СДАМ ГИА






Каталог заданий. Круглые тела
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д6 C2 № 505593

Плоскость, проведенная через центр шара, вписанного в конус, параллельна плоскости основания конуса, делит объем конуса пополам. Найти угол при вершине осевого сечения конуса.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 41.

2
Задания Д6 C2 № 505623

В треугольной пирамиде SABC все ребра равны друг другу. На ребре SA взята точка M такая, что SM = MA, на ребре SB — точка N такая, что SN : SB = 1 : 3. Через точки M и N проведена плоскость, параллельная медиане AD основания ABC. Найти отношение объема треугольной пирамиды, отсекаемой от исходной проведенной плоскостью, к объему пирамиды SABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 46.

3
Задания Д6 C2 № 505641

Все грани треугольной пирамиды — равные равнобедренные треугольники, а высота пирамиды совпадает с высотой одной из ее боковых граней. Найти объем пирамиды, если расстояние между наибольшими противоположными ребрами равно единице.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 48.

4
Задания Д6 C2 № 505653

В усеченный конус, образующая которого наклонена под углом 45 градусов к нижнему основанию, вписан шар. Найти отношение величины боковой поверхности усеченного конуса к величине поверхности шара.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 50.

5
Задания Д6 C2 № 505665

На ребрах AA1 и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечены соответственно точки E и F такие, что AE = 2A1E, CF = 2C1F. Через точки B, E и F проведена плоскость, делящая куб на две части. Найдите отношения объема части, содержащей точку B1, к объему всего куба.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 52.

6
Задания Д6 C2 № 505671

Дана пирамида SABC, точки D и E лежат соответственно на ребрах SA и SB, причем SD : DA = 1 : 2 и SE : EB = 1 : 2. Через точки D и E проведена плоскость, параллельная ребру SC. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 53.

7
Задания Д6 C2 № 505707

В пирамиде SABC ребра SC, и AC равны соответственно 3 и 4. Известно, что угол ABC тупой, ребро SC перпендикулярно к плоскости основания ABC, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S, точку пересечения медиан треугольника ABC и центр окружности, вписанной в этот треугольник.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 59.

8
Задания Д6 C2 № 505731

Длина высоты SO правильной треугольной пирамиды SABC равна 1, а длины сторон основания ABC равны Точки M и N — середины отрезков АС и AB. Вычислить радиус сферы, вписанной в пирамиду SАMN.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 63.

9
Задания Д6 C2 № 505755

В прямой круговой конус вписан шар. Отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара равно 49 : 12. Найти отношение удвоенного объем шара к объему конуса.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 67.

10
Задания Д6 C2 № 505761

В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 7, 8, 9. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60 градусов. Найдите высоту пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 68.

11
Задания Д6 C2 № 505767

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена высота SD. На отрезке SD взята точка K так, что SK : KD = 1 : 2. Известно, что двугранные углы между основанием и боковыми гранями равны 30 градусов, а расстояние от точки K до бокового ребра равно Найти объём пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 69.

12
Задания Д6 C2 № 505773

Угол наклона всех боковых граней пирамиды SABC одинаков и равен Основанием пирамиды являются прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Найти боковую поверхность пирамиды, если а радиус вписанной в треугольник ABC окружности равен 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 70.

13
Задания Д6 C2 № 505779

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S сторона основания равна Через прямую AB проведено сечение перпендикулярное ребру SC, площадь которого равна 18. Найти длину бокового ребра пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 71.

14
Задания Д6 C2 № 505785

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона равна Точка K — середина ребра SC. Через прямую AK проведено сечение, параллельное одной из диагоналей основания, площадь которого равна 60. Найдите расстояние от точки B до плоскости сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 72.

15
Задания Д6 C2 № 505791

В правильном тетраэдре ABCD точки K и N середины рёбер AB и AD соответственно. Прямая DO перпендикулярна плоскости ABC. Расстояние между прямыми KN и DO равно 3. Найти площадь сечения тетраэдра проходящего через середины трёх смежных рёбер.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 73.

16
Задания Д6 C2 № 505797

Правильная треугольная призма ABCA1B1C1 описана около шара радиуса 1. Пусть M — середина ребра BB1 и N —  середина ребра СС1. В шар вписан прямой круговой цилиндр так, что его основание лежит в плоскости AMN. Найдите объём этого цилиндра.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 74.

