Ре­ше­ние. а)  Имеем:

б)  При по­мо­щи чис­ло­вой оси от­бе­рем корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку по­лу­чим число

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  По­сколь­ку ABCDA₁B₁C₁D₁  — пря­мая приз­ма, пря­мая AA₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC, то есть AC  — про­ек­ция A₁C на плос­кость ABC. ABCD  — ромб, по­это­му пря­мые AC и BD пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мая A₁C пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BD.

б)  Пусть AB  =  AA₁  =  a, AC ∩ DB = O. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке A₁AC имеем:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке DOC имеем:

Най­дем a:

Тогда AC равно: От­сю­да объём приз­мы равен:

Ответ: б)

Ре­ше­ние. За­пи­шем об­ласть до­пу­сти­мых зна­че­ний не­ра­вен­ства:

Най­дем нули чис­ли­те­ля:

Решим не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть CO пе­ре­се­ка­ет AB в точке F, OB₁ пе­ре­се­ка­ет AB в точке E, CO пе­ре­се­ка­ет BB₁ в точке G, а углы A, B и C со­от­вет­ствен­но α, β и γ. По­ка­жем, что от­ре­зок AB₁ виден из точек O и B под одним и тем же углом  — это будет озна­чать, что точки A, B₁, B, O лежат на одной окруж­но­сти.

В тре­уголь­ни­ке CGB имеем:

Тогда

В тре­уголь­ни­ке OGB имеем: тогда

Тре­уголь­ник B₁OB рав­но­бед­рен­ный, по­сколь­ку GO  — се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к BB₁. По­это­му

В тре­уголь­ни­ке ABC точка O    — ин­центр, по­это­му Сле­до­ва­тель­но,

б)  Пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка AOBB₁ най­дем по фор­му­ле За­ме­тим, что B₁O  =  OB, по­сколь­ку тре­уголь­ник B₁OB рав­но­бед­рен­ный, и что из тре­уголь­ни­ка EOB.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC, в нем Далее опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр OH на сто­ро­ну BC. Тогда как ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти. Тогда от­ку­да

Далее имеем:

Тогда

Ответ: б) 18.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

а)  Пусть CO пе­ре­се­ка­ет BB₁ в точке G, а угол C равен γ. В тре­уголь­ни­ке B₁CB от­ре­зок CG яв­ля­ет­ся вы­со­той и ме­ди­а­ной, тогда тре­уголь­ник B₁CB рав­но­бед­рен­ный, от­ре­зок CG яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой, сле­до­ва­тель­но, луч CB₁ сов­па­да­ет с лучом CA, и точка A лежит на от­рез­ке CB₁. В тре­уголь­ни­ке CGB₁ имеем:

В тре­уголь­ни­ке ABC точка O  — ин­центр, по­это­му

Сле­до­ва­тель­но, в че­ты­рех­уголь­ни­ке B₁AOB имеем:

а по­то­му че­ты­рех­уголь­ник B₁AOB впи­сан­ный, и точки B₁, A, O, B лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка AOBB₁ най­дем как сумму пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков: Причём где r  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ный в тре­уголь­ник ABC. Для сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC вы­пол­не­но со­от­но­ше­ние сле­до­ва­тель­но, угол C пря­мой. Тогда

от­ку­да

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABB₁ най­дем как раз­ность пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков BCB₁ и ABC:

В ре­зуль­та­те по­лу­чим

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) На­та­льи Лес­ни­чен­ко.

За­ме­тим, что

Вы­со­ты тре­уголь­ни­ков AOC и AOB равны ра­ди­у­су окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Для сто­рон тре­уголь­ни­ка ABC вы­пол­не­но со­от­но­ше­ние сле­до­ва­тель­но, угол C пря­мой. Тогда

Сле­до­ва­тель­но,

Ре­ше­ние. Если пен­си­он­ный фонд про­даст цен­ные бу­ма­ги в конце кода k, то в конце два­дцать пя­то­го года на его счёте будет тыс. руб­лей.

