PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В доме, в котором живёт Игорь, один подъезд. На каждом этаже по шесть квартир. Игорь живёт в квартире 69. На каком этаже живёт Игорь?
На диаграмме показано распределение выплавки алюминия в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2009 год. Среди представленных стран первое место по объёму выплавки занимал Бахрейн, десятое место — Новая Зеландия. Какое место среди представленных стран занимал Мозамбик?
На клетчатой бумаге с размером клетки
изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
На конференцию приехали 4 ученых из Швеции, 4 из России и 2 из Италии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четвертым окажется доклад ученого из Швеции.
Решите уравнение 
В ответе напишите наименьший положительный корень.
Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности,
Прямая 
является касательной к графику функции 
Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
В прямоугольном параллелепипеде 
известны длины рёбер: AB = 3, AD = 5, 
= 12. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, B и C1.
Найдите значение выражения 
при 
Груз массой 0,8 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону 
где t — время с момента начала колебаний, T = 12 с — период колебаний, 
м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле 
где m — масса груза в килограммах, υ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 10 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.
Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
В правильной треугольной призме ABCA'B'C' стороны основания равны 6, боковые рёбра равны 4.
а) Изобразите сечение, проходящее через вершины A, B и середину ребра A'C', и докажите, что это равнобокая трапеция.
б) Найдите площадь этого сечения.
Решите неравенство: 
На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD.
а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный.
б) Известно, что 
В каком отношении прямая DL делит сторону AB?
В двух областях работают по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области рабочие объединены в две бригады, одна из которых добывает алюминий, а другая — никель, причем для добычи
Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую суммарную массу металлов можно добыть в двух областях за сутки?
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции 
больше 1.
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 
от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 
от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков МОГЛО быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
см. Поэтому
см2.
соответствуют большие положительные корни. 
то 
и 
то 
и 
соответствуют меньшие значения корней.
Тогда 
и 
и прямой 
задаётся системой требований:
откуда 
— параллелограмм. Кроме того, ребро AB перпендикулярно граням 
и 
Поэтому углы 
и 
— прямые. Поэтому сечение 
найдем 
грядки. Всю грядку она прополет за 30 минут.
Найдем его: 
Из неё следует, что 
Поэтому уравнение можно преобразовать так:
Получим 
б) 
тогда 
в точке 
Тогда 
получаем 
Пусть тогда AB = 2x, BC = 3x. Поскольку AL : LC = AB : BC, находим 
Следовательно, 
откуда 
В равнобедренном треугольнике BLD имеем: 
По свойству внешнего угла треугольника 
поэтому треугольник DCL равнобедренный 
что и требовалось доказать.
Так как 
находим, что 
По свойству биссектрисы угла треугольника, 
поэтому 
Тогда 
Так как 
получаем, что 
тогда 
и пусть 
В треугольнике DCL: 
в подобном ему треугольнике ECA: 
Значит, 
Тогда по теореме о пропорциональных отрезках:
Поскольку HL — биссектриса ALM, тогда 
а значит, 
кг
кг
равного наибольшему значению функции на исследуемом промежутке.
на отрезке 
достигается в точке 
и равно 
Доказательство можно получить, например, возведением в квадрат.
поэтому искомое наибольшее значение 
достигается в точке, где 
то есть при 
человеко-часов, а на добычу никеля — 
человеко-часов. Всего рабочих 160, работая по 5 часов, они вырабатывают 800 человеко-часов в сутки, поэтому 
Для таких значений переменных требуется определить наибольшее значение количества добытого металла 
Таким образом, необходимо определить наибольшее значение параметра s, при котором прямая, задаваемая уравнением 
будет иметь с окружностью 
общие точки, лежащие в первой координатной четверти.
должны удовлетворять уравнению окружности. Тогда 
откуда 
при 
получаем, что 
График этой функции на рассматриваемом промежутке состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии 
При 
находим 
а график этой функции на рассматриваемом промежутке — часть параболы с ветвями, направленными вниз.
может принять только в точках 
или 
то второе неравенство принимает вид 
откуда 
Этот промежуток содержит интервал 
то 
откуда 
Значит, 
функция принимает вид: 
а ее график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии 
а ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз и осью симметрии 
или 
а если 
(то есть при 
), то в точке 
тогда и только тогда, когда:
что больше 
Аналогично, кино посетило не более 7 мальчиков, поскольку 
но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию.
мальчиков, посетивших театр, 
мальчиков, посетивших кино, и d девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Будем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.
Тогда 
поэтому доля девочек в группе:
