РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 12297427

В сентябре 1 кг винограда стоил 90 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

На рисунке жирными точками показан курс доллара, установленный Центробанком РФ, во все рабочие дни с 22 сентября по 22 октября 2010 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали  — цена доллара в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьший курс доллара за указанный период. Ответ дайте в рублях.

Найдите длину диагонали прямоугольника, вершины которого имеют координаты (2; 1), (2; 4), (6; 1), (6; 4).

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Найдите корень уравнения $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 49 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка =7.$

В треугольнике ABC $AC = BC,$ AD  — высота, угол BAD равен $40 градусов.$ Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

На рисунке изображен график производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $левая круглая скобка минус 2; 12 правая круглая скобка .$ Найдите промежутки убывания функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ В ответе укажите длину наибольшего из них.

Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Найдите $логарифм по основанию a левая круглая скобка ab в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию a b=7.$

10.  

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объeм и давление связаны соотношением $pV в степени левая круглая скобка 1,4 правая круглая скобка = const,$ где p (атм.)  — давление газа, V  — объeм газа в литрах. Изначально объeм газа равен 243,2 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объeма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.

11.  

Смешали некоторое количество 14-⁠процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 18-⁠процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

12.  

Найдите точку минимума функции $y= левая круглая скобка x плюс 11 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x минус 11 правая круглая скобка .$

13.  

а)  Решите уравнение $\log _3 левая круглая скобка синус 2x плюс косинус левая круглая скобка Пи минус x правая круглая скобка плюс 9 правая круглая скобка =2.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

14.  

Точка E  — середина ребра $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ со стороной равной 1.

а)  Докажите, что $B_1D \perp AC.$

б)  Найдите угол между прямыми BE и $B_1D.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

15.  

Решите неравенство: $дробь: числитель: x в кубе плюс 3x в квадрате плюс 3x плюс 3, знаменатель: x в квадрате плюс 3x конец дроби больше или равно x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

16.  

В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АВ  =  6; ВС  =  5; АС  =  9.

а)  Докажите, что биссектриса угла С делит отрезок МN пополам.

б)  Пусть Р  — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение АР : РN.

Решение. а)  Обозначим K точку пересечения отрезков AM и BN. Треугольник ABN равнобедренный, поскольку в нем AK является биссектрисой и высотой. Следовательно, AK является и медианой, то есть K  — середина BN. Получаем, что AN = AB = 6, откуда NC  =  AC − AN  =  3.

Рассмотрим треугольник ABC, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: BM : MC  =  AB : AC, учитывая, что длина BC равна 5, получаем: BM  =  2; MC  =  3.

В треугольнике MNC стороны NC и MC равны, следовательно, треугольник MNC  — равнобедренный, с основанием MN. Значит, биссектриса угла C также является медианой и высотой. Таким образом, получаем, что биссектриса угла С делит отрезок MN пополам.

б)  Рассмотрим треугольник PMN: отрезок PO перпендикулярен прямой MN и делит её пополам, следовательно, треугольник PMN  — равнобедренный с основанием MN. Значит, PM  =  PN и отношение AP : PN  =  AP : PM.

В треугольнике AMC отрезок CP  — биссектриса, поэтому AP : PM  =  AC : MC  =  3 : 1.

Ответ: 3 : 1.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

17.  

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/⁠га, а на втором  — 300 ц/⁠га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/⁠га, а на втором  — 500 ц/⁠га.

Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу  — по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

18.  

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

$система выражений новая строка x в квадрате минус 2x плюс |y| минус 15=0, новая строка x в квадрате плюс левая круглая скобка y минус a правая круглая скобка левая круглая скобка y плюс a правая круглая скобка =2 левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка конец системы .$

имеет ровно $6$ решений.

Решение. Запишем систему в виде

$система выражений левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс |y| = 16, левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс y в квадрате = a в квадрате . конец системы .$

Полагая $u = x минус 1,$ получим систему

$система выражений u в квадрате плюс |y| = 16, u в квадрате плюс y в квадрате = a в квадрате . конец системы .$

имеющую то же количество решений. Кроме того, если пара чисел (u; y)  — решение системы, то и пары чисел (u; −y), (−u; y), (−u; −y) также является решениями системы. Таким образом, если u ≠ 0 и y ≠ 0, то число решений кратно четырем. Значит, если система имеет ровно 6 решений, то либо $u = 0,$ либо $y = 0.$

Если u  =  0, то $y = \pm 16,$ следовательно, $a = \pm 16.$ Система

$система выражений u в квадрате плюс |y| = 16, u в квадрате плюс y в квадрате = 256 конец системы .$

имеет два решения: (0; 16), (0; −16), поэтому этот случай не подходит.

Если y  =  0, то $u в квадрате = 16,$ следовательно, $a = \pm 4.$ Получаем систему:

$система выражений u в квадрате плюс |y| = 16, u в квадрате плюс y в квадрате = 16 конец системы . равносильно система выражений y в квадрате = |y|, u в квадрате плюс |y| = 16 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений y = 0, y = 1, y = минус 1, конец системы . u в квадрате плюс |y| = 16. конец совокупности .$

Она имеет 6 решений, поскольку каждому значению y соответствует два разных значения u.

Ответ: $a= минус 4, a = 4.$

Приведем идею графического решения.