17
Задания Д6 C2 № 505821

Дана треугольная призма ABCA1B1C1 (AA1 || BB1 || CC1). На ребре CC1 выбрана точка D. Сечение, проходящее через точки A, B1 и D, делит призму на два многогранника ABCDB1 и B1AA1C1D, отношение объёмов которых равно 13 : 17. В каком отношении точка D делит ребро CC1?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 78.

18
Задания Д6 C2 № 505889

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. Найдите расстояние между прямыми AD1 и A1C1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 8.

19
Задания Д6 C2 № 505901

Основанием пирамиды служит параллелограмм ABCD. Через сторону AB и середину K бокового ребра проведена плоскость. Найти отношение объемов получившихся частей.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 10.

20
Задания Д6 C2 № 505997

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 AC = 6, AA1 = 8. Через вершину A проведена плоскость, пересекающая ребра BB1 и CC1 соответственно в точках M и N. Найти, в каком отношении эта плоскость делит объем призмы, если известно, что BM = MB1, а AN является биссектрисой угла CAC1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 26.

21
Задания Д6 C2 № 506015

В треугольной пирамиде ABCD плоские углы BAC, BAD и CAD при вершине A равны и соответственно. Определить угол между гранями BAD и CAD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 29.

22
Задания Д6 C2 № 506021

Через середину диагонали куба проведена плоскость перпендикулярно этой диагонали. Найти отношение площади сечения куба данной плоскостью к площади полной поверхности куба.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 30.

23
Задания Д6 C2 № 506045

Сечение SAB, проходящее через вершину S прямого кругового конуса, имеет площадь 60. Точки A и B, лежащие на окружности основания конуса, делят ее длину в отношении 1 : 5. Найти объем конуса, если угол SAB равен

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 34.

24
Задания Д6 C2 № 506051

В прямом кругом цилиндре, осевое сечение которого квадрат со стороной 12, хорда , равная перпендикулярна диаметру Найти площадь сечения цилиндра плоскостью если образующая цилиндра.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 35.
Решение · ·

25
Задания Д6 C2 № 506057

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB = 10. Найдите расстояние между прямой CC1 и прямой, проходящей через точку A и параллельной прямой CM1, где M1 — середина стороны A1B1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 36.

26
Задания Д6 C2 № 506063

В правильной четырехугольной пирамиде с вершиной стороной основания равной 6 и боковым ребром 5, проведена плоскость через середины ребер и В пирамиду вписан шар. Найти площадь сечения шара плоскостью

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 37.

27
Задания Д6 C2 № 506069

Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечения шара этими плоскостями равно 0,84. Найдите радиус шара.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 38.

28
Задания Д6 C2 № 508087

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. На продолжении ребра CD взята точка K так, что KD : KC = 3 : 4. На ребре SC взята точка L так, что SL : LC = 2 : 1.

а) Постройте плоскость, проходящую точки K, B и L;

б) В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 82.

29
Задания Д6 C2 № 508143

На основании правильной треугольной пирамиды с высотой 2 лежит шар, касающийся основания в его центре. Радиус окружности, вписанной в основание, равен 1. Плоскость p, проведённая через вершину пирамиды и середины двух сторон основания, касается этого шара.

а) Постройте плоскость p.

б) Найдите радиус шара.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 94.

30
Задания Д6 C2 № 508167

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD каждое ребро равно 12. На ребре PC отмечена точка K так, что PK : KC = 1 : 3.

а) Докажите, что линия пересечения плоскостей ABK и PCD параллельна плоскости ABC.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ABK.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 98.

31
Задания Д6 C2 № 508185

Основанием пирамиды является трапеция с основаниями 25 и 7 и острым углом   Каждое боковое ребро пирамиды наклонено к основанию под углом 60°.

А) Докажите, что существует точка M, одинаково удаленная от всех вершин пирамиды (центр описанной сферы).

Б) Найдите объем данной пирамиды.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 104.

32
Задания Д6 C2 № 509167

Четыре сферы радиуса 1 попарно касаются. Найдите радиус сферы, касающейся всех четырёх сфер.


33
Задания Д6 C2 № 509168

Четыре сферы радиуса 1 попарно касаются друг друга. Найдите высоту конуса, содержащего эти сферы так, что все они касаются боковой поверхности и три из них — основания конуса.


34
Задания Д6 C2 № 509169

Два шара касаются друг друга и граней трёхгранного угла, все плоские углы которого прямые. Найдите отношение радиусов этих шаров.


