СДАМ ГИА






Каталог заданий. Числа и их свойства
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д13 C7 № 505609

Дано иррациональное число такое что По нему определяется новое число как меньшее из двух чисел и По этому числу аналогично определяется и так далее.

а) Докажите, что для некоторого n выполнено неравенство

б) Может ли случиться, что при всех натуральных

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 43.

2
Задания Д13 C7 № 505615

На бумажке записаны три положительных числа: x, y и 1. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких‐нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому‐нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке

а) число x2?

б) число xy?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 44.

3
Задания Д13 C7 № 505627

Рассматриваются тройки целых чисел a, b и c, для которых выполнено условие: a + b + c = 0. Для каждой такой тройки вычисляется число d = a1999 + b1999 + c1999.

а) Может ли случиться, что d = 2?

б) может ли случиться, что d — простое число?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 46.

4
Задания Д13 C7 № 505639

Перемножаются все выражения вида (при всевозможных комбинациях знаков).

а) Может ли результат являться целым числом?

б) Может ли результат являться квадратом целого числа?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 47.

5
Задания Д13 C7 № 505651

чисел () называются близкими, если каждое из них меньше, чем сумма всех чисел, деленная на Пусть ... — n близких чисел, — их сумма.

Докажите, что

а) все они положительны;

б) всегда

в) всегда

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 49.

6
Задания Д13 C7 № 505675

На доске написаны числа 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/11 и 1/12.

а) Докажите, что как бы мы ни расстaвляли знаки «+» и «−» между этими числами, выражение не будет равно 0.

б) Какое наименьшее количество написанных чисел необходимо стереть с доски для того, чтобы после некоторой расстановки «+» и «−» между оставшимися числами значение выражения равнялось 0?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 53.

7
Задания Д13 C7 № 505681

Натуральные числа и получаются друг из друга перестановкой цифр. Докажите, что

а) суммы цифр чисел и равны;

б) если и чётные, то суммы цифр чисел и равны;

в) суммы цифр чисел и равны.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 54.

8
Задания Д13 C7 № 505687

Для любого натурального числа через обозначим такое наибольшее натуральное число, что для любого натурального числа не превосходящего число представимо в виде суммы квадратов натуральных чисел.

а) Докажите для любого неравенство

б) Найдите хотя бы одно такое натуральное число что

в) Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных что

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 55.

9
Задания Д13 C7 № 505711

Натуральные числа M и K отличаются перестановкой цифр.

Доказать что:

а) сумма цифр числа 2M равна сумме цифр числа 2K;

б) сумма цифр числа M/2 равна сумме цифр числа K/2 (если M и K чётны);

в) сумма цифр числа 5M равна сумме цифр числа 5K.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 59.

10
Задания Д13 C7 № 505759

Круглая мишень разбита на 20 секторов, которые нумеруются по кругу в каком-либо порядке числами 1, 2, ..., 20. Если секторы занумерованы, например, в следующем порядке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наименьшая из разностей между номерами соседних (по кругу) секторов равна 12 − 9 = 3.

а) Может ли указанная величина при нумерации в другом порядке быть больше 3?

б) Каково наибольшее возможное значение этой величины?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 67.

11
Задания Д13 C7 № 505783

а) Дано шесть натуральных чисел. Все они различны и дают в сумме 22. Найти эти числа.

б) Докажите, что других таких чисел нет.

в) Тот же вопрос про 100 чисел, дающих в сумме 5051.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 71.

12
Задания Д13 C7 № 505789

Даны натуральные числа M и N, большие десяти, состоящие из одинакового количества цифр и такие, что M = 3N. Чтобы получить число M, надо в числе N к одной из цифр прибавить 2, а к каждой из остальных цифр прибавить по нечётной цифре.

а) Приведите пример таких чисел

б) Может ли число N заканчиваться цифрой 1?

в) Какой цифрой могло оканчиваться число N?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 72.

13
Задания Д13 C7 № 505795

Известно, что сумма цифр натурального числа N равна 100, а сумма цифр числа 5N равна 50.

а) Может ли число N заканчиваться на 1?

б) Докажите, что N четно.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 73.

14
Задания Д13 C7 № 505807

Написано 1992‐значное число. Каждое двузначное число, образованное соседними цифрами, делится на 17 или на 23. Последняя цифра числа 1.

а) Делится ли данное число на 3?

б) Какова первая цифра числа?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 75.

15
Задания Д13 C7 № 505819

С натуральным числом (записываемым в десятичной системе) разрешено проделывать следующие операции:

А) приписать на конце цифру 4;

Б) приписать на конце цифру 0;

В) разделить на 2 (если число чётно).

Например, если с числом 4 проделаем последовательно операции В, В, А и Б, то получим число 140.

а) Из числа 4 получите число 1972.

б) Докажите, что из числа 4 можно получить любое натуральное число.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 77.

16
Задания Д13 C7 № 505825

Можно ли расставить числа  

а) от 1 до 7;

б) от 1 до 9

по кругу так, чтобы любое из них делилось на разность своих соседей?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 78.

17
Задания Д13 C7 № 505837

Существуют ли

а) шесть,

б) 1000 таких различных натуральных чисел, что для любых двух a и b из них сумма a + b делится на разность a − b?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 80.

