PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 521417 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Группировка, Формулы двойного угла
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения
i
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Перепишем уравнение в виде 
Либо 
откуда 
Либо 
откуда 
б) На указанном промежутке лежат 
и 
поскольку 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 521417
а) б)
б) Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Группировка, Формулы двойного угла
где ACBD параллелограмм. Пусть α — плоскость сечения. Прямая 
параллельна прямой 
поэтому α параллельна плоскости 
Пусть T — середина 
тогда плоскости 
и 
пересекаются по прямой BT. Тогда α и 
Прямая KN параллельна прямой BT, причем 
Далее, плоскости 
пересекаются по прямой 
значит, α пересекает 
Плоскость α пересекается с 
по прямой EF, параллельной прямой 
Далее, плоскость α пересекается с ABC по прямой NR, параллельной прямой KE, 
Плоскость α пересекается с 
по прямой RF. Пятиугольник NKEFR — искомое сечение.
и NMA получим, что 
поэтому: 
значит: 
и 
— прямоугольные с общим острым углом 
и 
откуда 
а тогда 
наконец, углы MEF и MKC равны как вписанные, опирающиеся на дугу MF. Тогда 
а это соответственные углы при прямых EF и AB, которые пересекает секущая AC. Тем самым, данные прямые параллельны, и 
Подставляя полученное соотношение в равенство (1), находим: 
и 
— прямоугольные, 
Полагая PN = x, получаем: 
и 
также прямоугольные, 
Отсюда находим, что 
Подставляя (2), получим уравнение 
Его единственным решением является 
и 
После второго в первой коробке стало красных 
во второй красных стало 
Из условия получаем
откуда x кратно 5 и не превосходит 90.
кратно 10, откуда x кратно 10.
откуда 
Тогда 
и все условия задачи выполнены.
имеет решение при любом значении параметра а.
имело решение при любом 
То есть чтобы функция 
принимала все значения. (если знаменатель равен 0, то 
это может пригодиться лишь при 
Сразу запомним, что при 
решение точно есть, поэтому значение 0 можно не принимать). Можно ограничиться положительными (или отрицательными) значениями, поскольку функция нечетна. Заметим также, что при 
имеем 
поэтому при достаточно больших 
она по модулю не превосходит 1. Если она непрерывна, то на конечном промежутке, где 
Если 
то знаменатель всегда отрицателен и не имеет корней.
или 
имеем 
Она принимает все значения, кроме 0, поэтому подходит.
то знаменатель имеет корни, по разные стороны от которых он имеет разный знак. Тем самым функция меняется от 
до минус бесконечности при y от 
и от бесконечности до нуля при y от 
Тогда 
при 
и 
при 
Тогда на втором промежутке функция всюду отрицательна и принимает значения отминус бесконечности до нуля. По непрерывности она принимает их все.
содержит ровно 
целых чисел. Это позволяет сразу привести примеры:
для всех чисел до 10.
где d — разность прогрессии. Но тогда в каждых четырех подряд членах прогрессии попадается целое число, а 50 чисел можно разбить на 12 четверок и еще два числа.