35
Задания Д6 C2 № 509170

Внутри правильного тетраэдра с ребром a‍ расположены четыре равных шара. Каждый шар касается трёх других и трёх граней тетраэдра. Найдите радиусы шаров.


36
Задания Д6 C2 № 509171

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно b,‍ а плоский угол при вершине равен α.‍ Найдите радиус сферы описанной около пирамиды.


37
Задания Д6 C2 № 509172

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a.‍ Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60‍°.‍ Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.


38
Задания Д6 C2 № 509173

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна a.‍ Боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60‍°.‍ Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.


39
Задания Д6 C2 № 509174

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a.‍ Боковая грань образует с плоскостью основания угол 45‍°.‍ Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.


40
Задания Д6 C2 № 509175

Сторона основания и высота правильной шестиугольной пирамиды пирамиды равны a.‍ Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.


41
Задания Д6 C2 № 509176

Правильная треугольная призма ABCA‍1B‍1C‍1‍ описана около шара радиуса R.‍ Точки M‍ и N —‍ середины рёбер BB‍1‍ и CC‍1.‍ В шар вписан цилиндр так, что его основание лежит в плоскости AMN.‍ Найдите объём цилиндра


42
Задания Д6 C2 № 511160

Шар касается основания АВС правильной треугольной пирамиды SABC в точке В и ее бокового ребра SA. Найдите радиус шара, если сторона основания пирамиды равна 3, а боковое ребро равно 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 111.

43
Задания Д6 C2 № 511266

Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1.

а) Докажите, что объем пирамиды с вершинами в точках A, B1, B, C1 составляет третью часть объема призмы.

б) Найдите угол между прямыми AB1 и BC1, если известно, что AB = 2, AA1 = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 129.

44
Задания Д6 C2 № 511273

Все плоские углы при вершине S пирамиды SABC прямые.

а) Докажите, что точка S, точка пересечения медиан треугольника ABC и точка, равноудаленная от вершин пирамиды (центр описанной сферы), лежат на одной прямой.

б) Найдите радиус сферы вписанной в пирамиду SABC, если известно, что SA = 2, SB = 3, SC = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 130.

45
Задания Д6 C2 № 511280

В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник со стороной 18. Высота призмы равна Точка N делит ребро A1C1 в отношении 1 : 2, считая, от точки A1.

а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.

б) Найдите площадь этого сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 131.

46
Задания Д6 C2 № 511830

Основанием пирамиды PABC является правильный треугольник ABC со стороной 6. Каждая боковая грань образует с плоскостью основания угол Найдите радиус сферы, вписанной в данную пирамиду.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 112.

47
Задания Д6 C2 № 511837

Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, в котором CB = CA = 5, BA = 6. Высота призмы равна 10. Точка M — середина ребра AA1.

А) Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости MBC1 и ABC.

Б) Вычислите угол между плоскостями MBC1 и ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 113.

48
Задания Д6 C2 № 511891

Через вершину В1 куба ABCDA1B1C1D1 проведена плоскость Ω, перпендикулярная прямой ВD1.

А) Докажите, что плоскость Ω делит отрезок ВD1 в отношении 2 : 1, считая от вершины D1.

Б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые разбивает куб плоскость Ω.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 117.

49
Задания Д6 C2 № 512424

а) Докажите, что медианы тетраэдра (отрезки, соединяющие вершины с точками пересечения медиан противоположных граней) и отрезки, соединяющие середины противоположных ребер, пересекаются в одной точке.

б) Дан тетраэдр с прямыми плоскими углами при вершине Площади граней и равны соответственно 132, 150, 539. Найдите объем тетраэдра.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 132.

50
Задания Д6 C2 № 512431

Все ребра правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 равны

а) Построить сечение призмы плоскостью AFC1.

б) Найдите площадь этого сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 133.

51
Задания Д6 C2 № 512438

Все ребра куба равны

а) Постройте сечение куба, проходящее через середины ребер AB, BC, CC1.

б) Найдите площадь этого сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 134.

52
Задания Д6 C2 № 512445

Все ребра правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равны 4.

а) Постройте сечение призмы, проходящее через середины ребер BC, CC1, A1C1.

б) Найдите площадь сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 135.

53
Задания Д6 C2 № 512452

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 3, AA1 = 4, AD = 5.

а) Докажите, что точки B, C1, D и A1 не лежат в одной плоскости.

б) Найдите объем многогранника с вершинами в точках B, C1, D и A1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 136.