18
Задания Д13 C7 № 505843

Даны натуральные числа и такие, что Среднее арифметическое этих чисел делится на 13.

а) Найдите наименьшую сумму такую, что она является квадратом натурального числа.

б) Найите наибольшее значение числа если и сумма имеет наименьшее значение.

в) Найдите наименьшее число если известно, что числа и в указанном порядке составляют арифметическую прогрессию с разностью

г) Если известно, что числа и в указанном порядке составляют возрастающую арифметическую прогрессию с разностью найдите наименьшее , при котором число будет наименьшим , и все члены арифметической прогрессии будут являться квадратами натурального числа.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 1.
Решение · ·

19
Задания Д13 C7 № 505849

В лицее № 4 оценки ставят в аттестат по успеваемости за 9 и 11 классы. Если оценки отличаются на 1 балл, то ставят в пользу ученика, если более, чем на 1 балл, т ставят среднее. Известно, что в 9 и 11 классах у Лены было 5 предметов, причём среднее арифметическое всех оценок в 9 класс равно 4,6, а среднее арифметическое всех оценок в 11 классе равно 4,8.

а) Могла ли Лена получить отличный аттестат?

б) Могла ли Лена закончить лицей с тройкой?

в) В спец. классе лицея n предметов. Если бы Лена там обучалась, и среднее арифметическое всех оценок за 9 класс оказалось равно 4,1, а за 11 класс — 4,9, то она стала бы отличницей. При каком наименьшем это возможно?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 2.

20
Задания Д13 C7 № 505887

В вершинах треугольника записано по натуральному числу, па каждой стороне — произведение чисел, записанных в её концах, а внутри треугольника — произведение чисел, записанных в его вершинах. Сумма всех семи чисел равна 1000. Какие числа записаны в вершинах треугольника?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 7.

21
Задания Д13 C7 № 505911

Найдите все целые значения для каждого из которых число Будет рациональным.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 11.

22
Задания Д13 C7 № 505917

Последнюю цифру шестизначного числа переставили в начало (например 123456 — 612345), и полученное шестизначное число прибавили к исходному числу. Какие числа из промежутка [891870; 891899] могли получиться в результате сложения?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 12.

23
Задания Д13 C7 № 505929

В десятичной записи положительного числа поменяли местами цифры, стоящие на первом и третьем местах после запятой. При этом число увеличилось в 13 раз.

а) Какая цифра стояла на третьем месте после запятой в исходном числе?

б) Какое число получилось?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 14.

24
Задания Д13 C7 № 505941

Даны 20 различных натуральных чисел, меньших 70. Докажите, что среди их попарных разностей найдутся четыре одинаковых.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 16.

25
Задания Д13 C7 № 506019

На окружности расставлены 999 чисел, каждое равно 1 или −1, причем не все числа одинаковые. Возьмем все произведения по 10 подряд стоящих чисел и сложим их.

а) Какая наименьшая сумма может получиться?

б) А какая наибольшая?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 29.

26
Задания Д13 C7 № 506061

На плоскости даны 8 отрезков. Длина каждого отрезка является натуральным числом, не превосходящим 20. Пусть n – число различных треугольников, которые можно составить из этих отрезков. Один и тот же отрезок может использоваться для разных треугольников, но не может использоваться дважды для одного треугольника.

а) Может ли n = 60?

б) Может ли n = 55?

в) Найдите наименьшее возможное значение n, если среди данных отрезков нет трех равных.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 36.

27
Задания Д13 C7 № 506085

А, И, Б сидели на трубе. К ним стали по очереди подсаживаться другие буквы так, что порядковый номер очередной буквы в русском алфавите равнялся сумме цифр порядковых номеров двух предыдущих букв. Оказалось, что начиная с некоторого момента буквы стали циклически повторяться.

а) Какая буква (из числа циклически повторяющихся) встречается наиболее часто?

б) Может ли циклически повторяющийся набор состоять из одной буквы? Если да, указать эту букву.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 4*.

28
Задания Д13 C7 № 508091

Дана геометрическая прогрессия вида Возможно ли выделить геометрическую прогрессию с суммой членов, равной

а)

б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 82.

29
Задания Д13 C7 № 508100

Имеются 300 яблок. Докажите, что их можно разложить в пакеты по два яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более, чем в полтора раза, если любые два яблока различаются по весу не более, чем:

а) в два раза;

б) в три раза.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 83.

30
Задания Д13 C7 № 508106

а) Школьники одного класса в сентябре ходили в два туристических похода. В первом походе мальчиков было меньше общего числа участников этого похода, во втором — тоже меньше Докажите, что в этом классе мальчики составляют меньше общего числа учеников, если известно, что каждый из учеников участвовал покрайней мере в одном походе.

б) Пусть в k-м походе, где 1 ≤ kn, мальчики составляли ak-ю часть общего количества участников этого похода. Какую наибольшую долю могут составлять мальчики на общей встрече всех туристов (всех, кто участвовал хотя бы в одном из n походов)?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 86.

31
Задания Д13 C7 № 508118

На листе бумаги в строчку записаны 11 единиц.

