Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Первое уравнение системы раскладывается на множители: (x − 2y)(y − 2x) = 0. Следовательно, уравнение задаёт пару прямых x = 2y и y = 2x.
Второе уравнение при каждом a ≠ 0 — уравнение окружности c центром (a, a) и радиусом 
Если 
то система имеет единственное решение и поэтому не удовлетворяет условию задачи.
Пусть 
Тогда точка (a, a) равноудалена от прямых x = 2y и y = 2x, значит, условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда окружность касается каждой из прямых. То есть расстояние от центра до каждой из прямых равно радиусу окружности.
Можно воспользоваться геометрическим методом или использовать формулу расстояния от точки до прямой.
Отсюда a = ± 0,2.
Ответ: a = ± 0,2.
Комментарий: на самом деле, конечно, задача сводится к исследований количества решений системы
То есть, уравнения 
которое имеет единственное решение при
При 
прямые пересекаются, поэтому исходная система имеет не два, а всего одно решение.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Найдено множество значений a, корни, соответствующие единственному значению параметра не определены ИЛИ Найдены корни, но в множество значений a не включены одна или две граничные точки. | 3 |
| Найдено множество значений a, но не включены одна или две граничные точки. Корни, соответствующие единственному значению параметра не найдены. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно два решения.
Первое уравнение системы раскладывается на множители: 
Следовательно, уравнение задаёт пару прямых 
и 
Второе уравнение при каждом 
— уравнение окружности c центром 
и радиусом 
Если то система имеет единственное решение и поэтому не удовлетворяет условию задачи.
Пусть 
Тогда условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда окружность касается каждой из прямых. То есть расстояние от центра до каждой из прямых равно радиусу окружности.
Можно воспользоваться геометрическим методом или использовать формулу расстояния от точки до прямой.
Отсюда a = ± 0,2.
Ответ: a = ± 0,2
Примечание: в задаче использована формула расстояния от точки до прямой. Если имеется точка 
и прямая заданная уравнением 
то расстояние от этой точки этой до прямой вычисляется по формуле
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Найдено множество значений a, корни, соответствующие единственному значению параметра не определены ИЛИ Найдены корни, но в множество значений a не включены одна или две граничные точки. | 3 |
| Найдено множество значений a, но не включены одна или две граничные точки. Корни, соответствующие единственному значению параметра не найдены. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Наверх