СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Каталог заданий.
Числа и их свойства

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д16 C7 № 505609

Дано ир­ра­ци­о­наль­ное число такое что По нему опре­де­ля­ет­ся новое число как мень­шее из двух чисел и По этому числу ана­ло­гич­но опре­де­ля­ет­ся и так далее.

а) До­ка­жи­те, что для не­ко­то­ро­го n вы­пол­не­но не­ра­вен­ство

б) Может ли слу­чить­ся, что при всех на­ту­раль­ных

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 43.

2
Задания Д16 C7 № 505615

На бу­маж­ке за­пи­са­ны три по­ло­жи­тель­ных числа: x, y и 1. За один ход раз­ре­ша­ет­ся за­пи­сать на бу­маж­ку сумму или раз­ность каких‐ни­будь двух уже за­пи­сан­ных чисел или за­пи­сать число, об­рат­ное к ка­ко­му‐ни­будь из уже за­пи­сан­ных чисел. Можно ли за не­сколь­ко ходов по­лу­чить на бу­маж­ке

а) число x2?

б) число xy?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 44.

3
Задания Д16 C7 № 505627

Рас­смат­ри­ва­ют­ся трой­ки целых чисел a, b и c, для ко­то­рых вы­пол­не­но усло­вие: a + b + c = 0. Для каж­дой такой трой­ки вы­чис­ля­ет­ся число d = a1999 + b1999 + c1999.

а) Может ли слу­чить­ся, что d = 2?

б) может ли слу­чить­ся, что d — про­стое число?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 46.

4
Задания Д16 C7 № 505639

Пе­ре­мно­жа­ют­ся все вы­ра­же­ния вида (при все­воз­мож­ных ком­би­на­ци­ях зна­ков).

а) Может ли ре­зуль­тат яв­лять­ся целым чис­лом?

б) Может ли ре­зуль­тат яв­лять­ся квад­ра­том це­ло­го числа?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 47.

5
Задания Д16 C7 № 505651

чисел () на­зы­ва­ют­ся близ­ки­ми, если каж­дое из них мень­ше, чем сумма всех чисел, де­лен­ная на Пусть ... — n близ­ких чисел, — их сумма.

До­ка­жи­те, что

а) все они по­ло­жи­тель­ны;

б) все­гда

в) все­гда

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 49.

6
Задания Д16 C7 № 505675

На доске на­пи­са­ны числа 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/11 и 1/12.

а) До­ка­жи­те, что как бы мы ни расстaвляли знаки «+» и «−» между этими чис­ла­ми, вы­ра­же­ние не будет равно 0.

б) Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство на­пи­сан­ных чисел не­об­хо­ди­мо сте­реть с доски для того, чтобы после не­ко­то­рой рас­ста­нов­ки «+» и «−» между остав­ши­ми­ся чис­ла­ми зна­че­ние вы­ра­же­ния рав­ня­лось 0?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 53.

7
Задания Д16 C7 № 505681

На­ту­раль­ные числа и по­лу­ча­ют­ся друг из друга пе­ре­ста­нов­кой цифр. До­ка­жи­те, что

а) суммы цифр чисел и равны;

б) если и чётные, то суммы цифр чисел и равны;

в) суммы цифр чисел и равны.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 54.

8
Задания Д16 C7 № 505687

Для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа через обо­зна­чим такое наи­боль­шее на­ту­раль­ное число, что для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа не пре­вос­хо­дя­ще­го число пред­ста­ви­мо в виде суммы квад­ра­тов на­ту­раль­ных чисел.

а) До­ка­жи­те для лю­бо­го не­ра­вен­ство

б) Най­ди­те хотя бы одно такое на­ту­раль­ное число что

в) До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет бес­ко­неч­но много таких на­ту­раль­ных что

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 55.

9
Задания Д16 C7 № 505711

На­ту­раль­ные числа M и K от­ли­ча­ют­ся пе­ре­ста­нов­кой цифр.

До­ка­зать что:

а) сумма цифр числа 2M равна сумме цифр числа 2K;

б) сумма цифр числа M/2 равна сумме цифр числа K/2 (если M и K чётны);

в) сумма цифр числа 5M равна сумме цифр числа 5K.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 59.