а) Докажите, что между этими единицами можно расставить знаки сложения, умножения и скобки так, что после выполнения действий получится число, делящееся на 54.

б) Докажите, что если единицы, стоящие на четных местах, заменить на семерки, все равно между числами полученного набора можно расставить знаки сложения, умножения и скобки так, что после выполнения действий получится число, делящееся на 54.

в) Докажите, что между любыми 11 натуральными числами можно расставить знаки сложения, умножения и скобки так, что после выполнения действий получится число, делящееся на 54.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 90.

32
Задания Д13 C7 № 508126

а) Представьте число 2015 в виде суммы нескольких (не менее двух) последовательных натуральных чисел.

б) Найдите количество способов представления числа 2015 в виде суммы нескольких (не менее двух) последовательных натуральных чисел.

в) Можно ли число 2015 представить в виде суммы нескольких (не менее двух) последовательных нечетных натуральных чисел?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 91.

33
Задания Д13 C7 № 508135

Имеется набор гирь со следующими свойствами: 1) в нем есть 5 гирь, попарно различных по весу; 2) для любых двух гирь найдутся две другие гири такого же суммарного веса.

А) Докажите, что в таком наборе обязательно найдутся две гири одинакового веса.

Б) Обязательно ли в таком наборе найдутся четыре гири одинакового веса?

В) Какое наименьшее количество гирь может быть в этом наборе?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 92.

34
Задания Д13 C7 № 508141

а) Найдите три несократимые дроби, произведение любых двух из которых — целое число.

б) Найдите четыре несократимые дроби, произведение любых двух из которых — целое число.

в) Существует ли 2015 несократимых дробей, произведение любых двух из которых — целое число?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 93.

35
Задания Д13 C7 № 508147

K бабушек одновременно узнали K сплетен, причём каждая из них узнала только одну сплетню. Бабушки принялись обмениваться сплетнями по телефону. Каждый разговор занимает 1 час, в течение которого можно передать сколько угодно сплетен. Какое минимальное количество часов разговора нужно, чтобы все бабушки узнали все сплетни, если:

а) K = 64,

б) K = 55,

в) K = 100.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 94.

36
Задания Д13 C7 № 508153

Набор состоит из первых 22 натуральных чисел: 1; 2; 3;…; 21; 22.

А) Какое наибольшее количество чисел этого набора необходимо перемножить, чтобы получить куб натурального числа?

Б) Какое наибольшее количество чисел этого набора необходимо перемножить, чтобы получить квадрат натурального числа?

В) Какое наибольшее количество чисел этого набора необходимо перемножить, чтобы получить квадрат нечетного натурального числа?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 95.

37
Задания Д13 C7 № 508159

А) Существуют ли пять целых чисел, у которых попарные суммы равны 7, 9, 10, 12, 13, 15, 15, 16, 18, 21?

Б) Существуют ли пять целых чисел, у которых попарные суммы равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144?

В) Существуют ли пять целых чисел, у которых попарные произведения равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 96.

38
Задания Д13 C7 № 508165

Про натуральное число N известно, что сумма его четырех наименьших натуральных делителей равна 12.

А) Может ли сумма четырех наибольших натуральных делителей числа N равняться 195?

Б) Может ли сумма четырех наибольших натуральных делителей числа N равняться 120?

В) Найдите все возможные числа N, у которых сумма четырех наибольших натуральных делителей не превосходит 100.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 97.

39
Задания Д13 C7 № 508171

А) Найдите какое-либо натуральное число, у которого ровно 10 делителей (включая 1 и само число).

Б) Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 10 делителей.

В) Найдите все трехзначные нечетные натуральные числа, у которых ровно 10 делителей.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 98.

40
Задания Д13 C7 № 508177

Каждое из чисел 3; 4; 9; 10; 12; 15 по одному записывают на шести карточках. Далее карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 3; 4; 9; 10; 12; 15. После этого на каждой карточке подсчитывают модуль разности записанных на ней чисел, а полученные в итоге числа перемножают.

а) Может ли в результате получиться 65?

б) Может ли в результате получиться 120?

в) Какое наименьшее натуральное число может в результате получиться?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 99.

41
Задания Д13 C7 № 508183

Рассматриваются 10‐значные натуральные числа (все десять цифр в их записи различны). Среди таких чисел найдите:

а) какое‐либо число, делящееся на 11;

б) наибольшее число, делящееся на 11;

в) наименьшее число, делящееся на 11.

(Натуральное  число  делится    на  11,  если  знакочередующаяся  сумма  его  цифр делится на 11. Например, число 61938085 делится на 11, так как 6 − 1 + 9 − 3 + 8 − 0 + 8 − 5 = 22)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 103.

42
Задания Д13 C7 № 508189

В ряд выписаны натуральные числа: Между ними произвольным образом расставляют знаки «+» и «–» и находят получившуюся сумму. Может ли такая сумма равняться:

А) 4, если  N = 12;

Б) 0, если  N = 13;

В) 0, если  N = 16;

Г) 5, если  N = 18?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 104.

43
Задания Д13 C7 № 508195

А) Докажите, что число составное.

