Из­вест­но:

1.  Про­цен­ты на вклад на­чис­ля­лись еже­ме­сяч­но.

2.  Каж­дая по­сле­ду­ю­щая про­цент­ная над­бав­ка по ис­те­че­нии ка­лен­дар­но­го ме­ся­ца на­чис­ля­лась с уче­том вновь об­ра­зо­ван­ной суммы вкла­да и с уче­том преды­ду­щих над­ба­вок.

Если пер­во­на­чаль­ная сумма вкла­да при еже­ме­сяч­ной 5%-ной став­ке на­чис­ле­ния про­цен­тов про­дер­жа­лась k ме­ся­цев, то вклад еже­ме­сяч­но уве­ли­чи­вал­ся в раз, и этот ко­эф­фи­ци­ент будет со­хра­нен до тех пор, пока став­ка не из­ме­нит­ся.

При из­ме­не­нии про­цент­ной над­бав­ки с на (став­ка про­дер­жа­лась m ме­ся­цев) пер­во­на­чаль­ная сумма вкла­да за ме­ся­цев уве­ли­чит­ся в раза.

Пред­по­ло­жим, что про­цент­ная став­ка про­дер­жа­лась n ме­ся­цев, а про­цент­ная став­ка про­дер­жа­лась t ме­ся­цев. Тогда со­от­вет­ству­ю­щие ко­эф­фи­ци­ен­ты по­вы­ше­ния со­ста­вят:

Таким об­ра­зом, ко­эф­фи­ци­ент по­вы­ше­ния суммы вкла­да в целом за весь пе­ри­од хра­не­ния вкла­да в банке со­ста­вит:

С дру­гой сто­ро­ны, со­глас­но усло­вию за­да­чи пер­во­на­чаль­ная сумма вкла­да за это же время уве­ли­чи­лась на то есть в

Зна­чит,

Со­глас­но ос­нов­ной тео­ре­ме ариф­ме­ти­ки каж­дое на­ту­раль­ное число, боль­шее 1, можно пред­ста­вить в виде про­из­ве­де­ния про­стых мно­жи­те­лей, и это пред­став­ле­ние един­ствен­ное с точ­но­стью до по­ряд­ка их сле­до­ва­ния. В таком слу­чае:

Решим эту си­сте­му от­но­си­тель­но на­ту­раль­ных и Из по­след­не­го урав­не­ния си­сте­мы имеем: При этих зна­че­ни­ях k и m си­сте­ма при­мет вид:

Итак, вклад в банке на хра­не­нии был 7 ме­ся­цев. При най­ден­ных зна­че­ни­ях и t дей­стви­тель­но равно нулю.

Ответ: 7.

При­ме­ча­ние.

Более про­стой ва­ри­ант этой за­да­чи см. в но­ме­рах 620478, 620778, 635568 и 532959.

Пред­по­ло­жим, что сбе­ре­же­ния Куз­не­цо­ва со­став­ля­ли х р.

Семен пла­ни­ро­вал через год по­лу­чить в банке «Навро­де», 6х = А (р).

Од­на­ко г-н Куз­не­цов (р) своих сбе­ре­же­ний «вло­жил» в банку из-под ма­ка­рон, а осталь­ные руб­лей  — в банк «Пер­вый Му­ни­ци­паль­ный». Ска­жем, в этом банке про­цент­ные вы­пла­ты в пер­вый год хра­не­ния де­неж­ных средств со­ста­ви­ли y %. Тогда во вто­рой год эта про­цент­ная став­ка стала %. За 2 года хра­не­ния в банке «Пер­вый Му­ни­ци­паль­ный» вклад Се­ме­на вырос до

А зна­че­ние этого вы­ра­же­ния равно

Решим урав­не­ние от­но­си­тель­но у.

не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи.

Се­ме­ну Куз­не­цо­ву банк «Пер­вый Му­ни­ци­паль­ный» за пер­вый год хра­не­ния вкла­да на­чис­лил 20% .

Ответ: 20%.

Обо­зна­чим сумму по­лу­чен­но­го кре­ди­та Лени Го­луб­ко­ва S. Еже­год­ные вы­пла­ты кли­ен­та со­став­ля­ли х р.

В конце пер­во­го года срока по­га­ше­ния кре­ди­та Лёне была на­чис­ле­на про­цент­ная став­ка в раз­ме­ре 1,2S р. А Леня в тот же день в банк пе­ре­вел х р. Лёнин долг со­став­ля­ет

В конце вто­ро­го года долг ста­но­вит­ся:

В конце тре­тье­го года  —

А в конце чет­вер­то­го года:

Но этот долг уже равен нулю. Сле­до­ва­тель­но,

Сей­час не­труд­но вы­чис­лить и ис­ко­мую сумму:

Ра­ци­о­на­ли­за­ция вы­чис­ле­ния:

Ответ: 29264.

Пер­во­на­чаль­но в колбе было 8 · 0,32  =  2,56 л кис­ло­ро­да. Пусть вы­пус­ка­ли по х лит­ров смеси. Тогда после пер­во­го вы­пус­ка­ния в смеси оста­лось л кис­ло­ро­да, что со­став­ля­ет

лит­ров об­ра­зо­вав­шей­ся смеси. Вновь вы­пу­сти­ли x л смеси. В ней со­дер­жа­лось

лит­ров кис­ло­ро­да, а в колбе оста­лось:

лит­ров кис­ло­ро­да. Этот объем со­став­ля­ет 12,5% всей смеси, име­ю­щей объем 8 л.

Решим урав­не­ние:

Зна­че­ние не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи.

Ответ: 3.

Пред­по­ло­жим, что семье Ива­но­вых банк может предо­ста­вить кре­дит в раз­ме­ре х руб­лей. В те­че­ние пер­во­го года после по­лу­че­ния кре­ди­та семья не пе­ре­во­дит денег в банк.

По ис­те­че­нии пер­во­го от­чет­но­го года банк уве­ли­чи­ва­ет долг на 20%. Долг ста­но­вит­ся 1,2х руб. В те­че­ние вто­ро­го от­чет­но­го года Ива­но­вы вно­сят в банк 810 000 руб.

К на­ча­лу тре­тье­го от­чет­но­го года долг семьи ста­но­вит­ся (1,2х − 810000) руб, а с уче­том оче­ред­ной про­цент­ной став­ки:

В те­че­ние этого от­чет­но­го года семья вно­сит в банк 810 000 руб. Долг умень­ша­ет­ся до

Оче­ред­ное при­ме­не­ние про­цент­ной став­ки при­во­дит к тому, что на на­ча­ло чет­вер­то­го от­чет­но­го года долг Ива­но­вых банку ста­но­вит­ся Мо­ло­дая семья вновь вно­сит 810 000 р. Те­перь уже долг Ива­но­вых умень­ша­ет­ся до

На­чи­на­ет­ся пятый, фи­ниш­ный год. Банк вновь уве­ли­чи­ва­ет долг Ива­но­вых на 20%. В ре­зуль­та­те он (долг) ста­но­вит­ся рав­ным В те­че­ние фи­ниш­но­го года Ива­но­вы вновь вно­сят 810 000 руб. В ре­зуль­та­те этого же по­га­ше­ния долга мо­ло­дая семья уже сво­бод­на от даль­ней­ших вы­плат.

Решим урав­не­ние

Ответ: 2096875 руб.