СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Каталог заданий.
Многоугольники

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д12 C4 № 505613

В тра­пе­ции ABCD с бо­ко­вы­ми сто­ро­на­ми AB = 8 и CD = 5 бис­сек­три­са угла B пе­ре­се­ка­ет бис­сек­три­сы углов A и C в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но, а бис­сек­три­са угла D пе­ре­се­ка­ет те же две бис­сек­три­сы в точ­ках L и K, при­чем точка L лежит на ос­но­ва­нии BC.

а) До­ка­жи­те, что пря­мая MK про­хо­дит через се­ре­ди­ну сто­ро­ны AB.

б) Найти от­но­ше­ние KL : MN, если LM : KN = 4 : 7.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 44.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

2
Задания Д12 C4 № 505625

Пря­мая, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям BC и AD тра­пе­ции ABCD, пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD в точ­ках M и N. Диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны OA и OD тре­уголь­ни­ка AOD в точ­ках K и L со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что MK = NL.

б) Най­ди­те MN, если из­вест­но, что BC = 3, AD = 8 и MK : KL = 1 : 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 46.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

3
Задания Д12 C4 № 505649

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке KLMN точки A, B, C, D — се­ре­ди­ны сто­рон KL, LM, MN, NK со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что KL = 3. От­рез­ки AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ков KAOD, LAOB и NDOC равны со­от­вет­ствен­но 6, 6 и 9.

а) До­ка­жи­те, что пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ков MCOB и NDOC равны.

б) Най­ди­те длину от­рез­ка MN.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 49.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

4
Задания Д12 C4 № 505775

В трапеции ABCD AD и BC — основания, O — точка пересечения диагоналей.

а) Докажите, что выполняется равенство

б) Найдите площадь трапеции ABCD, если

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 70.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

5
Задания Д12 C4 № 505811

Дан квад­рат ABCD со сто­ро­ной 7. На сто­ро­нах BC и CD даны точки M и N такие, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка CMN равен 14.

а) До­ка­жи­те, что B и D — точки ка­са­ния внев­пи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка CMN, а её центр на­хо­дит­ся на вер­ши­не A квад­ра­та ABCD.

б) Най­ди­те угол MAN.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 76.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

6
Задания Д12 C4 № 505817

В вы­пук­лом пя­ти­уголь­ни­ке ABCDE диа­го­на­ли BE и CE яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми углов при вер­ши­нах B и C со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что точка E есть центр внев­пи­сан­ной окруж­но­сти для тре­уголь­ни­ков OCB, где O — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых CD и AB.

б) Най­ди­те пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка ABCDE, если угол A равен 35°, угол D равен 145°, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCE равна 11.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 77.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

7
Задания Д12 C4 № 505897

В параллелограмме ABCDдиагонали пересекаются в точке О, длина диагонали BD равна 12. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников AOD и COD, равно 16. Радиус окружности, описанной около треугольника AOB, равен 5. Найти площадь параллелограмма ABCD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 9.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

8
Задания Д12 C4 № 505933

В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что Найдите BC, если AB = 12.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 15.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

9
Задания Д12 C4 № 505945

В трапеции KLMN известны боковые стороны KL = 36, MN = 34, верхнее основание LM = 10 и Найдите диагональ LN.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 17.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

10
Задания Д12 C4 № 505957

Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найти площадь трапеции, если площадь треугольника AED равна 9, а точка Е делит одну из диагоналей в отношении 1 : 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 19.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

11
Задания Д12 C4 № 505963

Пло­щадь рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна Угол между диа­го­на­лью и ос­но­ва­ни­ем на 20 гра­ду­сов боль­ше угла между диа­го­на­лью и бо­ко­вой сто­ро­ной. Най­ди­те ост­рый угол тра­пе­ции, если ее диа­го­наль равна 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 20.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

12
Задания Д12 C4 № 505981

Дан па­рал­ле­ло­грамм ABCD. Точка M лежит на диа­го­на­ли BD и делит ее в от­но­ше­нии 2 : 3. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, если пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCM равна 60.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 23.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

13
Задания Д12 C4 № 505999

Периметр трапеции равен 112. Точка касания вписанной в трапецию окружности делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 8 и 18. Найдите основания этой трапеции.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 26.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