Б) Докажите, что  число  составное.

В) Докажите, что число является произведением двух последовательных натуральных чисел.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 105.

44
Задания Д13 C7 № 508201

А) Можно ли числа от 1 до 16 расположить по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была бы квадратом натурального числа?

Б)  Можно ли числа от 1 до 16 расположить в строку так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была бы квадратом натурального числа?

В) Можно ли числа от 1 до 16 расположить в строку так, чтобы каждое число, начиная  со второго, было бы делителем суммы всех предыдущих?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 106.

45
Задания Д13 C7 № 508207

А) Какое наибольшее число ладей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие две не били друг друга?

Б) Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие два не били друг друга?

В) Какое наименьшее число королей нужно поставить на шахматную доску так, чтобы все клетки оказались под  боем?

Г) Какое наибольшее число ферзей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие два не били друг друга?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 107.

46
Задания Д13 C7 № 508599

А) Можно ли клетчатую доску размером 12×12 полностью накрыть плитками, указанными на рисунке?

Б) Можно ли клетчатую доску размером 10×10 полностью накрыть плитками, указанными на рисунке?

В) Можно ли клетчатую доску размером 10×10 полностью накрыть плитками, указанными на рисунке?

(Плитки не должны накладываться друг на друга и выходить за край доски)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 101.

47
Задания Д13 C7 № 508606

Рассматривается набор различных натуральных чисел, больших 1. Известно, что 1) каждое число набора является делителем 60, 2) произведение всех чисел набора равно 

А) Найдите наибольшее количество чисел в таком наборе.

Б) Найдите наименьшее количество чисел в таком наборе.

В) Сколько существует различных наборов, удовлетворяющих условиям (1) и (2)?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 102.

48
Задания Д13 C7 № 508617

А) Докажите, что среди произвольных 11 натуральных чисел всегда найдутся два, разность которых кратна 10.

Б) Докажите, что среди произвольных 11 целых чисел всегда найдутся два, разность которых кратна 10.

В) Докажите, что среди произвольных 10 натуральных чисел всегда найдутся несколько, сумма которых делится на 10.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 108.

49
Задания Д13 C7 № 508624

Дан прямоугольный треугольник ABC.

А) Каждую сторону треугольника ABC увеличили на 1. Может ли полученный при этом треугольник снова оказаться прямоугольным?

Б) Каждую сторону треугольника ABC уменьшили на 1. Может ли полученный при этом треугольник снова оказаться прямоугольным?

В) Каждую  сторону  треугольника ABC изменили на 1 (увеличили  или  уменьшили,  по своему  усмотрению).  Может  ли  полученный  при  этом  треугольник  оказаться прямоугольным?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 109.

50
Задания Д13 C7 № 508637

Партия проходит в Думу, если по результатам голосования набирает более 6% голосов избирателей. Для каждой такой партии найдутся две другие партии, каждая из которых набрала меньшее число голосов, но  суммарно они набрали больше голосов.

а) Могут ли принять участие в выборах 6 партий?

б) Могут ли принять участие в выборах 5 партий?

в) Пусть m — количество партий, прошедших в Думу, n — количество партий, не прошедших в Думу. Найдите максимальное значение выражения m/n.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 81.

51
Задания Д13 C7 № 508644

а) Пусть p — простое число, отличное от 3. Докажите, что число 111…11 (p единиц) не делится на p.

б) Пусть p > 5 — простое число. Докажите, что число 111…11 (p — 1 единица) делится на p.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 84.

52
Задания Д13 C7 № 508651

Лягушка прыгает по вершинам шестиугольника ABCDEF, каждый раз перемещаясь в одну из соседних вершин.

а) Сколькими способами она может попасть из A в C за n прыжков?

б) Сколько таких способов при условии, что вершиной D пользоваться нельзя?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 85.

53
Задания Д13 C7 № 508750

В последовательности 2, 0, 0, 0, 2, 2, 4, … каждый член, начиная с пятого, равен последней цифре суммы предшествующих четырёх членов.

а) Встретятся ли в этой последовательности еще раз подряд 4 цифры 2, 0, 0, 0?

б) Встретятся ли в ней четыре подряд цифры 0, 0, 8, 2?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 88.

54
Задания Д13 C7 № 508759

а) К любому ли шестизначному числу, начинающемуся с цифры 5, можно приписать справа ещё 6 цифр так, чтобы полученное число было квадратом натурального числа?

б) Тот же вопрос про число, начинающееся на 1.

в) Найдите для каждого натурального n такое наименьшее число k, что к любому n-значному числу можно так приписать справа k цифр, чтобы полученное (n + k)-значное число было квадратом натурального числа.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 89.

55
Задания Д13 C7 № 508942

Произведение трёх натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию, является делителем некоторого числа вида n2 + 1, где

а) Существует ли такая арифметическая прогрессия с разностью 12.

б) Существует ли такая арифметическая прогрессия с разностью 10 или 11.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 100.

56
Задания Д13 C7 № 508956

Даны два трехзначных натуральных числа. Известно, что их произведение в N раз (натуральное число N > 1) меньше шестизначного числа, получающегося приписыванием одного из этих двух чисел вслед за другим.

