Три числа назовём хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника.
Три числа назовём отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.
а) Даны 5 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной хорошей тройки?
б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?
в) Даны 10 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?
а) Если числа равны 1, 2, 4, 8, 16, то никакие три из них не образуют хорошую тройку.
Другой пример — последовательность чисел Фибоначчи без первой единицы: 1, 2, 3, 5, 8.
б) Если одно из чисел является длиной гипотенузы для двух треугольников, какое-то из оставшихся трёх чисел является длиной катета для этих двух треугольников, а тогда треугольники окажутся равными по гипотенузе и катету. Значит, каждое число может быть длиной гипотенузы не более чем одного треугольника. При этом два самых маленьких числа не могут являться длиной гипотенузы треугольника. Значит, среди четырёх чисел можно найти не более двух отличных троек.
Другое рассуждение для п. б). Расположим числа в порядке возрастания: 
и отметим, что гипотенузой могут быть только два больших числа. Запишем три равенства на гипотенузу треугольника: 
и заметим, что из последних двух равенств следует равенство чисел 
противоречащее условию.
в) Упорядочим числа по возрастанию. Самое большое из них может быть длиной гипотенузы не более чем в четырех треугольниках (в противном случае одно из оставшихся 9 чисел будет длиной катета в двух треугольниках с данной гипотенузой, а тогда эти треугольники будут равны по гипотенузе и катету). Аналогично, второе по величине число может быть длиной гипотенузы не более чем в четырех треугольниках, третье и четвёртое — в трех, пятое и шестое — в двух. седьмое и восьмое — в одном. Итого. отличных троек может получиться не более 20. Двадцать отличных троек найдётся, например, для следующего набора чисел: 
Ответ: а) да; б) нет; в) 20.
Примечание.
Заметим, что при решении пункта б) не требуется, чтобы числа были натуральными, ни даже целыми. Никакие четыре различных числа не могут дать три пифагоровы тройки.
С другой стороны, отметим, что четыре различных натуральных числа могут образовать одну пифагорову тройку, но не могут образовать двух пифагоровых троек. В теории чисел этот факт известен как одна из эквивалентных формулировок теоремы Ферма о прямоугольном треугольнике: не существует двух пифагоровых троек, в которых два катета одной тройки являются катетом и гипотенузой другой тройки. Доказательство этого факта было дано самим Ферма и может быть исследовано читателем самостоятельно.