Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д11 C3 № 510967
i

Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

 си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 9 умно­жить на 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 19,  новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x плюс 30 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни 4 минус 2x в кубе плюс x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .  конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы.

Пусть 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =t боль­ше или равно 1. тогда дан­ное не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид t плюс дробь: чис­ли­тель: 18, зна­ме­на­тель: t конец дроби минус 19 боль­ше или равно 0.

Учи­ты­вая усло­вие t боль­ше или равно 1, по­лу­ча­ем

 си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка t в квад­ра­те минус 19t плюс 18 боль­ше или равно 0,  новая стро­ка t боль­ше или равно 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний  новая стро­ка t=1,  новая стро­ка t боль­ше или равно 18. конец со­во­куп­но­сти .

 

Имеем:

1)   2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =1 рав­но­силь­но x=0.

2)   2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 18 рав­но­силь­но x в квад­ра­те боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка 18 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний  новая стро­ка x мень­ше или равно минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та 3 пра­вая круг­лая скоб­ка ,  новая стро­ка x боль­ше или равно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та 3 пра­вая круг­лая скоб­ка . конец со­во­куп­но­сти .

Мно­же­ство ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы:  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка 0 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 конец ар­гу­мен­та ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Решим те­перь вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы.

За­ме­тим, что при x боль­ше минус 3 и x не равно минус 2 ис­ход­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но не­ра­вен­ству:

 дробь: чис­ли­тель: де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x плюс 30 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x в сте­пе­ни 4 минус 2x в кубе плюс x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

По­ло­жив в по­след­нем не­ра­вен­стве y=x в квад­ра­те минус x, по­лу­ча­ем:

 дробь: чис­ли­тель: де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка y плюс 30 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка y минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: де­ся­тич­ный ло­га­рифм y в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка y минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: де­ся­тич­ный ло­га­рифм y в квад­ра­те минус де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка y плюс 30 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка y минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус де­ся­тич­ный ло­га­рифм 1 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: y в квад­ра­те минус y минус 30, зна­ме­на­тель: y минус 2 конец дроби мень­ше или равно 0,  новая стро­ка y боль­ше 1  конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка y минус 6 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка y плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: y минус 2 конец дроби мень­ше или равно 0,  новая стро­ка y боль­ше 1.  конец си­сте­мы . рав­но­силь­но 2 мень­ше y мень­ше или равно 6.

Таким об­ра­зом, имеем:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка x в квад­ра­те минус x боль­ше 2,  новая стро­ка x в квад­ра­те минус x мень­ше или равно 6 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка x в квад­ра­те минус x минус 2 боль­ше 0,  новая стро­ка x в квад­ра­те минус x минус 6 мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка левая квад­рат­ная скоб­ка \beginarrayl x мень­ше минус 1, x боль­ше 2. \endarray .  новая стро­ка минус 2 мень­ше или равно x мень­ше или равно 3 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний  новая стро­ка минус 2 мень­ше или равно x мень­ше минус 1, новая стро­ка 2 мень­ше x мень­ше или равно 3. конец со­во­куп­но­сти .

Учи­ты­вая то, что x не равно минус 2, по­лу­ча­ем мно­же­ство ре­ше­ний вто­ро­го не­ра­вен­ства:  левая круг­лая скоб­ка минус 2; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2;3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

При­ни­мая во вни­ма­ние, что 3 мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка 9 мень­ше 4 рав­но­силь­но 4 мень­ше 1 плюс 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка 3 мень­ше 5 рав­но­силь­но 2 мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше ко­рень из { 5, на­хо­дим ре­ше­ние дан­ной си­сте­мы:  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно x мень­ше или равно 3.

 

Ответ:  левая квад­рат­ная скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс 2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та 3 пра­вая круг­лая скоб­ка ;3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .


-------------
Дублирует задание № 501397.
Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах си­сте­мы2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном из не­ра­венств си­сте­мы 1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: Проб­ный ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке. Санкт-Пе­тер­бург 2013. Ва­ри­ант 1