А) Может ли N равняться 2?

Б) Может ли N равняться 3?

В) Какое наибольшее значение может принимать число N?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 110.

57
Задания Д13 C7 № 511165

Петя задумал натуральное число, большее 100. Вера называет натуральное число N, большее 1. Если число Пети делится на N, то Вера выиграла, иначе Петя вычитает из своего числа число N, и игра продолжается. Называть ранее названные числа Вера уже не может. Когда число Пети станет отрицательным, Вера проигрывает. Есть ли у Веры выигрышная стратегия?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 111.

58
Задания Д13 C7 № 511215

Может ли общая часть треугольника и четырехугольника (образованная при наложении одной фигуры на другую) представлять собой

а) семиугольник;

б) восьмиугольник;

в) девятиугольник?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 121.

59
Задания Д13 C7 № 511222

а) На доске записаны три различных числа, образующие в этом порядке арифметическую прогрессию. Два числа поменяли местами. Могло ли оказаться так, что теперь эти числа стали образовывать геометрическую прогрессию?

б) На доске записаны четыре различных числа, образующие в этом порядке арифметическую прогрессию. Одно число с доски стерли. Могло ли оказаться так, что теперь три оставшихся числа стали образовывать геометрическую прогрессию?

в) На доске записаны четыре различных числа, образующие в этом порядке геометрическую прогрессию. Одно число с доски стерли. Могло ли оказаться так, что теперь три оставшихся числа стали образовывать арифметическую прогрессию?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 122.

60
Задания Д13 C7 № 511229

а) Найдите наименьшее натуральное число, половина которого является точным квадратом, а третья часть — точным кубом.

б) Найдите наименьшее натуральное число, половина которого является точным кубом, а третья часть — точным квадратом.

в) Существует ли натуральное число, половина которого является точным квадратом, третья часть — точным кубом, а пятая часть — точной пятой степенью?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 123.

61
Задания Д13 C7 № 511236

Может ли сумма трех попарно различных дробей вида (где , n>1) равняться

а) 1,1;

б) 0,5;

в) 1,05?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 124.

62
Задания Д13 C7 № 511243

Саша вычислил произведение всех натуральных чисел от 1 до 52 включительно и записал на доске ответ. Однако две цифры (они отмечены символами x и у) он написал неразборчиво, а все стоящие в конце нули стёр. В результате на доске оказалось число 806581751709438785716606368564037669752895054408832778ух.

а) Сколько нулей стёр ученик?

б) Найдите цифру, отмеченную символом х.

в) Найдите цифру, отмеченную символом у.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 125.

63
Задания Д13 C7 № 511250

а) Может ли сумма четырех натуральных чисел равняться произведению этих же четырех чисел?

б) Может ли сумма четырех различных натуральных чисел равняться произведению этих же четырех чисел?

в) Может ли сумма 2015 различных положительных рациональных чисел равняться произведению этих же 2015 чисел?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 126.

64
Задания Д13 C7 № 511257

Про натуральное число Р известно, что сумма трех его наименьших натуральных делителей равна 8.

а). Найдите число Р, у которого сумма трех наибольших натуральных делителей равна 289.

б). Может ли сумма трех наибольших натуральных делителей числа Р равняться 255.

в). Найдите все возможные числа Р, у которых сумма трех наибольших натуральных делителей не

превосходит 100.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 127.

65
Задания Д13 C7 № 511271

а) Сколько решений в неотрицательных целых числах имеет уравнение a + b = 99?

б) Сколько решений в неотрицательных целых числах имеет система уравнений

в) Сколько решений в неотрицательных целых числах имеет уравнение a + b + c =99?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 129.

66
Задания Д13 C7 № 511278

Решите уравнение:

а) [2x] = {7x};

б) [2x] = 7x;

в) 2x = {7x}.

[a] — целая часть числа a, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее a;

{a} — дробная часть числа a, т. е. {a} = a − [a].

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 130.

67
Задания Д13 C7 № 511285

Найдите наименьшее натуральное число, у которого

а) произведение всех его делителей равно 131.

б) число (количество) его делителей равно 131.

в) сумма трёх меньших и наибольшего его делителя равна 131.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 131.

68
Задания Д13 C7 № 511835

Маятниковые  часы  показывают  полночь.  Время,  когда  часовая  и  минутная стрелки образуют на циферблате прямой угол, назовем интересным моментом.

А)  Определите, сколько интересных моментов наблюдается в течение суток.

Б)  Определите точное время, когда интересный момент  наступит в первый раз.

В) Определите, какое наименьшее время должно пройти между двумя интересными моментами.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 112.

69
Задания Д13 C7 № 511842

А) Найдите все пары целых чисел, разность квадратов которых равна 91.

Б) Найдите все пары целых чисел, разность кубов которых равна 91.

В) Может ли разность каких‐либо Nх (N > 3) степеней двух целых чисел равняться 91?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 113.

70
Задания Д13 C7 № 511867

Дано выражение: 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 * 13 * 14 * 15 * 16 * 17 * 18 * 19 = 0

А) Замените каждую * знаком «+» или «−» так, чтобы равенство стало верным.