14
Задания Д12 C4 № 506071

Диа­го­на­ли тра­пе­ции равны 13 и а вы­со­та равна 5. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 38.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

15
Задания Д12 C4 № 506083

На сто­ро­не CD квад­ра­та ABCD по­стро­ен рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник CPD. Най­ди­те вы­со­ту тре­уголь­ни­ка ADP, про­ведённую из вер­ши­ны D, если из­вест­но, что сто­ро­на квад­ра­та равна 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 4*.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

16
Задания Д12 C4 № 508139

В трапеции ABCD ВС и AD — основания. Биссектриса угла А пересекает сторону CD в ее середине — точке Р.

а) Докажите, что ВР – биссектриса угла АВС.

б) Найдите площадь трапеции ABCD, если известно, что AP = 8, BP = 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 93.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

17
Задания Д12 C4 № 508175

Точка E — середина стороны AD параллелограмма ABCD, прямые BE и АС взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О.

а) Докажите, что площади треугольников АОВ и СОЕ равны.

б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если AB = 3, BC = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 99.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

18
Задания Д12 C4 № 508205

Пусть О — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD. Пе­ри­мет­ры тре­уголь­ни­ков AOB, BOC, COD и DOА равны между собой.

А) До­ка­жи­те, что в че­ты­рех­уголь­ник ABCD можно впи­сать окруж­ность.

Б) Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник DOA, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки AOB, BOC и COD равны со­от­вет­ствен­но 3, 4 и 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 107.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

19
Задания Д12 C4 № 508634

Диагонали равнобокой трапеции ABCD пересекаются под прямым углом. ВН — высота к большему основанию CD, EF — средняя линия трапеции.

а) Докажите, что BH = DH.

б) Найдите площадь трапеции, если EF = 5.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 81.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

20
Задания Д12 C4 № 508648

Трапеция ABCD с углами при одном основании и описана около круга.

а) Докажите, что отношение площади трапеции к площади круга выражается формулой

б) Найдите площадь прямоугольной трапеции если а площадь вписанного круга равна

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 85.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

21
Задания Д12 C4 № 511264

В трапеции параллельно основаниям проведены четыре отрезка с концами на боковых сторонах: KL, MN, RS и TQ. Известно, что первый отрезок проходит через точку пересечения диагоналей трапеции, второй — делит ее на два подобных четырехугольника, третий — соединяет середины боковых сторон, четвертый разбивает трапецию на две равновеликие части.

а) Найдите длины этих отрезков.

б) Докажите, что KL < MN < RS < TQ.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 128.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

22
Задания Д12 C4 № 511275

В рав­но­бо­кой опи­сан­ной тра­пе­ции ABCD, где угол B тупой, а BC и AD — ос­но­ва­ния, про­ве­де­ны: 1) бис­сек­три­са угла B; 2) вы­со­та из вер­ши­ны С; 3) пря­мая, па­рал­лель­ная AB и про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ну от­рез­ка CD.

а) До­ка­жи­те, что все они пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми впи­сан­ной и опи­сан­ной окруж­но­стей тра­пе­ции ABCD, если из­вест­но, что BC = 8, AD = 18.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 130.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

23
Задания Д12 C4 № 511839

В тра­пе­ции ABCD пло­ща­дью, рав­ной 30, диа­го­на­ли АС и BDвза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, а ∠BAC = ∠CDB. Про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон AB и CD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K.

А) До­ка­жи­те, что тра­пе­ция ABCD — рав­но­бед­рен­ная.

Б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AD, если из­вест­но, что ∠ AKD=30°, а BC < AD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 113.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

24
Задания Д12 C4 № 511864

В че­ты­рех­уголь­ник ABCD бис­сек­три­са угла С пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD в точке M, а бис­сек­три­са угла А пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке K. Из­вест­но, что AKCM — па­рал­ле­ло­грамм.

а) До­ка­жи­те, что ABCD — па­рал­ле­ло­грамм.

б) Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если BK = 3, AM = 2, а угол между диа­го­на­ля­ми AC и BD равен 60°.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 114.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

25
Задания Д12 C4 № 511893

В па­рал­ле­ло­грам­ме (от­лич­ном от ромба) про­ве­де­ны бис­сек­три­сы че­ты­рех углов.