10
Задания Д16 C7 № 505759

Круг­лая ми­шень раз­би­та на 20 сек­то­ров, ко­то­рые ну­ме­ру­ют­ся по кругу в каком-либо по­ряд­ке чис­ла­ми 1, 2, ..., 20. Если сек­то­ры за­ну­ме­ро­ва­ны, на­при­мер, в сле­ду­ю­щем по­ряд­ке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наи­мень­шая из раз­но­стей между но­ме­ра­ми со­сед­них (по кругу) сек­то­ров равна 12 − 9 = 3.

а) Может ли ука­зан­ная ве­ли­чи­на при ну­ме­ра­ции в дру­гом по­ряд­ке быть боль­ше 3?

б) Ка­ко­во наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этой ве­ли­чи­ны?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 67.

11
Задания Д16 C7 № 505783

а) Дано шесть на­ту­раль­ных чисел. Все они раз­лич­ны и дают в сумме 22. Найти эти числа.

б) До­ка­жи­те, что дру­гих таких чисел нет.

в) Тот же во­прос про 100 чисел, да­ю­щих в сумме 5051.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 71.

12
Задания Д16 C7 № 505789

Даны на­ту­раль­ные числа M и N, боль­шие де­ся­ти, со­сто­я­щие из оди­на­ко­во­го ко­ли­че­ства цифр и такие, что M = 3N. Чтобы по­лу­чить число M, надо в числе N к одной из цифр при­ба­вить 2, а к каж­дой из осталь­ных цифр при­ба­вить по нечётной цифре.

а) При­ве­ди­те при­мер таких чисел

б) Может ли число N за­кан­чи­вать­ся циф­рой 1?

в) Какой циф­рой могло окан­чи­вать­ся число N?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 72.

13
Задания Д16 C7 № 505795

Из­вест­но, что сумма цифр на­ту­раль­но­го числа N равна 100, а сумма цифр числа 5N равна 50.

а) Может ли число N за­кан­чи­вать­ся на 1?

б) До­ка­жи­те, что N четно.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 73.

14
Задания Д16 C7 № 505807

На­пи­са­но 1992‐знач­ное число. Каж­дое дву­знач­ное число, об­ра­зо­ван­ное со­сед­ни­ми циф­ра­ми, де­лит­ся на 17 или на 23. По­след­няя цифра числа 1.

а) Де­лит­ся ли дан­ное число на 3?

б) Ка­ко­ва пер­вая цифра числа?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 75.

15
Задания Д16 C7 № 505819

С на­ту­раль­ным чис­лом (за­пи­сы­ва­е­мым в де­ся­тич­ной си­сте­ме) раз­ре­ше­но про­де­лы­вать сле­ду­ю­щие опе­ра­ции:

А) при­пи­сать на конце цифру 4;

Б) при­пи­сать на конце цифру 0;

В) раз­де­лить на 2 (если число чётно).

На­при­мер, если с чис­лом 4 про­де­ла­ем по­сле­до­ва­тель­но опе­ра­ции В, В, А и Б, то по­лу­чим число 140.

а) Из числа 4 по­лу­чи­те число 1972.

б) До­ка­жи­те, что из числа 4 можно по­лу­чить любое на­ту­раль­ное число.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 77.

16
Задания Д16 C7 № 505825

Можно ли рас­ста­вить числа  

а) от 1 до 7;

б) от 1 до 9

по кругу так, чтобы любое из них де­ли­лось на раз­ность своих со­се­дей?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 78.

17
Задания Д16 C7 № 505837

Су­ще­ству­ют ли

а) шесть,

б) 1000 таких раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, что для любых двух a и b из них сумма a + b де­лит­ся на раз­ность a − b?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 80.

18
Задания Д16 C7 № 505843

Даны на­ту­раль­ные числа и такие, что Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел де­лит­ся на 13.

а) Най­ди­те наи­мень­шую сумму такую, что она яв­ля­ет­ся квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа.

б) Най­и­те наи­боль­шее зна­че­ние числа если и сумма имеет наи­мень­шее зна­че­ние.

