PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 120 рублей за штуку и продает с наценкой 20%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1000 рублей?
На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней выпадало более 2 миллиметров осадков.
Средняя линия трапеции равна 12, площадь равна 96. Найдите высоту трапеции.
Рейтинговое агентство определяет рейтинг соотношения «цена-качество» микроволновых печей. Рейтинг начисляется на основе средней цены P и оценок функциональности F, качества Q и дизайна D. Каждый отдельный показатель оценивается экспертами по 5-балльной шкале целыми числами от 0 до 4. Итоговый рейтинг вычисляется по формуле
В таблице даны оценки каждого показателя для нескольких моделей печей. Определите, какая модель имеет наивысший рейтинг. В ответ запишите значение этого рейтинга.
| Модель печи | Средняя цена | Функциональность | Качество | Дизайн |
| А | 5800 | 2 | 2 | 4 |
| Б | 4200 | 1 | 0 | 1 |
| В | 4300 | 4 | 3 | 2 |
| Г | 3900 | 2 | 0 | 3 |
Найдите корень уравнения: 
Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, синус внешнего угла при вершине A равен
Найдите 
Найдите 
если 
и 
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S — вершина,
Найдите боковое ребро 
Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле 
где 
кг
м/с
а 
определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 400 000 Па. Ответ выразите в метрах.
Часы со стрелками показывают 8 часов ровно. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
Найдите точку минимума функции 
принадлежащую промежутку 
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра 
SC = 25. M — середина ребра SA.
а) Докажите, что проекции точек S и M на плоскость основания делят высоту AN треугольника ABC на три равные части.
б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой MN.
Решите систему неравенств 
На стороне BA угла ABC, равного 30°, взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и D и касающейся прямой BC.
Найдите все значения a, при которых уравнение 
на промежутке 
имеет ровно два корня.
Число S таково, что для любого представления S в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 19.
а) Может ли число S быть равным 38?
б) Может ли число S быть больше 37,05?
в) Найдите максимально возможное значение S.
(2 + 2) + 4 
определяем, что 
Тогда
при заданном значении массы навеса и колонны 
кг:
круга
круга
круга. С момента первой встречи до момента четвёртой встречи минутная стрелка должна опередить часовую на три круга. Всего 
круга. Поэтому необходимое время равно 
часа, или 240 минут.
минуты. Пока минутная стрелка пройдет эти 
минуты. Таким образом, расстояния в минутах между стрелками составляют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом 
и знаменателем 
Значит, время до первой встречи стрелок является суммой этой прогрессии:
(мин.)
и знаменателем 
(мин.)
— лежит на отрезке AN. M — середина AS, поэтому 
Проекцией прямой MN является прямая AN, следовательно, угол 
— искомый. 
где O — центр основания, значит, 
— средняя линия треугольника ASO, поэтому 
Тогда 
и 
Из прямоугольного треугольника 
находим:
находим:
получаем: 
откуда находим решение первого неравенства системы: 
или 
откуда 
или 
Пересекая полученные решения найдём множество решений исходной системы неравенств: 
следовательно, 
и 
Исследуем 
на промежутке 
все значения функции 
на промежутке 
— положительны, поэтому при 
функция 
Функция 
а 
уравнение 
Это уравнение сводится к уравнению 
Будем считать, что 
поскольку случай 
поэтому при 
это уравнение не имеет корней; при 
уравнение имеет единственный корень, равный 2; при 
уравнение имеет два корня.
Тогда оба корня меньше 5, поскольку при 
значения функции 
неположительны, а значения функции 
положительны. По теореме Виета сумма корней равна 4, а произведение равно 
Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку 
а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда 
и 
на промежутке 
растягиваемый в a раз. 
решений нет. Ровно два решения возможно, когда 
дискриминант должен быть равен нулю. 
По условию 
не подходит. Таким образом, до 
и 
уравнение имеет либо 0, либо 3 решения.
функция 
Тогда при 
будет всего два решения, поскольку будет всего два пересечения.
При разделении этих слагаемых на две группы в одной из них окажется не менее 20 чисел, сумма которых равна 
Пусть 
Рассмотрим разбиение числа S на 39 слагаемых, равных 
Можно считать, что слагаемые упорядочены по невозрастанию: 
Первую группу составим из k наибольших слагаемых так, чтобы 
тогда 
то есть 
и 
Полученное противоречие доказывает, что 
Поэтому сумма слагаемых во второй группе 
не удовлетворяет условию задачи. Значит, максимально возможное значение S равно 37,05.
Упорядочим слагаемые по неубыванию и будем добавлять в первую группу меньшие слагаемые, начиная с первого. При добавлении очередного слагаемого Х в первую группу сумма слагаемых в ней превысит 19. Это слагаемое из первой группы исключим и будем рассматривать отдельно, а все остальные слагаемые (большие или равные Х) поместим во вторую группу. Пусть S1 — сумма слагаемых в первой группе, S2 — сумма слагаемых во второй группе, причем 
и 
тогда 
поскольку 
Но тогда и любое слагаемое из второй группы больше 0,95. Учитывая, что 
получим, что во второй группе должно быть не более 18 слагаемых. Каждое слагаемое меньше 1, поэтому 
При 
и 
получим, что 
Это противоречит условию. Следовательно, S1 не может быть меньше 18,05: в этом случае S2 + X не превосходит 19. Отнесем Х ко второй группе, и искомое разбиение будет достигнуто.