54
Задания Д6 C2 № 512459

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра и SC = 17.

а) Докажите, что прямые AB и SC перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки А, В и середину высоты пирамиды, проведенной из вершины S.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 137.

55
Задания Д6 C2 № 512466

На высоте равностороннего конуса как на диаметре построен шар. 

а) Докажите, что полная поверхность конуса равновелика поверхности шара. 

б) Найдите отношение объема той части конуса, которая лежит внутри шара, к объему той части шара, которая лежит вне конуса. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 138.

56
Задания Д6 C2 № 505611

В тетраэдре ABCD на ребре AB взята точка K, на ребре AC — точка L, на ребре BD — точка N, на ребре СD — точка M. Точки E и G есть середины ребер AD и BC соответственно. Прямые EG, KM и LN пересекаются в одной точке. Найти площадь четырехугольника KLMN, если AK : KB = 5, AD = 9, BC = 9, а угол между скрещивающимися прямыми AD и BC равен 45°.


57
Задания Д6 C2 № 505635

В правильный тетраэдр ABCD вписан шар. Из точки D на грань ABC тетраэдра опущена высота DE. Точка P является серединой отрезка DE. Через точку P проведена плоскость, перпендикулярно к DE. Из всех точек, которые принадлежат одновременно шару и проведенной плоскости, взята точка O, являющаяся ближайшей к точке A. Найти расстояние от точки O до грани ABD, если объем шара равен 1.


58
Задания Д6 C2 № 505647

В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC. Середина D гипотенузы AB этого треугольника является основаниет высоты SD данной пирамиды. Известно, что SD = 2, AC = 4, BC = 3. Через середину высоты SD проведено сечение пирамиды плоскостью, параллельной ребрам AC и SB. Найти площадь этого сечения.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 49.

59
Задания Д6 C2 № 505695

У Северного полюса, на острове Шпицберген в чертогах Снежной королевы хранился небывалой красоты ледяной алмаз в форме тетраэдра SABC. В Новогоднюю ночь злой тролль похитил часть алмаза и эта часть имеет форму тетраэдра SAKM, а его верные ученики и от оставшейся части взяли себе кусок и тоже в форме тетраэдра KABC. Снежной королеве осталась часть алмаза и она имеет форму тетраэдра CAKM. Какую часть первоначального алмаза оставили Снежной королеве Тролль и ученики? В треугольнике ABC угол B = 90°, AB = 3, BC = 4, AS перпендикулярно плоскости ABC, AS = 4, AK перпендикулярно SB, AM перпендикулярно SC.


60
Задания Д6 C2 № 505713

Шар, радиус которого равен 2, вписан в правильную четырехугольную пирамиду SABCD с вершиной S. Второй шар радиуса 1 касается первого шара, основания пирамиды и боковых граней BSC и CSD. Найдите объем пирамиды.


61
Задания Д6 C2 № 505743

В треугольной пирамиде длины двух непересекающихся рёбер равны 12 и 4, а остальные рёбра имеют длину 7. В пирамиду вписана сфера. Найти расстояние от центра сферы до ребра длины 12.


62
Задания Д6 C2 № 505749

В пирамиде SLMN даны рёбра LM = 5, MN = 9, NL = 10. Сфера радиуса касается плоскости основания LMN и боковых рёбер пирамиды. Точки касания делят эти рёбра в равных отношениях, считая от вершины S. Найти объём пирамиды.


63
Задания Д6 C2 № 505803

Боковые рёбра правильной треугольной пирамиды SABC наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов. Шар касается плоскости основания ABC в точке A и, кроме того, касается вписанного в пирамиду шара. Через центр первого шара и высоту BD основания проведена плоскость. Найти угол наклона этой плоскости к плоскости основания.


64
Задания Д6 C2 № 505809

Основанием пирамиды является ромб со стороной 2, а его острый угол равен 45 градусов. Шар, радиус которого равен , касается плоскостей каждой боковой грани пирамиды в точке, лежащей на тороне основания пирамиды. Найти объём пирамиды.


65
Задания Д6 C2 № 505815

Сторона DC прямоугольника ABCD служит высотой конуса с вершиной D, DC = 2. Радиус основания этого конуса в два раза длиннее отрезка BC. Шар касается плоскости прямоугольника ABCD в точке A и имеет единственную общую точку с конусом. Найдите радиус шара.