Б)  Какое  наименьшее  число  минусов  придется  поставить,  чтобы  равенство  стало 

верным?

В)  Какое  наименьшее  число  плюсов  придется  поставить,  чтобы  равенство  стало 

верным?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 114.

71
Задания Д13 C7 № 511882

В футбольной команде «Метеор» 16 человек (11 основных игроков и 5 запасных). Известно, что возраст (число  полных лет) у всех игроков различный, причем самому младшему 16 лет, а самому старшему 40 лет. Помощник тренера перед началом матча посчитал средний возраст всех 16 игроков команды, а во время матча — средний возраст 11 человек, вышедших на поле в основном составе.

А) Мог ли средний возраст всей команды и ее основного состава оказаться одинаковым?

Б) Мог ли средний возраст всей команды и ее основного состава отличаться ровно на 5 лет?

В) Найдите наибольшее возможное значение разности между средним возрастом всей команды и средним возрастом ее основного состава.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 115.

72
Задания Д13 C7 № 511889

На проекте «Вышка» каждый прыжок в воду оценивают пять судей. При этом каждый судья выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 6 включительно. Известно, что за прыжок Тимура Ласточкина все члены жюри выставили  различные оценки. По старой системе оценивания итоговый балл за прыжок определялся как среднее арифметическое всех оценок судей. По новой системе оценивания итоговый балл вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки, и считается среднее арифметическое трех оставшихся оценок.

А) Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равной 1/10?

Б) Может ли разность итоговых баллов,  вычисленных  по  старой  и  новой  системам оценивания, быть равной 1/15?

В) Найдите наибольшее возможное  значение  разности  итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 116.

73
Задания Д13 C7 № 511896

А) Представьте 1 в виде суммы трех попарно различных дробей вида где n — натуральное число.

Б) Представьте 1 в виде суммы пяти попарно различных дробей вида где n — натуральное число.

В) Докажите, что 1 можно представить в виде суммы любого (большего двух) количества попарно различных дробей вида где n — натуральное число.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 117.

74
Задания Д13 C7 № 511903

Имеется набор отрезков, два самых коротких из них имеют длину 1, самый длинный имеет длину 45.

а) Может ли оказаться, что ни из каких трёх отрезков нельзя составить треугольник, если набор состоит из 5 отрезков?

б) Может ли оказаться, что ни из каких трёх отрезков нельзя составить треугольник, если набор состоит из 60 отрезков?

в) Какое наибольшее число отрезков может быть в наборе, чтобы ни из каких трёх нельзя было составить треугольник?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 118.

75
Задания Д13 C7 № 511921

Найдите два натуральных числа таких, что их произведение

 

а) в 25 раз больше их разности;

б) в 25 раз больше их суммы;

в) в 25 раз больше их полусуммы.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 119.

76
Задания Д13 C7 № 512007

А) При каком наибольшем N на окружности можно отметить N точек так, то среди треугольников с вершинами в отмеченных точках найдётся ровно 2015 прямоугольных треугольников?

Б) При каком наименьшем N на окружности можно отметить N точек так, что среди треугольников с вершинами в отмеченных точках найдётся ровно 2015 прямоугольных треугольников?

В) При каком наименьшем N на окружности можно отметить N точек так, что среди треугольников с вершинами в отмеченных точках найдётся по крайней мере 2015 прямоугольных треугольников?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 120.

77
Задания Д13 C7 № 512429

а) Известно, что b = 20132013 + 2. Будут ли числа b3 + 2 и b2 + 2 взаимно простыми?

б) Найдите четырёхзначное число, которое при делении на  131 даёт в остатке 112, а при делении на 132 даёт в остатке 98.

в)  Найдите все числа вида которые делились бы на 132.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 132.

78
Задания Д13 C7 № 512436

а) Известно, что 35! = 10333147966386144929*66651337523200000000.  Найдите цифру, заменённую звездочкой. 

б) Делится ли число 11n + 2 + 122n + 1 на 133 при любом натуральном n?

в) Найдите количество натуральных чисел, меньших 133, взаимно простых с числом 133. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 133.

79
Задания Д13 C7 № 512443

На доске написано более 122, но менее 134 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −7. Среднее арифметическое всех положительных чисел равно 11, а среднее арифметическое всех отрицательных чисел равно −22.  

а) Сколько чисел написано на доске? 

б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных? 

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 134.

80
Задания Д13 C7 № 512450

а) Найдите все значения a, при каждом из которых корни уравнения образуют арифметическую прогрессию.

б) Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет ровно четыре действительных корня, образующих арифметическую прогрессию.

в) Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет ровно четыре действительных корня, образующих арифметическую прогрессию.

г) Числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите x, если известно, что один из членов этой прогрессии равен −0,8.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 135.

81
Задания Д13 C7 № 512457

Про натуральные числа а, b и c известно, что

а) Может ли сумм чисел a и b равняться числу c?

б) Может ли произведение чисел а и с равняться квадрату числа b?

в) Найдите наименьшее из возможных значений выражения

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 136.

82
Задания Д13 C7 № 512464

а) Найдите наименьшее натуральное число такое, что оно не является делителем 100!

б) Определите, на какую наибольшую степень 10 делится 100!

в) Найдите последнюю ненулевую цифру в записи числа, равного 100!

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 137.

83
Задания Д13 C7 № 512471

Используя каждую из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 по одному разу, составьте такие два пятизначных числа, чтобы

а) их разность была наибольшей;

б) их разность была по модулю наименьшей;

в) их произведение было наибольшим.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 138.

84
Задания Д13 C7 № 512654

а) В городе Глупове каждый житель — полицейский, вор или обыватель. Полицейские всегда врут обывателям, воры — полицейским, а обыватели — ворам, а во всех остальных случаях жители города говорят правду. Однажды, когда несколько глуповцев водили хоровод, каждый сказал своему соседу справа: «Я — полицейский». Сколько в этом хороводе было обывателей?   

б) За круглым столом сидят 10 человек, каждый из которых — одного из двух типов: лжец (всегда лжет) или рыцарь (всегда говорит правду). Каждый из них утверждает:

«Мои соседи слева и справа — разного типа». Сколько лжецов сидит за столом? 

в) Хоккейная команда, насчитывающая 28 человек, состоит из рыцарей (всегда говорят правду) и лжецов (всегда лгут). Однажды каждый игрок сделал заявление. Первый сказал:  «Количество рыцарей в команде делитель — 1».  Второй  сказал:  «Количество рыцарей в команде — делитель  2» и так далее до 28‐го, который  сказал:  «Количество 

рыцарей в команде — делитель 28». Определите, сколько в команде рыцарей.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 139.

85
Задания Д13 C7 № 512667

а) Между цифрами от 1 до 9 расставьте знаки арифметических действий и скобки (если нужно) так, чтобы получилось верное равенство: 1  2  3  4  5  6  7  8  9  = 100.

б) Расставьте в каждую клетку по одной цифре так, чтобы выполнялись следующие равенства (причем все цифры ненулевые и используются по одному разу):

 

  : =  = + = · 

 

в) Можно ли из цифр от 1 до 9 составить такое девятизначное число, что число из двух его первых цифр делится на 2, из трёх первых цифр — делится на 3 и так далее, а само число делится на 9?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 140.

86
Задания Д13 C7 № 512675

а) В клетках таблицы 3х3 расставлены числа −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4. Рассмотрим восемь сумм: суммы трёх чисел в каждой строке, каждом столбце и по двум диагоналям. Могут ли все эти суммы оказаться одинаковыми?

б) В клетках таблицы 3х3 расставлены числа –1, 0 и 1 (каждое из этих чисел встречается хотя бы один раз). Рассмотрим восемь сумм: суммы трёх чисел в каждой строке, каждом столбце и по двум диагоналям. Могут ли все эти суммы оказаться различными?

в) В клетках таблицы 3х3 расставлены девять различных натуральных чисел. Рассмотрим восемь произведений: произведения трёх чисел в каждой строке, каждом столбце и по двум диагоналям. Могут ли все эти произведения оказаться одинаковыми? 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 141.

87
Задания Д13 C7 № 513210

а) Среди 9 монет одинакового достоинства одна фальшивая — ее вес меньше, чем у настоящих. Как при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить фальшивую монету?

б) Известно, что среди гирь достоинством 1 кг, 2 кг, 3 кг и 5 кг одна гиря отличается по весу от маркировки, указанной на ней. Можно ли при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить «неправильную» гирю?

в) Среди 12 монет одинакового достоинства одна фальшивая — ее вес отличается от веса настоящих, но неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно выделить фальшивую монету и при этом установить, легче она или тяжелее настоящих?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 142.

88
Задания Д13 C7 № 513217

Натуральные числа от 1 до 9 распределены на три группы: в 1‐й группе два числа, во 2‐й — три и в 3‐й — четыре.

а) Могут ли произведения чисел в каждой группе оказаться одинаковыми?

б) Могут ли суммы в каждой группе оказаться одинаковыми?

в) Из чисел 1‐й группы составлено двузначное число А, из чисел 2‐й группы составлено трехзначное число В, а из чисел 3‐й группы составлено четырехзначное число С. Какое наибольшее значение может принимать сумма A + В + С?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 143.

89
Задания Д13 C7 № 513224

а) Решите в целых числах уравнение

б) Решите в целых числах уравнение

в) Решите в натуральных числах уравнение

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 144.

90
Задания Д13 C7 № 513231

На доске записано число 2. Разрешается записывать новые числа, применяя одну из операций:

1) можно увеличить любое из записанных чисел на 3;

2) можно любое из записанных чисел возвести в квадрат.

Можно ли в какой‐то момент получить на доске число:

а) 2015;

б) 2016?

в) За какое наименьшее число ходов можно получить на доске число 2017?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 145.

91
Задания Д13 C7 № 513238

Из целых чисел от 1 до 100 удалили k чисел. Обязательно ли среди оставшихся чисел можно выбрать k различных чисел с суммой 100, если

а) k = 9;

б) k = 8?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 146.

92
Задания Д13 C7 № 513769

В выражении 10 : 9 : 8 : 7 : 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1 расставили скобки так, что в результате вычислений получилось целое число. Каким

а) наибольшим; 

б) наименьшим может быть это число?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 147.

