PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В городе N живет 200 000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых жителей 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т. п.). Сколько взрослых жителей работает?
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Симферополе за каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев, когда среднемесячная температура превышала 20 градусов Цельсия.
Какого радиуса должна быть окружность с центром в точке P (8; 6), чтобы она касалась оси ординат?
В первом банке один фунт стерлингов можно купить за 47,4 рубля. Во втором банке
Найдите корень уравнения 
В ромбе ABCD угол ACD равен 43°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Найдите значение выражения 
при 
На рисунке изображён график некоторой функции 
(два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите
Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.
Объем куба равен 52. Найдите объем треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.
Расстояние (в км) от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h километров над землeй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле 
где 
(км)
По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.
Найдите точку минимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Длины ребер AB, AA1 и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равны соответственно 12, 16 и 15.
а) Докажите, что объем пирамиды A1BDC1 втрое меньше объема параллелепипеда.
б) Найдите расстояние от вершины A1 до прямой BD1.
Решите систему неравенств
Стороны AB и BC треугольника ABC равны соответственно 26 и 14,5, а его высота BD равна 10. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABD и BCD.
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 
не имеет решений.
Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 4000. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n ― также натуральное число.
а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?
б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?
в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n < 100.
:
Поэтому 
в уравнение
Следовательно, 
и на полуинтервале 
Осталось изучить дифференцируемость F в точке 3. Найдем левостороннюю и правостороннюю производные:
Теперь можно утверждать, что функция F является первообразной для f на всей области определения. Для ответа на вопрос задачи осталось найти разность значений первообразной в точках 
а во второй — 
то соответственно: 
и 
откуда следуют более удобные для вычислений формулы:
и 
Из приведенных выше рассуждений следует, что 
и 
Но система уравнений 
является касательной к параболе 
является касательной к параболе 
то есть уравнение 
имеет ровно один корень, равный 3, а значит, для любого значения С эти прямая и парабола имеют единственную общую точку — точку касания.
К сожалению, приведенное авторами решение (см. ниже) нельзя признать полностью удовлетворительным, поскольку в нем не проверяется дифференцируемость найденной первообразной в точке 1. Предостерегаем читателя от этой ошибки.
разобран полностью без упущений.
имеем: 
при заданном значении R:
м, 
Найдем производную заданной функции: 
Найдем нули производной: 
или 
а из уравнения 
получаем 
или 
принадлежат числа 
б) 
тогда данное неравенство принимает вид 
получаем
и 
исходное неравенство равносильно неравенству: 
получаем: 
получаем множество решений второго неравенства: 
находим решение данной системы: 
или 
задает на координатной плоскости «верхнюю» полуплоскость с границей 
а уравнение 
при 
― окружность с центром 
и радиусом 
(см. рис.).
откуда 
уравнение, а, следовательно, и вся система решений не имеют, а при 
решением уравнения является пара 
которая не удовлетворяет неравенству 
тогда другая сторона равна 
В этом случае площадь прямоугольника равна 
Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а число x не превосходит абсциссы вершины параболы. Следовательно, значение функции 
будет тем меньше, чем дальше находится число x от абсциссы вершины. Таким образом, наименьшее значение функции достигается при 
а тогда площадь равна 1999. В этом случае условие также соблюдается, так как число 1999 равно 199900% от числа 1.
Поскольку сумма смежных сторон прямоугольника равна 2000, получаем:
так как 
Следовательно, требуется найти все делители числа 200 000, меньшие 200, но большие 100. Так как 
то искомый делитель может содержать в своем разложении на простые множители лишь 2 и 5, причем соответствующие степени не превосходят 6 и 5. 
не делится на 5. Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не более чем шестой. Но тогда оно не превосходит 64, что меньше 100.
в искомый промежуток попадает только число 
В этом случае 
а площадь равна 937 500.