а)  Так как пе­ри­метр равен 4000, то сумма смеж­ных сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна 2000. Из­вест­но, что наи­боль­шее зна­че­ние пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка при фик­си­ро­ван­ном пе­ри­мет­ре до­сти­га­ет­ся в том слу­чае, если он яв­ля­ет­ся квад­ра­том. Таким об­ра­зом, его сто­ро­ны долж­ны быть равны 1000, что не про­ти­во­ре­чит усло­вию (длины обеих сто­рон на­ту­раль­ные числа, длина одной сто­ро­ны равна 100% от длины дру­гой). Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка равно 1 000 000.

б)  Пусть мень­шая сто­ро­на пря­мо­уголь­ни­ка (или рав­ная дру­гой сто­ро­не, если это квад­рат) равна x тогда дру­гая сто­ро­на равна В этом слу­чае пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна Гра­фи­ком дан­ной функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вниз, а число x не пре­вос­хо­дит абс­цис­сы вер­ши­ны па­ра­бо­лы. Сле­до­ва­тель­но, зна­че­ние функ­ции будет тем мень­ше, чем даль­ше на­хо­дит­ся число x от абс­цис­сы вер­ши­ны. Таким об­ра­зом, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся при а тогда пло­щадь равна 1999. В этом слу­чае усло­вие также со­блю­да­ет­ся, так как число 1999 равно 199900% от числа 1.

в)  Пусть a  ― это сто­ро­на, n% от ко­то­рой равны дру­гой сто­ро­не. Тогда дру­гая сто­ро­на равна По­сколь­ку сумма смеж­ных сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна 2000, по­лу­ча­ем:

a и n ― целые числа, по­это­му число 200 000 крат­но числу

За­ме­тим, что так как Сле­до­ва­тель­но, тре­бу­ет­ся найти все де­ли­те­ли числа 200 000, мень­шие 200, но боль­шие 100. Так как то ис­ко­мый де­ли­тель может со­дер­жать в своем раз­ло­же­нии на про­стые мно­жи­те­ли лишь 2 и 5, при­чем со­от­вет­ству­ю­щие сте­пе­ни не пре­вос­хо­дят 6 и 5.

Воз­мож­ны три слу­чая:

1)  Число не де­лит­ся на 5. Тогда оно может быть толь­ко сте­пе­нью двой­ки, при­чем не более чем ше­стой. Но тогда оно не пре­вос­хо­дит 64, что мень­ше 100.

2)  Число де­лит­ся на 5, но не де­лит­ся на 25. Из чисел вида в ис­ко­мый про­ме­жу­ток по­па­да­ет толь­ко число В этом слу­чае а пло­щадь равна 937 500.

3)  Число де­лит­ся на 25. В этом слу­чае оно может быть равно 125, 150 или 175. Но число 150 де­лит­ся на 3, а 175 де­лит­ся на 7, зна­чит, они оба не яв­ля­ют­ся де­ли­те­ля­ми числа 200 000. Если же 100 + n  =  125, то a  =  1600, а пло­щадь равна 640 000.

Ответ: а)  1 000 000; б)  1999; в)  937 500 или 640 000.