А) До­ка­жи­те, что в че­ты­рех­уголь­ни­ке, огра­ни­чен­ном бис­сек­три­са­ми, диа­го­на­ли равны.

Б) Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, огра­ни­чен­но­го бис­сек­три­са­ми, если из­вест­но, что сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма равны 3 и 5 , а угол па­рал­ле­ло­грам­ма равен 60°.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 117.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

26
Задания Д12 C4 № 512454

В вы­пук­лом че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О. Пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков AOB и COD равны.

а) До­ка­жи­те, что точки A и D оди­на­ко­во уда­ле­ны от пря­мой ВС.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AOB, если из­вест­но, что AB = 13, BC = 10, CD = 15, DA = 24.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 136.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

27
Задания Д12 C4 № 505903

Через вер­ши­ну C квад­ра­та ABCD про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая диа­го­наль BD в точке K, а се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к сто­ро­не AB — в точке M. Най­ди­те если

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 10.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

28
Задания Д12 C4 № 505921

Про­дол­же­ния сто­рон AD и BC вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M, а про­дол­же­ния сто­рон AB и CD — в точке O. От­ре­зок MO пер­пен­ди­ку­ля­рен бис­сек­три­се угла AOD. Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ка AOD и че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, если OA = 12, OD = 8, CD = 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 13.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

29
Задания Д12 C4 № 506035

В ромбе ABCD со сто­ро­ной 2 и углом 60° про­ве­де­ны вы­со­ты CM и DK. Най­ди­те длину от­рез­ка MK.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 32.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

30
Задания Д12 C4 № 508747

Прямая p, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает прямые AB, AC, BD и CD в точках E, F, G и H соответственно, причём EF = FG.

а) Докажите, что точки пересечения прямой p с диагоналями AC и BD делят отрезок на три равных части;

б) Найдите EF, если BC = 3, AD = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 88.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

31
Задания Д12 C4 № 514054

На сторонах AD и BC параллелограмма AВCD взяты соответственно точки M и N, причем ВN : NC = 1 : 3. Оказалось, что прямые AN и АС разделили отрезок BM на три равные части. 

а) Докажите, что точка M — середина стороны АD параллелограмма.

б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что площадь четырехугольника, ограниченного прямыми АNBM и BD равна 16. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 152.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

32
Задания Д12 C4 № 514577

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, M, P, E — середины сторон AB, BC, CD, и DA соответственно.

а) Докажите, что площадь четырёхугольника KMPE равна половине площади четырёхугольника ABCD.

б) Найдите большую диагональ четырёхугольника KMPE, если известно, что AC = 6, BD = 8, а сумма площадей треугольников AKE и CMP равна

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 157.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

33
Задания Д12 C4 № 521384

В параллелограмме АВСD диагональ ВD равна стороне AD.

а) Докажите, что прямая СD касается окружности ω, описанной около треугольника АВD.

б) Пусть прямая СВ вторично пересекает ω в точке К. Найдите КD : AC при условии, что угол ВDA равен

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 204.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

34
Задания Д12 C4 № 521391

Дана тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми АD и . Окруж­но­сти, по­стро­ен­ные на бо­ко­вых сто­ро­нах этой тра­пе­ции, как на диа­мет­рах, пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках Р и К.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые РК и ВС пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б) Най­ди­те длину от­рез­ка РК, если из­вест­но, что АD = 20, BC = 6, AB = 16, DC = 14.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 205.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

35
Задания Д12 C4 № 521401

Диа­го­на­ли АС и СЕ пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF раз­де­ле­ны точ­ка­ми M и N так, что АМ : АС = СN : СЕ и точки В, М и N лежат на одной пря­мой.

а) До­ка­жи­те, что точки В, О, N и D лежат на одной окруж­но­сти (точка О — центр ше­сти­уголь­ни­ка).

б) Най­ди­те от­но­ше­ние АМ : АС.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 206.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

36
Задания Д12 C4 № 521408

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD точка Е — се­ре­ди­на сто­ро­ны АD. От­ре­зок ВЕ пе­ре­се­ка­ет диа­го­наль АС в точке Р, АB = PD.

а) До­ка­жи­те, что от­ре­зок ВЕ пер­пен­ди­ку­ля­рен диа­го­на­ли АС.

б) Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма, если АВ = 2 см, ВС = 3 см.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 207.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

37
Задания Д12 C4 № 521420

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК, ВМ и СN. На стороне АВ выбрана точка Р так, что окружность описанная около треугольника РКМ касается стороны АВ.

а) Докажите, что угол КАМ равен углу МВС.

б) Найдите РN, если РА = 30, РВ = 10.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 208.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

38
Задания Д12 C4 № 521427

Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO = KO.

б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 0,09 площади трапеции ABCD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 209.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

39
Задания Д12 C4 № 521435

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC.

а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого.

б) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если BC = 16 и AB = 10.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 210.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

40
Задания Д12 C4 № 521442

а) До­ка­жи­те, что сумма углов А, В, С, D, E в вер­ши­нах про­из­воль­ной 5‐ко­неч­ной везды равна 180° (рис.1).

б) Най­ди­те пло­щадь 5‐ко­неч­ной звез­ды, вер­ши­ны ко­то­рой сов­па­да­ют с пятью вер­ши­на­ми пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, если из­вест­но, что сто­ро­на по­след­не­го равна 6 (рис. 2).

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 211.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

41
Задания Д12 C4 № 521450

В тре­уголь­ни­ке АВС точка М — се­ре­ди­на АС.

а) До­ка­жи­те, что длина от­рез­ка ВМ боль­ше по­лу­раз­но­сти, но мень­ше по­лу­сум­мы длин сто­рон АВ и ВС.

б) Окруж­ность про­хо­дит через точки В, С, М. Най­ди­те хорду этой окруж­но­сти, ле­жа­щую на пря­мой АВ, если из­вест­но, что АВ = 5, ВС = 3, ВМ = 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 212.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

42
Задания Д12 C4 № 521502

В трапеции ABCD BC||AD, . Прямая, перпендикулярная

стороне CD, пересекает сторону АВ в точке М, а сторону CD — в точке N.

а) Докажите подобие треугольников АВN и DCM

б) Найдите расстояние от точки А до прямой ВN, если МС = 5, ВN = 3, а расстояние от точки D до прямой МС равно 6.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 217.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

43
Задания Д12 C4 № 521545

Два борта би­льярд­но­го стола об­ра­зу­ют угол 7°, как ука­за­но на ри­сун­ке. На столе лежит би­льярд­ный шар A, ко­то­рый ка­тит­ся без тре­ния в сто­ро­ну од­но­го из бор­тов под углом 113°. От­ра­же­ния от бор­тов аб­со­лют­но упру­гие. Сколь­ко раз шар от­ра­зит­ся от бор­тов?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 218.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

44
Задания Д12 C4 № 521552

На сто­ро­не BC тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­че­на K точка так, что AK = 4, ВК = 9, КС = 3. Около тре­уголь­ни­ка ABK опи­са­на окруж­ность. Через точку C и се­ре­ди­ну D сто­ро­ны AB про­ве­де­на пря­мая, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке P, при­чем CP > CD и

а) До­ка­жи­те по­до­бие тре­уголь­ни­ков АВС и АКС;

б) Най­ди­те DP.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 219.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

45
Задания Д12 C4 № 521566

Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка Р — середина боковой стороны АВ. Точка R на боковой стороне CD выбрана так, что 2CD = 3RD. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q, AD = 2BC.

а) Докажите, что точка Q — середина отрезка AR

б) Найдите площадь треугольника APQ.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 221.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

46
Задания Д12 C4 № 521760

Дан пря­мо­уголь­ник ABCD. Окруж­ность с цен­тром в точке В и ра­ди­у­сом АВ пе­ре­се­ка­ет про­дол­же­ние сто­ро­ны АВ в точке М. Пря­мая МС пе­ре­се­ка­ет пря­мую AD в точке К, а окруж­ность во вто­рой раз в точке F.

а) До­ка­жи­те, что DK = DF.

б) Най­ди­те КС, если BF = 20, DF = 21.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 230.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

47
Задания Д12 C4 № 521767

На сто­ро­не ВС тре­уголь­ни­ка АВС от­ме­че­на точка К. Ока­за­лось, что от­ре­зок АК пе­ре­се­ка­ет ме­ди­а­ну ВD в точке Е так, что АЕ = ВС.