в) Най­ди­те наи­мень­шее число если из­вест­но, что числа и в ука­зан­ном по­ряд­ке со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с раз­но­стью

г) Если из­вест­но, что числа и в ука­зан­ном по­ряд­ке со­став­ля­ют воз­рас­та­ю­щую ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с раз­но­стью най­ди­те наи­мень­шее , при ко­то­ром число будет наи­мень­шим , и все члены ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии будут яв­лять­ся квад­ра­та­ми на­ту­раль­но­го числа.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 1.
Решение · ·

19
Задания Д16 C7 № 505849

В лицее № 4 оцен­ки ста­вят в ат­те­стат по успе­ва­е­мо­сти за 9 и 11 клас­сы. Если оцен­ки от­ли­ча­ют­ся на 1 балл, то ста­вят в поль­зу уче­ни­ка, если более, чем на 1 балл, т ста­вят сред­нее. Из­вест­но, что в 9 и 11 клас­сах у Лены было 5 пред­ме­тов, причём сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок в 9 класс равно 4,6, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок в 11 клас­се равно 4,8.

а) Могла ли Лена по­лу­чить от­лич­ный ат­те­стат?

б) Могла ли Лена за­кон­чить лицей с трой­кой?

в) В спец. клас­се лицея n пред­ме­тов. Если бы Лена там обу­ча­лась, и сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок за 9 класс ока­за­лось равно 4,1, а за 11 класс — 4,9, то она стала бы от­лич­ни­цей. При каком наи­мень­шем это воз­мож­но?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 2.

20
Задания Д16 C7 № 505887

В вер­ши­нах тре­уголь­ни­ка за­пи­са­но по на­ту­раль­но­му числу, па каж­дой сто­ро­не — про­из­ве­де­ние чисел, за­пи­сан­ных в её кон­цах, а внут­ри тре­уголь­ни­ка — про­из­ве­де­ние чисел, за­пи­сан­ных в его вер­ши­нах. Сумма всех семи чисел равна 1000. Какие числа за­пи­са­ны в вер­ши­нах тре­уголь­ни­ка?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 7.

21
Задания Д16 C7 № 505911

Най­ди­те все целые зна­че­ния для каж­до­го из ко­то­рых число Будет ра­ци­о­наль­ным.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 11.

22
Задания Д16 C7 № 505917

По­след­нюю цифру ше­сти­знач­но­го числа пе­ре­ста­ви­ли в на­ча­ло (на­при­мер 123456 — 612345), и по­лу­чен­ное ше­сти­знач­ное число при­ба­ви­ли к ис­ход­но­му числу. Какие числа из про­ме­жут­ка [891870; 891899] могли по­лу­чить­ся в ре­зуль­та­те сло­же­ния?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 12.

23
Задания Д16 C7 № 505929

В де­ся­тич­ной за­пи­си по­ло­жи­тель­но­го числа по­ме­ня­ли ме­ста­ми цифры, сто­я­щие на пер­вом и тре­тьем ме­стах после за­пя­той. При этом число уве­ли­чи­лось в 13 раз.

а) Какая цифра сто­я­ла на тре­тьем месте после за­пя­той в ис­ход­ном числе?

б) Какое число по­лу­чи­лось?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 14.

24
Задания Д16 C7 № 505941

Даны 20 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, мень­ших 70. До­ка­жи­те, что среди их по­пар­ных раз­но­стей най­дут­ся че­ты­ре оди­на­ко­вых.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 16.

25
Задания Д16 C7 № 506019

На окруж­но­сти рас­став­ле­ны 999 чисел, каж­дое равно 1 или −1, при­чем не все числа оди­на­ко­вые. Возь­мем все про­из­ве­де­ния по 10 под­ряд сто­я­щих чисел и сло­жим их.

а) Какая наи­мень­шая сумма может по­лу­чить­ся?

б) А какая наи­боль­шая?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 29.

26
Задания Д16 C7 № 506061

На плос­ко­сти даны 8 от­рез­ков. Длина каж­до­го от­рез­ка яв­ля­ет­ся на­ту­раль­ным чис­лом, не пре­вос­хо­дя­щим 20. Пусть n – число раз­лич­ных тре­уголь­ни­ков, ко­то­рые можно со­ста­вить из этих от­рез­ков. Один и тот же от­ре­зок может ис­поль­зо­вать­ся для раз­ных тре­уголь­ни­ков, но не может ис­поль­зо­вать­ся два­жды для од­но­го тре­уголь­ни­ка.

