РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 19903861

А. Ларин: Тренировочный вариант № 206.

Дано уравнение $синус левая круглая скобка 2x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = косинус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс синус левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ;0 правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Точки М, N и К принадлежат соответственно ребрам АD, AB и BC тетраэдра ABCD, причем АМ : МD  =  2 : 3, ВN : АN  =  1 : 2, ВК  =  КС.

а)  Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K.

б)  Найдите отношение, в котором секущая плоскость делит ребро CD.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Решите неравенство: $корень из: начало аргумента: 9 минус дробь: числитель: 9, знаменатель: x конец дроби конец аргумента меньше x минус корень из: начало аргумента: x минус дробь: числитель: 9, знаменатель: x конец дроби конец аргумента .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Диагонали АС и СЕ правильного шестиугольника ABCDEF разделены точками M и N так, что АМ : АС  =  СN : СЕ и точки В, М и N лежат на одной прямой.

а)   Докажите, что точки В, О, N и D лежат на одной окружности (точка О  — центр шестиугольника).

б)  Найдите отношение АМ : АС.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Митрофан хочет взять в кредит 1,7 млн. рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Митрофан взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 300 тысяч рублей?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	3
Получено верное выражение для суммы платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу.	2
Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено ИЛИ верный ответ найден подбором.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение $a плюс корень из: начало аргумента: 6x минус x в квадрате минус 8 конец аргумента =3 плюс корень из: начало аргумента: 1 плюс 2ax минус a в квадрате минус x в квадрате конец аргумента$ имеет ровно один корень.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Три числа назовём хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника.

Три числа назовём отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.

а)  Даны 5 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдётся ни одной хорошей тройки?

б)  Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?

в)  Даны 10 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?

Решение. а)  Если числа равны 1, 2, 4, 8, 16, то никакие три из них не образуют хорошую тройку.

Другой пример  — последовательность чисел Фибоначчи без первой единицы: 1, 2, 3, 5, 8.

б)  Если одно из чисел является длиной гипотенузы для двух треугольников, какое-то из оставшихся трёх чисел является длиной катета для этих двух треугольников, а тогда треугольники окажутся равными по гипотенузе и катету. Значит, каждое число может быть длиной гипотенузы не более чем одного треугольника. При этом два самых маленьких числа не могут являться длиной гипотенузы треугольника. Значит, среди четырёх чисел можно найти не более двух отличных троек.

Другое рассуждение для п. б). Расположим числа в порядке возрастания: $a меньше b меньше c меньше d$ и отметим, что гипотенузой могут быть только два больших числа. Запишем три равенства на гипотенузу треугольника: $a в квадрате плюс b в квадрате =c в квадрате ,$ $b в квадрате плюс c в квадрате =d в квадрате ,$ $a в квадрате плюс c в квадрате =d в квадрате ,$ и заметим, что из последних двух равенств следует равенство чисел $a=b,$ противоречащее условию.

в)  Упорядочим числа по возрастанию. Самое большое из них может быть длиной гипотенузы не более чем в четырех треугольниках (в противном случае одно из оставшихся 9 чисел будет длиной катета в двух треугольниках с данной гипотенузой, а тогда эти треугольники будут равны по гипотенузе и катету). Аналогично, второе по величине число может быть длиной гипотенузы не более чем в четырех треугольниках, третье и четвёртое  — в трех, пятое и шестое  — в двух. седьмое и восьмое  — в одном. Итого. отличных троек может получиться не более 20. Двадцать отличных троек найдётся, например, для следующего набора чисел: $1, корень из 2 , корень из 3 ,... корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Ответ: а) да; б) нет; в) 20.

Примечание.

Заметим, что при решении пункта б) не требуется, чтобы числа были натуральными, ни даже целыми. Никакие четыре различных числа не могут дать три пифагоровы тройки.

С другой стороны, отметим, что четыре различных натуральных числа могут образовать одну пифагорову тройку, но не могут образовать двух пифагоровых троек. В теории чисел этот факт известен как одна из эквивалентных формулировок теоремы Ферма о прямоугольном треугольнике: не существует двух пифагоровых троек, в которых два катета одной тройки являются катетом и гипотенузой другой тройки. Доказательство этого факта было дано самим Ферма и может быть исследовано читателем самостоятельно.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521398	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, 2 Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $левая фигурная скобка дробь: числитель: минус 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: минус 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,0 правая фигурная скобка .$
2	521399	3:1.
3	521400	$левая квадратная скобка 3; дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 37 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 37 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; бесконечность правая круглая скобка .$
4	521401	б) $1: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
5	521402	9.
6	521403	$a принадлежит левая квадратная скобка 2;3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3;4 правая квадратная скобка .$
7	521404	а) да; б) нет; в) 20.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

А. Ларин: Тренировочный вариант № 206.

Ключ