а) До­ка­жи­те, что ВК = КE.

б) Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка CDEК, если из­вест­но, что АВ = 13, АЕ = 7, АD = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 231.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

48
Задания Д12 C4 № 527180

В че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. Точки L и M яв­ля­ют­ся со­от­вет­ствен­но се­ре­ди­на­ми сто­рон BC и AD. От­ре­зок LM со­дер­жит точку K. Че­ты­рех­уголь­ник ABCD таков, что в него можно впи­сать окруж­ность.

а) До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник ABCD тра­пе­ция.

б) Най­ди­те ра­ди­ус этой окруж­но­сти, если и

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 241.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

49
Задания Д12 C4 № 527287

В че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD через каж­дую его вер­ши­ну про­ве­де­на пря­мая, про­хо­дя­щая через центр впи­сан­ной в него окруж­но­сти. Три из этих пря­мых об­ла­да­ют тем свой­ством, что каж­дая из них делит пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка на две рав­но­ве­ли­кие части.

а) До­ка­жи­те, что и чет­вер­тая пря­мая об­ла­да­ет тем же свой­ством.

б) Какие зна­че­ния могут при­ни­мать углы этого че­ты­рех­уголь­ни­ка, если один из них равен 108°?

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 278.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

50
Задания Д12 C4 № 527319

Точка N делит диа­го­наль тра­пе­ции ABCD в от­но­ше­нии Длины ос­но­ва­ний BC и AD от­но­сят­ся как Через точку N и вер­ши­ну D про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая бо­ко­вую сто­ро­ну AB в точке M.

а) Какую часть пло­ща­ди тра­пе­ции со­став­ля­ет пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка MBCN?

б) Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 252.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

51
Задания Д12 C4 № 527396

Точки K и L яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми бо­ко­вых сто­рон AB и BC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Точка M рас­по­ло­же­на на ме­ди­а­не AL так, что Окруж­ность ω с цен­тром в точке M ка­са­ет­ся пря­мой AC и пе­ре­се­ка­ет пря­мую KL в точ­ках P и Q,

а) Найти ра­ди­ус окруж­но­сти ω.

б) Найти пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка ABC.

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 256.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

52
Задания Д12 C4 № 527418

Внут­ри па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD взята точка K так, что тре­уголь­ник CKD рав­но­сто­рон­ний. Из­вест­но, что рас­сто­я­ния от точки K до пря­мых AD, AB и BC равны со­от­вет­ствен­но 3, 6 и 5.

а) Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма.

б) Окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка CKD пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AD в точке P. Най­ди­те от­но­ше­ние

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 258.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

53
Задания Д12 C4 № 527504

На ос­но­ва­ни­ях AD и BC тра­пе­ции ABCD по­стро­е­ны квад­ра­ты ADMN и BCRS, рас­по­ло­жен­ные вне тра­пе­ции. Диа­го­на­ли тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся в точке T.

а) До­ка­жи­те, что цен­тры квад­ра­тов и точка T лежат на одной пря­мой.

б) Най­ди­те длину от­рез­ка RN, если а

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 265.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

54
Задания Д12 C4 № 527557

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD про­ве­де­на диа­го­наль АС. Точка О яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Рас­сто­я­ния от точки О до точки А и пря­мых AD и AC равны со­от­вет­ствен­но 10, 8 и 6.

а) До­ка­жи­те, что ABCD — пря­мо­уголь­ник.

б) Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD.

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 269.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

55
Задания Д12 C4 № 527592

Дана тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми сто­ро­на Про­дол­же­ния бо­ко­вых сто­рон пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, об­ра­зуя пря­мой угол AKD. Окруж­ность ω про­хо­дит через точки А и В и ка­са­ет­ся сто­ро­ны CD в точке P.

а) Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

б) Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти ω.

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 274.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Многоугольники

56
Задания Д12 C4 № 527981

Окружность с центром O касается диагонали AC и сторон AB и BC параллелограмма ABCD. Расстояния от точки О до прямых AD и AC равны 8 и 6 соответственно, OA = 10.

а) Докажите, что треугольник ABC — прямоугольный.

б) Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 283.

Пройти тестирование по этим заданиям