Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят 10t тыс. рублей в конце года t (t = 1; 2; 3;...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в 1 + r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце одиннадцатого года. При каких положительных значениях r это возможно?
Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце кода k, то в конце двадцать пятого года на его счёте будет 
тыс. рублей.
Найдем производную полученного выражения:
Заметим, что найденная производная равна нулю в единственной точке 
положительна при 
и отрицательна при 
Следовательно, 
возрастает на 
и убывает на 
Из условия известно, что продавать бумаги необходимо в конце 11 года, следовательно, доход, полученный при продаже бумаг в конце 11 года, больше, чем доход, который мог бы получить фонд при продаже бумаг в конце 10-го года и в конце 12 года. Из выясненного выше характера монотонности функции можно заключить, что выполнение неравенств 
и 
гарантирует, что 
для всех значений k, отличных от 11. А значит, необходимо и достаточно найти решения системы неравенств:
(*)
Примечание. В решении нельзя ограничиться только решением неравенств (*). Из того, что доход при продаже бумаг в конце 11 года больше, чем доход при их продаже в конце 10 и 12 годов не следует, что этот доход больше, чем при продаже в любой другой год, а именно это оговорено в условии. Однако можно обойтись без производной.
Например, рассмотрим разность предполагаемых доходов от продажи ценных бумаг в конце года 
и года k:
Первый множитель положителен, второй может менять знак. Положительность произведения означает, что 
доход, который получит фонд, продав ценные бумаги в конце года k, меньше дохода при их продаже в следующем году. Отрицательность произведения означает, что 
доход, который получит фонд, продав ценные бумаги в конце года k, больше дохода, который можно получить при продаже бумаг в следующем году.
Пусть 
Поскольку 
уравнение имеет единственный корень на положительной полуоси, и потому если для некоторого натурального числа k выполнено неравенство 
то для любого 
выполнено неравенство 
Из этого следует, что если доход при продаже акций в какой-то год оказался менее выгодным, чем доход при их продаже в предыдущий год, то и во все последующие годы продавать акции будет менее выгодно.
Поскольку ценные бумаги нужно продавать строго в конце одиннадцатого года, должны быть одновременно выполнены неравенства 
и 
то есть 
и 
Значит, 
и 
откуда 
Ответ: 