93
Задания Д13 C7 № 513776

а) На доске записаны числа: 4, 14, 24, ..., 94, 104. Можно ли стереть сначала одно число из записанных, потом стереть еще два, потом — еще три, и, наконец, стереть еще четыре числа так, чтобы после каждого стирания сумма оставшихся на доске чисел делилась на 11?

б) В строку выписано 23 натуральных числа (не обязательно различных). Докажите, что между ними можно так расставить скобки, знаки сложения и умножения, что значение полученного выражения будет делиться на 2000 нацело.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 148.

94
Задания Д13 C7 № 513783

а) Можно ли занумеровать рёбра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы для каждой вершины куба сумма номеров рёбер, которые в ней сходятся, была одинаковой? 

б) Аналогичный вопрос, если расставлять по рёбрам куба числа –6, –5, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 149.

95
Задания Д13 C7 № 513790

а) На доске записаны числа 1, 21, 22, 23, 24, 25. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность — неотрицательное число. Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?

б) Круглая мишень разбита на 20 секторов, которые нумеруются по кругу в каком‐либо порядке числами 1, 2, ..., 20. Если секторы занумерованы, например, в следующем порядке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наименьшая из разностей между номерами соседних (по кругу) секторов равна  12 – 9 = 3. Может ли указанная величина при нумерации в другом порядке быть больше 3?

в) Каково наибольшее возможное значение этой величины? 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 150.

96
Задания Д13 C7 № 513797

Как известно, шахматный конь ходит буквой «Г» (рис.) 

Конь расположен в левой нижней клетке шахматной доски 8х8 (поле А1). 

а) Может ли конь оказаться в верхней правой клетке  (на поле Н8), сделав при этом ровно 2015 ходов?   

б) Может ли конь за 63 хода побывать в каждой из оставшихся 63 клеток?

в) За какое  наименьшее число  ходов конь может  оказаться в верхней  правой клетке (на поле Н8)?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 151.

97
Задания Д13 C7 № 514057

а) Можно ли число 2016 представить в виде суммы семи последовательных натуральных чисел?  

б) Можно ли число 2016 представить в виде суммы шести последовательных натуральных чисел?

в) Представьте число 2016 в виде суммы наибольшего количества последовательных чётных натуральных чисел. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 152.

98
Задания Д13 C7 № 514064

Определите, имеют ли общие члены две последовательности 

а) 3; 16; 29; 42;… и 2; 19; 36; 53;…   

б) 5; 16; 27; 38;… и 8; 19; 30; 41;…   

в) Определите, какое наибольшее количество общих членов может быть у двух арифметических прогрессий  1; …; 100 и 9; …; 999,  если известно, что у каждой из них разность является целым числом, отличным от 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 153.

99
Задания Д13 C7 № 514071

На каждой из 28 костей домино написаны два целых числа, не меньших 0 и не больших 6 так, что они образуют все возможные пары по одному разу (0−0, 0−1, 0−2 и так далее до 6−6). 

Все кости домино разложили на несколько кучек и для каждой кучки подсчитали сумму всех чисел на костях, находящихся в этой кучке. Оказалось, что все полученные суммы равны. 

а) Могло ли быть 2 кучки? 

б) Могло ли быть 5 кучек? 

в) Какое наибольшее количество кучек могло быть? 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 154.

100
Задания Д13 C7 № 514078

а) Какое наибольшее число ладей можно поставить на шахматной доске так, чтобы никакие две не били друг друга?                          

б) На шахматной доске поставлены восемь ладей. Какое наибольшее число клеток может оказаться не под боем этих ладей?                                                   

в) На 64 летках шахматной доски выписаны подряд числа от 1 до 64 (в верхнем ряду слева направо числа от 1 до 8, во втором ряду числа от 9 до 16 и т. д.) Восемь ладей поставлены так, что никакие две не бьют друг друга. Подсчитана сумма чисел, написанных на тех восьми клетках, на которых поставлены ладьи. Найдите все значения, которые может принимать эта сумма.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 155.

101
Задания Д13 C7 № 514580

а) Существует ли натуральное число, которое при делении на 2015 даёт в остатке 2014, а при делении на 2016 даёт в остатке 2015?

б) Существует ли натуральное число, которое при делении на 3 даёт в остатке 2, при делении на 5 даёт в остатке 4, а при делении на 10 даёт в остатке 6?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1, при делении на 3 даёт в остатке 2, ..., при делении на 9 даёт в остатке 8, при делении на 10 даёт в остатке 9.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 157.

102
Задания Д13 C7 № 514587

а) Можно ли правильный пятиугольник разрезать на параллелограммы?

б) Можно ли правильный пятиугольник разрезать на трапеции?

в) Найдите наименьшее нечётное n, для которого существует n-угольник, который можно разрезать на параллелограммы.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 158.

103
Задания Д13 C7 № 514601

Целые числа a1, a2, a3, a4 четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии. 

а) Может ли разность дробей и равняться

б) Может ли разность дробей и равняться

в) Найдите все возможные целые значения разности дробей и

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 160.

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте · Редакция

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!