а) Может ли n = 60?

б) Может ли n = 55?

в) Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние n, если среди дан­ных от­рез­ков нет трех рав­ных.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 36.

27
Задания Д16 C7 № 506085

А, И, Б си­де­ли на трубе. К ним стали по оче­ре­ди под­са­жи­вать­ся дру­гие буквы так, что по­ряд­ко­вый номер оче­ред­ной буквы в рус­ском ал­фа­ви­те рав­нял­ся сумме цифр по­ряд­ко­вых но­ме­ров двух преды­ду­щих букв. Ока­за­лось, что на­чи­ная с не­ко­то­ро­го мо­мен­та буквы стали цик­ли­че­ски по­вто­рять­ся.

а) Какая буква (из числа цик­ли­че­ски по­вто­ря­ю­щих­ся) встре­ча­ет­ся наи­бо­лее часто?

б) Может ли цик­ли­че­ски по­вто­ря­ю­щий­ся набор со­сто­ять из одной буквы? Если да, ука­зать эту букву.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 4*.

28
Задания Д16 C7 № 508091

Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия вида Воз­мож­но ли вы­де­лить гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию с сум­мой чле­нов, рав­ной

а)

б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 82.

29
Задания Д16 C7 № 508100

Име­ют­ся 300 яблок. До­ка­жи­те, что их можно раз­ло­жить в па­ке­ты по два яб­ло­ка так, чтобы любые два па­ке­та раз­ли­ча­лись по весу не более, чем в пол­то­ра раза, если любые два яб­ло­ка раз­ли­ча­ют­ся по весу не более, чем:

а) в два раза;

б) в три раза.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 83.

30
Задания Д16 C7 № 508106

а) Школь­ни­ки од­но­го клас­са в сен­тяб­ре хо­ди­ли в два ту­ри­сти­че­ских по­хо­да. В пер­вом по­хо­де маль­чи­ков было мень­ше об­ще­го числа участ­ни­ков этого по­хо­да, во вто­ром — тоже мень­ше До­ка­жи­те, что в этом клас­се маль­чи­ки со­став­ля­ют мень­ше об­ще­го числа уче­ни­ков, если из­вест­но, что каж­дый из уче­ни­ков участ­во­вал по­край­ней мере в одном по­хо­де.

б) Пусть в k-м по­хо­де, где 1 ≤ kn, маль­чи­ки со­став­ля­ли ak-ю часть об­ще­го ко­ли­че­ства участ­ни­ков этого по­хо­да. Какую наи­боль­шую долю могут со­став­лять маль­чи­ки на общей встре­че всех ту­ри­стов (всех, кто участ­во­вал хотя бы в одном из n по­хо­дов)?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 86.

31
Задания Д16 C7 № 508118

На листе бу­ма­ги в строч­ку за­пи­са­ны 11 еди­ниц.

а) До­ка­жи­те, что между этими еди­ни­ца­ми можно рас­ста­вить знаки сло­же­ния, умно­же­ния и скоб­ки так, что после вы­пол­не­ния дей­ствий по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 54.

б) До­ка­жи­те, что если еди­ни­цы, сто­я­щие на чет­ных ме­стах, за­ме­нить на се­мер­ки, все равно между чис­ла­ми по­лу­чен­но­го на­бо­ра можно рас­ста­вить знаки сло­же­ния, умно­же­ния и скоб­ки так, что после вы­пол­не­ния дей­ствий по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 54.

в) До­ка­жи­те, что между лю­бы­ми 11 на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми можно рас­ста­вить знаки сло­же­ния, умно­же­ния и скоб­ки так, что после вы­пол­не­ния дей­ствий по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 54.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 90.

32
Задания Д16 C7 № 508126

а) Пред­ставь­те число 2015 в виде суммы не­сколь­ких (не менее двух) по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел.

б) Най­ди­те ко­ли­че­ство спо­со­бов пред­став­ле­ния числа 2015 в виде суммы не­сколь­ких (не менее двух) по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел.

