Уравнение окружности
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система 
имеет ровно два решения.
Неравенство задает пару вертикальных углов на координатной плоскости Oxy (см. рис.). Графиком уравнения является окружность радиуса
центр которой ― точка 
― лежит на прямой 
Поскольку оба графика симметричны относительно прямой 
система будет иметь ровно два решения тогда и только тогда, когда расстояние PK от центра окружности до прямой 
будет равняться радиусу 
данной окружности. Из треугольника POK находим: 
где 
― угловой коэффициент прямой 
Таким образом, 
откуда
Окончательно получаем: 
или 
Ответ: 
или
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены искомые значения, возможно неверные, из-за одной допущенной вычислительной ошибки (описки) | 3 |
| С помощью верного рассуждения получено одно значение параметра (возможно неверное из-за одной вычислительной ошибки), а второе значение потеряно в результате ошибки (например «потеряны» модули) | 2 |
| Задача сведена к исследованию взаимного расположения графиков неравенства и уравнения (приведен правильный рисунок) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Преобразуем систему:
Неравенство 
задаёт на плоскости полосу, граница которой — пара параллельных прямых: 
и 
Если 
то система не имеет решений, поскольку правая часть уравнения становится отрицательной. Если 
то уравнение принимает вид: 
и задаёт единственную точку 
координаты которой удовлетворяют неравенству: 
Следовательно, при 
система имеет единственное решение.
Рассмотрим случай 
Тогда уравнение 
определяет окружность радиусом 
Центр 
окружности лежит на прямой y=2x, которая перпендикулярна граничным прямым полосы и пересекает их в точках 
и 
Система имеет единственное решение, если только окружность внешним образом касается полосы в точке A или в точке 
Если точка касания — A, то 
что невозможно. Окружность касается полосы в точке B, только если 
и 
Получаем:
Условию удовлетворяет только корень 
Ответ: −2; 3.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Решение в целом верное, но допушена вычислительная ошибка, возможно, приведшая к неверному ответу. | 3 |
| Обосновано найдено значение 3, однако, в ответ включены посторонние значения, полученные в других случаях касания окружности и полосы, либо не рассмотрен случай (либо рассмотрен, но значение −2 не признано подходящим значением параметра). | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание взаимного расположения окружности и полосы − или верный переход к уравнениям относительно | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Первое уравнение системы раскладывается на множители: (x − 2y)(y − 2x) = 0. Следовательно, уравнение задаёт пару прямых x = 2y и y = 2x.
Второе уравнение при каждом a ≠ 0 — уравнение окружности c центром (a, a) и радиусом 
Если 
то система имеет единственное решение и поэтому не удовлетворяет условию задачи.
Пусть 
Тогда точка (a, a) равноудалена от прямых x = 2y и y = 2x, значит, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда окружность касается каждой из прямых. То есть расстояние от центра до каждой из прямых равно радиусу окружности.
Можно воспользоваться геометрическим методом или использовать формулу расстояния от точки до прямой.
Отсюда a = ± 0,2.
Ответ: a = ± 0,2.
Комментарий: на самом деле, конечно, задача сводится к исследований количества решений системы
То есть, уравнения 
которое имеет единственное решение при
При 
прямые пересекаются, поэтому исходная система имеет не два, а всего одно решение.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Найдено множество значений a, корни, соответствующие единственному значению параметра не определены ИЛИ Найдены корни, но в множество значений a не включены одна или две граничные точки. | 3 |
| Найдено множество значений a, но не включены одна или две граничные точки. Корни, соответствующие единственному значению параметра не найдены. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Выделим в уравнении системы полные квадраты:
Ещё раз выделим полный квадрат:
Уравнение определяет окружность с центром 
и радиусом 
Неравенство 
определяет вертикальную полосу 
На рисунке видно, что единственное решение получается в двух случаях.
1. Окружность касается полосы внешним образом. Это происходит тогда и только тогда, когда центр расположен вне полосы, а её радиус равен расстоянию от центра до ближайшей границы полосы:
откуда
Первая система имеет решение 
Вторая система имеет решение 
2. Окружность превращается в точку и при этом принадлежит полосе:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но в ответ включены также и одно-два неверных значения. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно верное значение параметра. | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию совокупности трёх квадратных уравнений относительно a. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
имеет более двух решений.
Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.
Рассмотрим два случая:
1) Если x + 2y − 5 ≥ 0, то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O1(2; 4) и радиусом 
2) Если x + 2y − 5 ≤ 0, то получаем уравнение
Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом
Полученные окружности пересекаются в двух точках A(−1; 3) и B(3; 1), лежащих на прямой x + 2y − 5 = 0, поэтому в первом случае получаем дугу ω1 с концами в точках A и B, во втором — дугу ω2 с концами в тех же точках (см. рис.).
Заметим, что точка 
лежит на дуге ω2 и прямая OC перпендикулярна прямой O1O, поскольку произведение угловых коэффициентов данных прямых равно −1.
Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой O1O или совпадающую с ней.
При a = −5 прямая m пересекает каждую из дуг ω1 и ω2 в точке A и ещё в одной точке, отличной от точки A, то есть исходная система имеет три решения.
Аналогично, при a = 5 прямая m проходит через точку B и исходная система имеет три решения.
При 
прямая m проходит через точку C, значит, прямая m касается дуг ω2 и ω1, то есть исходная система имеет два решения.
Аналогично, при 
прямая m касается дуг ω2 и ω1, то есть исходная система имеет два решения.
При 
или 
прямая m пересекает каждую из дуг ω1 и ω2 в двух точках, отличных от точек A и B, то есть исходная система имеет четыре решения.
При −5 < a < 5 прямая m пересекает каждую из дуг ω1 и ω2 в точке, отличной от точек A и B, то есть исходная система имеет два решения.
При 
или 
прямая m не пересекает дуги ω1 и ω2, то есть исходная система не имеет решений.
Значит, исходная система имеет более двух решений при 
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точек a = −5 и/или a = 5. | 3 |
| При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из двух случаев, возникающих при раскрытии модуля. | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг окружностей и прямых (аналитически или графически) ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх