем на ри­сун­ке.

Найдём экс­тре­му­мы функ­ции:

Эскиз гра­фи­ка функ­ции y(x) изоб­ражён на ри­сун­ке. За­ме­тим, что и вы­де­лим цве­том части гра­фи­ка для Ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния (*) равно ко­ли­че­ству точек пе­ре­се­че­ния вы­де­лен­ной части гра­фи­ка с го­ри­зон­таль­ны­ми пря­мы­ми оно нечётно при

Воз­вра­ща­ясь к па­ра­мет­ру a, на­хо­дим:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)   Пред­по­ло­жим, на доске на­пи­са­но число 300. Тогда возьмём 99 наи­мень­ших раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел и число 300:

Их сумма Зна­чит, если на доске на­пи­са­но число 300, то сумма всех на­пи­сан­ных чисел не может быть мень­ше 5250, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

б)  Пред­по­ло­жим, на доске не на­пи­са­но число 17. Тогда возьмём числа

Их сумма Зна­чит, если на доске не на­пи­са­но число 17, то сумма всех на­пи­сан­ных чисел не может быть мень­ше 5134, что про­ти­во­ре­чит усло­вию.

в)  Пер­вы­ми ше­стью чис­ла­ми, крат­ны­ми 17, яв­ля­ют­ся числа 17, 34, 51, 68, 85, 102. Пред­по­ло­жим, что на доске мень­ше трёх чисел, крат­ных 17. Возьмём сто раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел от 1 до 100, и три числа 51, 68 и 85 за­ме­ним на 101, 103, 104 (сле­ду­ю­щие наи­мень­шие числа, не крат­ные 17). По­лу­ча­ем числа

Их сумма Зна­чит, если на доске на­пи­са­но мень­ше трёх чисел, крат­ных 17, то сумма всех на­пи­сан­ных чисел не может быть мень­ше 5154, что про­ти­во­ре­чит усло­вию. Зна­чит, на доске не может быть на­пи­са­но мень­ше трёх чисел, крат­ных 17.

При­ведём при­мер, для ко­то­ро­го вы­пол­ня­ют­ся все усло­вия за­да­чи, когда на доске на­пи­са­но три числа крат­ных 17 (17, 34 и 51):

Ответ: а) нет, б) нет, в) 3.