ЕГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 12 № 507292 Добавить в вариант

а) Решите уравнение: $2 синус в степени 4 x плюс 3 косинус 2x плюс 1=0$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ Пи ; 3 Пи ]$

Решение.

а) Воспользуемся формулой $синус в квадрате x= дробь: числитель: 1 минус косинус 2x, знаменатель: 2 конец дроби .$ Из неё следует, что $синус в степени 4 x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ( косинус в квадрате 2x минус 2 косинус 2x плюс 1).$ Поэтому уравнение можно преобразовать так:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус в квадрате 2x минус косинус 2x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс 3 косинус 2x плюс 1=0 равносильно косинус в квадрате 2x плюс 4 косинус 2x плюс 3=0.$

Сделаем замену $t= косинус 2x.$ Получим

$t в квадрате плюс 4t плюс 3=0 равносильно левая квадратная скобка \beginalignt = минус 1, t= минус 3.\endaligh.$

Вернемся к исходной переменной:

$совокупность выражений косинус 2x= минус 1, косинус 2x= минус 3 конец совокупности . \underset| косинус 2x|\leqslant1\mathop равносильно 2x= Пи плюс 2 Пи k, k принадлежит Z равносильно x= дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i2 плюс Пи k,k принадлежит Z .$

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие заданному отрезку. Получим $x= дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а) $\left\ дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z \;$ б) $дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби , дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 504543: 504564 507292 510671 Все

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Замена переменной, Формулы половинного аргумента, Формулы понижения степени

Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·

Сообщить об ошибке · Помощь

роман кузьменко 27.03.2016 08:55

а можно решить это уравнение через синусы?

у меня получились корни +-пи/2+2пиn, и выборка корней совпала. будет ли это ошибкой?

Александр Иванов

Роман, можно решать любым правильным способом и получать верные ответы

Наиль Фаттахов 08.03.2017 10:37

почему не два решения по части а? если cos2x=1-2sin^2x, то в результате всех преобразований получается, что sin^2(x)=1, значит sinx=+-1??? и получается ещё одно решение x=-pi/2+2pin!

Александр Иванов

именно такой ответ у нас и указан

Наиль Фаттахов 08.03.2017 19:15

указан только корень x=pi/2+pin!

Александр Иванов

Наиль, $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи n$ это не корень, а корни.

При чётных значениях $n,$ эти корни соответствуют верхней точке на тригонометрической окружности $( синус x=1, x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k),$ а при нечётных значениях $n$ − нижней точке $( синус x= минус 1, x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k).$

Артём Айрапетов 02.04.2017 18:02

Александр,а разве для sin x = +-1 не нужно пользоваться специальными формулами (2Пn и П+2Пn)? Заранее извиняюсь если ошибаюсь

Александр Иванов

Можно пользоваться любыми правильными формулами

Дмитрий Пашутин 01.01.2019 08:47

Что мы должны будем написать если получится sinx=корню из 2 и sinx=отрицательному корню из 2 ?

Александр Иванов

Должны будем написать, что решений нет.