Запишем систему в виде

$система выражений новая строка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс |y|=16, новая строка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс y в квадрате =a в квадрате . конец системы .$

Первое уравнение задает части двух парабол (см. рис.):

$y= система выражений новая строка 16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате ,y больше или равно 0, новая строка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 16,y меньше 0. конец системы .$

Второе уравнение задает окружность радиусом $|a|$ с центром $левая круглая скобка 1; 0 правая круглая скобка .$

На рисунке видно *, что шесть решений системы получаются, только если окружность проходит через точки $левая круглая скобка минус 3;0 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 5; 0 правая круглая скобка ,$ пересекая части параболы еще в четырех точках. При этом радиус окружности равен $4,$ откуда $a= минус 4$ или $a=4.$

*) Докажем это. Рассмотрим на отрезке [–3; 5] функции:

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = 16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате$ и

$g левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: a в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента .$

Их графиками являются соответственно часть параболы и верхняя полуокружность с центром в точке (1; 0) радиусом |a|.

При любом значении параметра а справедливо следующее:

а)  Графики функций симметричны относительно прямой x  =  1, поскольку эта прямая является осью симметрии параболы, и центр окружности лежит на этой прямой.

б)  Функции f и g не могут иметь больше четырех общих точек, поскольку уравнение $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = g левая круглая скобка x правая круглая скобка$ имеет не больше четырех решений. Действительно,

$16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате = корень из: начало аргумента: a в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента \Rightarrow левая круглая скобка 16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате = a в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени 4 минус 31 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате = 0,$ $16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате = корень из: начало аргумента: a в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента \Rightarrow левая круглая скобка 16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате = a в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени 4 минус 31 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате = 0,$ $16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате = корень из: начало аргумента: a в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента \Rightarrow$
$\Rightarrow левая круглая скобка 16 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате = a в квадрате минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в степени 4 минус 31 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате = 0,$

а уравнение четвертой степени имеет не больше четырех корней.

в)  Из пунктов  а) и б) следует, что слева от прямой x  =  1 графики функций имеют не более двух общих точек, и каждой общей точке графиков при $x меньше 1$ соответствует симметричная относительно прямой x  =  1 общая точка графиков.

При $a=\pm 4$ функции f и g обладают следующими свойствами:

г)  Функции f и g в точке x  =  –3 принимают одно и то же значение, а потому точка (–3; 0) и симметричная ей точка (5; 0) являются общими точками графиков.

д)  Правые касательные лучи к графикам в точке x  =  –3 составляют с осью абсцисс разные углы, поскольку касательный луч к окружности вертикален, а касательный луч к параболе  — нет.

е)  Из пунктов г) и д) следует, что на правой полуокрестности точки x  =  –3 график функции f лежит ниже графика функции g.

ё) В точке x  =  1 график функции f лежит выше графика функции g (вершина параболы лежит над окружностью), поскольку $f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = 16,$ $g левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = 2.$

ж)  Из пунктов  е) и ё) следует, что на интервале (–3; 1) графики функций f и g имеют общую точку, а потому имеют и симметричную ей относительно прямой x  =  1 общую точку на интервале (1; 5).

з) Из пунктов  б) и ж) следует, что графики функций f и g на отрезке [–3; 5] имеют четыре общие точки, а больше четырех общих точек быть не может.

и) Рассмотрим теперь функции −f и –g, их графики симметричны графикам функций f и g относительно оси абсцисс (на рисунке это парабола, вершина которой лежит ниже оси абсцисс, и нижняя полуокружность). Проводя аналогичные рассуждения получим, что при $a=\pm 4$ графики функций –f и –g имеют на отрезке [–3; 5] имеют ровно четыре общие точки.

к) Точки (–3; 0) и (5; 0) являются общими для графиков f и g и −f и –g, поэтому из пунктов  з) и и) следует, что при $a=\pm 4$ система уравнений $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс |y|=16,$ $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс y в квадрате =a в квадрате$ имеет ровно шесть решений.

Осталось показать, что прочие значения параметра не подходят. Оставим это читателю в качестве упражнения.

Примечание Дмитрия Гущина.

Обратим внимание читателя, что использовать графический способ решения задач можно только в том случае, когда «увиденные» на графиках свойства либо:

а)  очевидны: например, окружность, заключающая вершину параболы, имеет с ней ровно две общие точки;

б)  изучены в школьном курсе: например, прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью, является касательной к ней;

в)  напрямую следуют из изученного материала: квадратичная функция является выпуклой вверх или вниз (это доказывается путем устного взятия второй производной).

Если вы не можете в один-два шага устно объяснить какой-то снятый с рисунка факт, считать его доказанным нельзя. Скажем, невертикальную прямую, имеющую единственную общую точку с параболой, не следует без необходимости называть касательной: проверяющий ЕГЭ эксперт может посчитать это необоснованным. В таком случае на апелляции вам поможет, только если вы объясните, как быстро устно прийти к такому заключению или в каком учебнике упомянуто это свойство. Другой пример: на рисунке изображена окружность с центром, лежащим внутри параболы на ее оси, имеющая с параболой ровно две общие точки. По рисунку нельзя заключать, что эти точки являются точками касания. А потому и заключение, что при небольшом увеличении радиуса окружности точек пересечения станет четыре не будет обоснованным. Также из рисунка нельзя делать вывод о том, могут ли окружность и парабола иметь ровно три точки касания и т. д.

Критерии оценивания ответа на задание С5	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку.	3
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки.	2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Все прочие случаи.	0
Максимальное количество баллов	4

19.  

На рисунке изображён график функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс b правая круглая скобка .$ Найдите значение x, при котором $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =4.$

№ п/п	№ задания	Ответ
1	82081	135
2	263677	29,6
3	513334	5
4	514016	0,9975
5	2995	7,5
6	47199	80
7	8303	6
8	27116	10
9	99467	71
10	42963	7,6
11	108663	16
12	3781	-12
13	508317	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k, левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 6 конец дроби ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$
14	511342	$арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 15 конец дроби .$
15	511519	$левая круглая скобка минус 3; минус 2 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$
16	505501	3 : 1.
17	513292	65 млн руб.
18	484646	$a= минус 4, a = 4.$
19	509069	22

Ключ