в) Можно ли число 2015 пред­ста­вить в виде суммы не­сколь­ких (не менее двух) по­сле­до­ва­тель­ных не­чет­ных на­ту­раль­ных чисел?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 91.

33
Задания Д16 C7 № 508135

Име­ет­ся набор гирь со сле­ду­ю­щи­ми свой­ства­ми: 1) в нем есть 5 гирь, по­пар­но раз­лич­ных по весу; 2) для любых двух гирь най­дут­ся две дру­гие гири та­ко­го же сум­мар­но­го веса.

А) До­ка­жи­те, что в таком на­бо­ре обя­за­тель­но най­дут­ся две гири оди­на­ко­во­го веса.

Б) Обя­за­тель­но ли в таком на­бо­ре най­дут­ся че­ты­ре гири оди­на­ко­во­го веса?

В) Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство гирь может быть в этом на­бо­ре?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 92.

34
Задания Д16 C7 № 508141

а) Най­ди­те три не­со­кра­ти­мые дроби, про­из­ве­де­ние любых двух из ко­то­рых — целое число.

б) Най­ди­те че­ты­ре не­со­кра­ти­мые дроби, про­из­ве­де­ние любых двух из ко­то­рых — целое число.

в) Су­ще­ству­ет ли 2015 не­со­кра­ти­мых дро­бей, про­из­ве­де­ние любых двух из ко­то­рых — целое число?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 93.

35
Задания Д16 C7 № 508147

K ба­бу­шек од­но­вре­мен­но узна­ли K спле­тен, причём каж­дая из них узна­ла толь­ко одну сплет­ню. Ба­буш­ки при­ня­лись об­ме­ни­вать­ся сплет­ня­ми по те­ле­фо­ну. Каж­дый раз­го­вор за­ни­ма­ет 1 час, в те­че­ние ко­то­ро­го можно пе­ре­дать сколь­ко угод­но спле­тен. Какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство часов раз­го­во­ра нужно, чтобы все ба­буш­ки узна­ли все сплет­ни, если:

а) K = 64,

б) K = 55,

в) K = 100.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 94.

36
Задания Д16 C7 № 508153

Набор со­сто­ит из пер­вых 22 на­ту­раль­ных чисел: 1; 2; 3;…; 21; 22.

А) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел этого на­бо­ра не­об­хо­ди­мо пе­ре­мно­жить, чтобы по­лу­чить куб на­ту­раль­но­го числа?

Б) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел этого на­бо­ра не­об­хо­ди­мо пе­ре­мно­жить, чтобы по­лу­чить квад­рат на­ту­раль­но­го числа?

В) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел этого на­бо­ра не­об­хо­ди­мо пе­ре­мно­жить, чтобы по­лу­чить квад­рат не­чет­но­го на­ту­раль­но­го числа?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 95.

37
Задания Д16 C7 № 508159

А) Су­ще­ству­ют ли пять целых чисел, у ко­то­рых по­пар­ные суммы равны 7, 9, 10, 12, 13, 15, 15, 16, 18, 21?

Б) Су­ще­ству­ют ли пять целых чисел, у ко­то­рых по­пар­ные суммы равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144?

В) Су­ще­ству­ют ли пять целых чисел, у ко­то­рых по­пар­ные про­из­ве­де­ния равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 96.

38
Задания Д16 C7 № 508165

Про на­ту­раль­ное число N из­вест­но, что сумма его че­ты­рех наи­мень­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей равна 12.

А) Может ли сумма че­ты­рех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей числа N рав­нять­ся 195?

Б) Может ли сумма че­ты­рех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей числа N рав­нять­ся 120?

В) Най­ди­те все воз­мож­ные числа N, у ко­то­рых сумма че­ты­рех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей не пре­вос­хо­дит 100.


Аналоги к заданию № 508165: 511257 Все

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 97.

39
Задания Д16 C7 № 508171

А) Най­ди­те какое-либо на­ту­раль­ное число, у ко­то­ро­го ровно 10 де­ли­те­лей (вклю­чая 1 и само число).

Б) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, у ко­то­ро­го ровно 10 де­ли­те­лей.