Най­дем про­из­вод­ную по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния:

За­ме­тим, что най­ден­ная про­из­вод­ная равна нулю в един­ствен­ной точке по­ло­жи­тель­на при и от­ри­ца­тель­на при Сле­до­ва­тель­но, воз­рас­та­ет на и убы­ва­ет на Из усло­вия из­вест­но, что про­да­вать бу­ма­ги не­об­хо­ди­мо в конце 11 года, сле­до­ва­тель­но, доход, по­лу­чен­ный при про­да­же бумаг в конце 11 года, боль­ше, чем доход, ко­то­рый мог бы по­лу­чить фонд при про­да­же бумаг в конце 10-го года и в конце 12 года. Из вы­яс­нен­но­го выше ха­рак­те­ра мо­но­тон­но­сти функ­ции можно за­клю­чить, что вы­пол­не­ние не­ра­венств и га­ран­ти­ру­ет, что для всех зна­че­ний k, от­лич­ных от 11. А зна­чит, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но найти ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств:

При­ме­ча­ние. В ре­ше­нии нель­зя огра­ни­чить­ся толь­ко ре­ше­ни­ем не­ра­венств (*). Из того, что доход при про­да­же бумаг в конце 11 года боль­ше, чем доход при их про­да­же в конце 10 и 12 годов не сле­ду­ет, что этот доход боль­ше, чем при про­да­же в любой дру­гой год, а имен­но это ого­во­ре­но в усло­вии. Од­на­ко можно обой­тись без про­из­вод­ной.

На­при­мер, рас­смот­рим раз­ность пред­по­ла­га­е­мых до­хо­дов от про­да­жи цен­ных бумаг в конце года и года k:

Пер­вый мно­жи­тель по­ло­жи­те­лен, вто­рой может ме­нять знак. По­ло­жи­тель­ность про­из­ве­де­ния озна­ча­ет, что доход, ко­то­рый по­лу­чит фонд, про­дав цен­ные бу­ма­ги в конце года k, мень­ше до­хо­да при их про­да­же в сле­ду­ю­щем году. От­ри­ца­тель­ность про­из­ве­де­ния озна­ча­ет, что доход, ко­то­рый по­лу­чит фонд, про­дав цен­ные бу­ма­ги в конце года k, боль­ше до­хо­да, ко­то­рый можно по­лу­чить при про­да­же бумаг в сле­ду­ю­щем году.

Пусть По­сколь­ку урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень на по­ло­жи­тель­ной по­лу­оси, и по­то­му если для не­ко­то­ро­го на­ту­раль­но­го числа k вы­пол­не­но не­ра­вен­ство то для лю­бо­го вы­пол­не­но не­ра­вен­ство Из этого сле­ду­ет, что если доход при про­да­же акций в какой-то год ока­зал­ся менее вы­год­ным, чем доход при их про­да­же в преды­ду­щий год, то и во все по­сле­ду­ю­щие годы про­да­вать акции будет менее вы­год­но.

По­сколь­ку цен­ные бу­ма­ги нужно про­да­вать стро­го в конце один­на­дца­то­го года, долж­ны быть од­но­вре­мен­но вы­пол­не­ны не­ра­вен­ства и то есть и Зна­чит, и от­ку­да

Ответ:

Ре­ше­ние. Урав­не­ние рав­но­силь­но сле­ду­ю­щей си­сте­ме:

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай, когда корни сов­па­да­ют: Тогда ко­рень при­над­ле­жит от­рез­ку [4; 8] и удо­вле­тво­ря­ет ОДЗ.

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай, когда пер­вый ко­рень при­над­ле­жит от­рез­ку [4; 8] и удо­вле­тво­ря­ет ОДЗ. Тогда урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние на за­дан­ном от­рез­ке, если вто­рой ко­рень не при­над­ле­жит от­рез­ку [4; 8] или не удо­вле­тво­ря­ет ОДЗ. Имеем:

Рас­смот­рим вто­рой слу­чай, когда вто­рой ко­рень при­над­ле­жит от­рез­ку [4; 8] и удо­вле­тво­ря­ет ОДЗ. Тогда урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние на за­дан­ном от­рез­ке, если пер­вый ко­рень не при­над­ле­жит от­рез­ку [4; 8] или не удо­вле­тво­ря­ет ОДЗ. Имеем:

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние:

Урав­не­ние рав­но­силь­но сле­ду­ю­щей си­сте­ме:

В плос­ко­сти xOa гра­фи­ком си­сте­мы (а зна­чит, и гра­фи­ком ис­ход­но­го урав­не­ния) будут от­рез­ки пря­мых и ле­жа­щие внут­ри круга, огра­ни­чен­но­го окруж­но­стью

Ре­ше­ние си­сте­мы на от­рез­ке [4; 8] на ри­сун­ке изоб­ра­же­но синим цве­том.