66
Задания Д6 C2 № 505973

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S боковая сторона равна а сторона основания Точки M и K — середины ребер AD и AB соответственно. Точка E лежит на ребре SC. Угол между плоскостью MKE и плоскостью основания равен 30 градусов. Найти площадь сечения, проходящего через точки M, K и E.


67
Задания Д6 C2 № 505985

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S и боковым ребром точки M и K — середины ребер SF и SC соответственно. Найти длину стороны основания, если угол между плоскостями AEK и BDM равен


68
Задания Д6 C2 № 506003

В треугольной пирамиде SABC на ребре SB взята точка M, делящая отрезок SB в отношении 3 : 5, считая от вершины S. Через точки A и M параллельно медиане BD треугольника ABC проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?


69
Задания Д6 C2 № 506027

Через середину высоты правильной четырехугольной пирамиды проведено сечение, перпендикулярное боковому ребру. Найдите площадь этого сечения, если длина бокового ребра равна 4, а угол между боковыми ребрами, лежащими в одной грани, равен 60°.


70
Задания Д6 C2 № 508155

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AB = 8, BC = 6, косинус угла между прямыми ВD1 и АС равен

а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки А и С параллельно прямой ВD1.

б) Найдите отношение объемов многогранников, на которые делит параллелепипед эта плоскость.


71
Задания Д6 C2 № 508179

Основанием пирамиды является равнобокая трапеция с основаниями 18 и 8. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом 60°.

А) Докажите, что существует точка О, одинаково удаленная от всех граней пирамиды  (центр вписанной сферы).

Б) Найдите площадь полной поверхности данной пирамиды.


72
Задания Д6 C2 № 508594

В прямоугольном параллелепипеде ABCD1B1C1D1 известно, что AB = 8, BC = 6, косинус угла между прямыми ВD и AC1 равен 0,14.

А) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки В и D параллельно прямой AC1.

Б) Найдите объем пирамиды, отсекаемой от параллелепипеда этой плоскостью.


73
Задания Д6 C2 № 508601

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 6, а высота 4. Точки KPM — середины ребер ABBC, SD.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки KMP.

б) Найдите площадь этого сечения.


74
Задания Д6 C2 № 508646

Сфера единичного радиуса вписана в двугранный угол величиной 60°. В тот же угол вписана сфера меньшего радиуса так, что она касается предыдущей. Угол между прямой α, соединяющей центры обеих сфер, и ребром двугранного угла составляет 45°.

а) Постройте плоскость, проходящую через ребро двугранного угла и прямую α.

б) Найдите радиус меньшей сферы.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 85.

75
Задания Д6 C2 № 508754

В кубе АВСDA1B1C1D1 с длиной ребра, равной 1, на вертикальном ребре АА1 и на горизонтальном ребре АВ взяты точки M и N соответственно, причем

а) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки М и N параллельно диагонали АС нижнего основания куба.

б) Найти площадь этого сечения.


76
Задания Д6 C2 № 508937

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD длина высоты, опущенной из вершины S на основание ABCD, равна Через точку касания с боковой гранью SAB вписанного в эту пирамиду шара параллельно прямой АВ проведена плоскость, проходящая через ближайшую к вершине S точку шара.

а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.

б) Найдите площадь сечения, если АВ =


77
Задания Д6 C2 № 513785

Основанием пирамиды SABCD является трапеция ABCD, у которой AD||BC. На ребре SC выбрана точка K так, что CK : KS = 2 : 5. Плоскость, проходящая через точки А, В и K, пересекает ребро SD в точке L. Известно, что объемы пирамид SABKL и SABCD относятся, как 95 : 189.  

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью ABK

б) Найдите отношение длин оснований трапеции ABCD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 150.

78
Задания Д6 C2 № 514052

В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC (AB = АС). Точка K — середина ребра B1C1

а) Докажите, что прямая AB1 параллельна плоскости CKA1

б) Найдите расстояние от прямой AB1 до плоскости CKA1, если известно, что CB = 6, CA = 5, CC1 = 12.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 152.

79
Задания Д6 C2 № 514589

AB — диаметр нижнего основания цилиндра, а CD — хорда верхнего основания цилиндра, причём CD || AB.

а) Докажите, что отрезки AC и BD равны.

б) Найдите объём пирамиды, основанием которой является четырёхугольник с вершинами в точках A, B, C, D, а вершиной — центр верхнего основания цилиндра, если известно, что высота цилиндра равна 9, AB = 26, CD = 10.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 159.

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте · Редакция

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!