В) Най­ди­те все трех­знач­ные не­чет­ные на­ту­раль­ные числа, у ко­то­рых ровно 10 де­ли­те­лей.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 98.

40
Задания Д16 C7 № 508177

Каж­дое из чисел 3; 4; 9; 10; 12; 15 по од­но­му за­пи­сы­ва­ют на шести кар­точ­ках. Далее кар­точ­ки пе­ре­во­ра­чи­ва­ют и пе­ре­ме­ши­ва­ют. На их чи­стых сто­ро­нах за­но­во пишут по од­но­му каж­дое из чисел 3; 4; 9; 10; 12; 15. После этого на каж­дой кар­точ­ке под­счи­ты­ва­ют мо­дуль раз­но­сти за­пи­сан­ных на ней чисел, а по­лу­чен­ные в итоге числа пе­ре­мно­жа­ют.

а) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 65?

б) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 120?

в) Какое наи­мень­шее на­ту­раль­ное число может в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 99.

41
Задания Д16 C7 № 508183

Рас­смат­ри­ва­ют­ся 10‐знач­ные на­ту­раль­ные числа (все де­сять цифр в их за­пи­си раз­лич­ны). Среди таких чисел най­ди­те:

а) какое‐либо число, де­ля­ще­е­ся на 11;

б) наи­боль­шее число, де­ля­ще­е­ся на 11;

в) наи­мень­шее число, де­ля­ще­е­ся на 11.

(На­ту­раль­ное число де­лит­ся на 11, если зна­ко­че­ре­ду­ю­ща­я­ся сумма его цифр де­лит­ся на 11. На­при­мер, число 61938085 де­лит­ся на 11, так как 6 − 1 + 9 − 3 + 8 − 0 + 8 − 5 = 22.)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 103.

42
Задания Д16 C7 № 508189

В ряд вы­пи­са­ны на­ту­раль­ные числа: Между ними про­из­воль­ным об­ра­зом рас­став­ля­ют знаки «+» и «–» и на­хо­дят по­лу­чив­шу­ю­ся сумму. Может ли такая сумма рав­нять­ся:

А) 4, если  N = 12;

Б) 0, если  N = 13;

В) 0, если  N = 16;

Г) 5, если  N = 18?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 104.

43
Задания Д16 C7 № 508195

А) До­ка­жи­те, что число со­став­ное.

Б) До­ка­жи­те, что  число  со­став­ное.

В) До­ка­жи­те, что число яв­ля­ет­ся про­из­ве­де­ни­ем двух по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 105.

44
Задания Д16 C7 № 508201

a) Можно ли числа от 1 до 16 рас­по­ло­жить по кругу так, чтобы сумма любых двух со­сед­них чисел была бы квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа?

Б)  Можно ли числа от 1 до 16 рас­по­ло­жить в стро­ку так, чтобы сумма любых двух со­сед­них чисел была бы квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа?

В) Можно ли числа от 1 до 16 рас­по­ло­жить в стро­ку так, чтобы каж­дое число, на­чи­ная  со вто­ро­го, было бы де­ли­те­лем суммы всех преды­ду­щих?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 106.

45
Задания Д16 C7 № 508207

А) Какое наи­боль­шее число ладей можно по­ста­вить на шах­мат­ную доску так, чтобы ни­ка­кие две не били друг друга?

Б) Какое наи­боль­шее число ко­ро­лей можно по­ста­вить на шах­мат­ную доску так, чтобы ни­ка­кие два не били друг друга?

В) Какое наи­мень­шее число ко­ро­лей нужно по­ста­вить на шах­мат­ную доску так, чтобы все клет­ки ока­за­лись под  боем?

Г) Какое наи­боль­шее число фер­зей можно по­ста­вить на шах­мат­ную доску так, чтобы ни­ка­кие два не били друг друга?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 107.

46
Задания Д16 C7 № 508599

А) Можно ли клет­ча­тую доску раз­ме­ром 12×12 пол­но­стью на­крыть плит­ка­ми, ука­зан­ны­ми на ри­сун­ке?

Б) Можно ли клет­ча­тую доску раз­ме­ром 10×10 пол­но­стью на­крыть плит­ка­ми, ука­зан­ны­ми на ри­сун­ке?