Найдём зна­че­ния па­ра­мет­ра a (зна­че­ния ор­ди­на­ты), при ко­то­рых урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние на от­рез­ке [4; 8].

Для этого найдём ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния пря­мых и

Ор­ди­на­ты точек пе­ре­се­че­ния пря­мой и окруж­но­сти найдём, под­ста­вив в урав­не­ние окруж­но­сти

Таким об­ра­зом, ис­ход­ное урав­не­ние имеет на от­рез­ке [4; 8] ровно один ко­рень при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Да. На­при­мер, если числа рас­ста­вить так, как по­ка­за­но в таб­ли­це, при­ве­ден­ной ниже слева, Петя по­лу­чит 12, а Вася  — 6.

б)  Наи­мень­шая сумма, ко­то­рая может по­лу­чить­ся у Васи, равна 6. Чтобы у Пети было в 6 раз боль­ше, его сумма долж­на рав­нять­ся 36. Для этого в каж­дой стро­ке все числа долж­ны быть равны 6. Но тогда Вася не по­лу­чит в сумме 6. Про­ти­во­ре­чие.

в)  Для таб­ли­цы 2, при­ве­ден­ной ниже спра­ва, Петя по­лу­чит 31, а Вася  — 6. Таким об­ра­зом, у Пети в раза боль­ше, чем у Васи. По­ка­жем, что боль­ше­го от­но­ше­ния по­лу­чить не­воз­мож­но. Дей­стви­тель­но, для любой за­дан­ной таб­ли­цы чисел до­стичь наи­боль­ше­го от­но­ше­ния сумм наи­мень­ших по стро­кам и столб­цам эле­мен­тов можно, пре­об­ра­зо­вав ее сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

1)  за­пи­сать стро­ки в по­ряд­ке убы­ва­ния (не­воз­рас­та­ния) наи­мень­ших эле­мен­тов в них;

2)  затем внут­ри каж­до­го из столб­цов за­ме­нить эле­мен­ты более вы­со­ких строк на боль­шие эле­мен­ты из ниж­них строк. При этом наи­мень­шие эле­мен­ты в каж­дой из строк не умень­ша­ют­ся, а наи­мень­шие эле­мен­ты в каж­дом из столб­цов не ме­ня­ют­ся (*).

В ре­зуль­та­те ходов 1) и 2) любая ис­ход­ная таб­ли­ца пре­об­ра­зу­ет­ся в таб­ли­цу, где внут­ри каж­до­го из столб­цов эле­мен­ты за­пи­са­ны в по­ряд­ке не­убы­ва­ния. В силу (*) от­но­ше­ние сумм наи­мень­ших по стро­кам и столб­цам эле­мен­тов для по­лу­чен­ной таб­ли­цы мак­си­маль­но. Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шее от­но­ше­ние будет до­стиг­ну­то для таб­ли­цы, в ко­то­рой эле­мен­ты каж­дой стро­ки, кроме по­след­ней, мак­си­маль­ны (то есть равны 6), а по­след­ней  — ми­ни­маль­ны (то есть равны 1).

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

а)  Да. За­пол­ним, на­при­мер, первую стро­ку таб­ли­цы еди­ни­ца­ми, вто­рую трой­ка­ми, а осталь­ные  — двой­ка­ми. Тогда сумма у Васи будет 6, а у Пети  — 12.

б)  Нет. Ва­си­на сумма не мень­ше 6, а Пе­ти­на не боль­ше 36, по­это­му они могут от­ли­чать­ся в 6 раз, толь­ко если равны 6 и 36, то есть все Пе­ти­ны числа  — ше­стер­ки. Зна­чит, все числа во всех стро­ках равны шести, и Ва­си­на сумма тоже равна 36.

в)  Если за­нять первую стро­ку еди­ни­ца­ми, а осталь­ные стро­ки ше­стер­ка­ми, то у Пети по­лу­чит­ся сумма 31, то есть от­ли­чать­ся они будут в раза.

Если у Васи сумма не равна 6, то от­ли­чие не более чем в по­это­му такие ва­ри­ан­ты не под­хо­дят. Если же Ва­си­на сумма равна 6, то в таб­ли­це обя­за­тель­но есть число 1. Петя вы­бе­рет его как наи­мень­шее в какой-⁠то стро­ке и общая сумма будет не боль­ше по­это­му при­ве­ден­ный нами ответ оп­ти­маль­ный.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)