Ре­ше­ние. а)  Решим урав­не­ние:

Пусть имеем

Тогда

б)  Про­ве­рим, какие из кор­ней при­над­ле­жат от­рез­ку

Ко­рень не при­над­ле­жит от­рез­ку

Про­ве­рим вто­рой ко­рень. За­ме­тим, что По­это­му:

Тогда

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  По­сколь­ку CC₁  =  C₁B₁  =  B₁B  =  BC и ABCA₁B₁C₁  — пра­виль­ная приз­ма, то CC₁B₁B  — квад­рат. Тогда K  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей CC₁B₁B, по­сколь­ку делит одну из диа­го­на­лей на две рав­ные части. Зна­чит, B₁K  =  KC. Тогда KL  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка  AB₁C, по­это­му KL || AB₁.

б)  По­сколь­ку KL || AB₁, не­об­хо­ди­мо найти угол LKB. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра AB₁  =  C₁B  =   Тогда Вы­со­та  LB пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка  ABC равна По тео­ре­ме ко­си­ну­сов то есть

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Решим не­ра­вен­ство:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По­сколь­ку AM  =  MB, то MC  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка ABC. Пусть AC  =  a, BC  =  b, тогда CM  =  

За­ме­тим, что (так как )

Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов

б)  Про­ве­дем к сто­ро­не AC вы­со­ты BH и MT. Имеем Тогда из по­до­бия тре­уголь­ни­ков ABH и AMT, по­лу­ча­ем, MT  =  

Пусть точка P лежит на пря­мой MT, PO₂ ⊥ MP. Тогда TP  =   Тогда MP  =  

За­ме­тим, что Тогда По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что

Ответ: б) 7.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) Сер­гея Фе­фе­ло­ва.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник BCD. BC  =  10, CD  =  AC  =  6, тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов

Рас­смот­рим тре­уголь­ник BAD. M  — се­ре­ди­на AB, O₂  — се­ре­ди­на AD, тогда

Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что

Ре­ше­ние. Доход за 1 га кар­то­фе­ля на пер­вом поле: руб.

Доход за 1 га свек­лы на пер­вом поле: руб.

Таким об­ра­зом, пер­вое поле вы­год­но пол­но­стью за­са­дить кар­то­фе­лем.

Доход за 1 га кар­то­фе­ля на вто­ром поле: руб.

Доход за 1 га свек­лы на вто­ром поле: руб.

Таким об­ра­зом, вто­рое поле вы­год­но пол­но­стью за­са­дить свек­лой. Сум­мар­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 69 млн. руб­лей.

Ре­ше­ние. Пусть тогда урав­не­ние при­мет вид Пусть При t > 0 функ­ция убы­ва­ет от до При t < 0 функ­ция воз­рас­та­ет от до По­это­му мак­си­маль­ное зна­че­ние функ­ции

Функ­ция при­ни­ма­ет ми­ни­маль­ное зна­че­ние при При­чем воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке и убы­ва­ет на про­ме­жут­ке при­ни­мая зна­че­ния от до

Чтобы было ре­ше­ние не­об­хо­ди­мо, чтобы то есть При по­лу­ча­ем При ре­ше­ний нет.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, число 17.

б)  Если два числа дают оди­на­ко­вых оста­ток при де­ле­нии на 200, то их раз­ность будет де­лить­ся на 200. Имеем:

Сле­до­ва­тель­но, де­лит­ся на 25, от­ку­да Тогда

Таким об­ра­зом, су­ще­ству­ет 36 чисел.

в)  По усло­вию   — целое, по­это­му m  — чет­ное, то есть Имеем:

  — целое, m  — дву­знач­ное, по­это­му

1)  Пусть k  =  25, тогда n может быть любым трех­знач­ным не­чет­ным чис­лом, ко­то­рых го­раз­до боль­ше, чем 36.

2)  Пусть но крат­но пяти. Зна­чит, (n + k) крат­но 10. В за­ви­си­мо­сти от k по­дой­дут либо все чет­ные трех­знач­ные числа, де­ля­щи­е­ся на 5, либо не­чет­ные, де­ля­щи­е­ся на 5. В любом слу­чае таких чисел боль­ше 36.

3)  Пусть k не крат­но 5, k  — не­чет­ное, но сумма (n + k) крат­на 50. По­сколь­ку то (n + k) с уче­том усло­вия при­ни­ма­ет все зна­че­ния, крат­ные 50, при­чем на одно зна­че­ние  — одно зна­че­ние m. Сле­до­ва­тель­но, для каж­до­го k воз­мож­но 18n, что не под­хо­дит по усло­вию за­да­чи.

4)  Пусть k не крат­но 5, k  — чет­ное, и сумма (n + k) крат­на 25. Рас­суж­дая ана­ло­гич­но пунк­ту 3) при и воз­мож­ных зна­че­ний (n + k)  — 36, по­это­му воз­мож­ных зна­че­ний n тоже 36. При и воз­мож­ных зна­че­ний (n + k)  — 36, по­это­му воз­мож­ных зна­че­ний n тоже 36. В таб­ли­це пред­став­ле­ны под­хо­дя­щие k и со­от­вет­ству­ю­щие им m. Их 18.

Ответ: а)  17; б)  36; в)  18.