В) Можно ли клет­ча­тую доску раз­ме­ром 10×10 пол­но­стью на­крыть плит­ка­ми, ука­зан­ны­ми на ри­сун­ке?

(Плит­ки не долж­ны на­кла­ды­вать­ся друг на друга и вы­хо­дить за край доски)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 101.

47
Задания Д16 C7 № 508606

Рас­смат­ри­ва­ет­ся набор раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, боль­ших 1. Из­вест­но, что 1) каж­дое число на­бо­ра яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем 60, 2) про­из­ве­де­ние всех чисел на­бо­ра равно 

А) Най­ди­те наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел в таком на­бо­ре.

Б) Най­ди­те наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел в таком на­бо­ре.

В) Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­ви­ям (1) и (2)?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 102.

48
Задания Д16 C7 № 508617

А) До­ка­жи­те, что среди про­из­воль­ных 11 на­ту­раль­ных чисел все­гда най­дут­ся два, раз­ность ко­то­рых крат­на 10.

Б) До­ка­жи­те, что среди про­из­воль­ных 11 целых чисел все­гда най­дут­ся два, раз­ность ко­то­рых крат­на 10.

В) До­ка­жи­те, что среди про­из­воль­ных 10 на­ту­раль­ных чисел все­гда най­дут­ся не­сколь­ко, сумма ко­то­рых де­лит­ся на 10.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 108.

49
Задания Д16 C7 № 508624

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC.

А) Каж­дую сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка ABC уве­ли­чи­ли на 1. Может ли по­лу­чен­ный при этом тре­уголь­ник снова ока­зать­ся пря­мо­уголь­ным?

Б) Каж­дую сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка ABC умень­ши­ли на 1. Может ли по­лу­чен­ный при этом тре­уголь­ник снова ока­зать­ся пря­мо­уголь­ным?

В) Каж­дую  сто­ро­ну  тре­уголь­ни­ка ABC из­ме­ни­ли на 1 (уве­ли­чи­ли  или  умень­ши­ли,  по сво­е­му  усмот­ре­нию).  Может  ли  по­лу­чен­ный  при  этом  тре­уголь­ник  ока­зать­ся пря­мо­уголь­ным?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 109.

50
Задания Д16 C7 № 508637

Пар­тия про­хо­дит в Думу, если по ре­зуль­та­там го­ло­со­ва­ния на­би­ра­ет более 6% го­ло­сов из­би­ра­те­лей. Для каж­дой такой пар­тии най­дут­ся две дру­гие пар­тии, каж­дая из ко­то­рых на­бра­ла мень­шее число го­ло­сов, но  сум­мар­но они на­бра­ли боль­ше го­ло­сов.

а) Могут ли при­нять уча­стие в вы­бо­рах 6 пар­тий?

б) Могут ли при­нять уча­стие в вы­бо­рах 5 пар­тий?

в) Пусть m — ко­ли­че­ство пар­тий, про­шед­ших в Думу, n — ко­ли­че­ство пар­тий, не про­шед­ших в Думу. Най­ди­те мак­си­маль­ное зна­че­ние вы­ра­же­ния m/n.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 81.

51
Задания Д16 C7 № 508644

а) Пусть p — про­стое число, от­лич­ное от 3. До­ка­жи­те, что число 111…11 (p еди­ниц) не де­лит­ся на p.

б) Пусть p > 5 — про­стое число. До­ка­жи­те, что число 111…11 (p — 1 еди­ни­ца) де­лит­ся на p.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 84.

52
Задания Д16 C7 № 508651

Ля­гуш­ка пры­га­ет по вер­ши­нам ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF, каж­дый раз пе­ре­ме­ща­ясь в одну из со­сед­них вер­шин.

а) Сколь­ки­ми спо­со­ба­ми она может по­пасть из A в C за n прыж­ков?

б) Сколь­ко таких спо­со­бов при усло­вии, что вер­ши­ной D поль­зо­вать­ся нель­зя?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 85.

53
Задания Д16 C7 № 508750

В по­сле­до­ва­тель­но­сти 2, 0, 0, 0, 2, 2, 4, … каж­дый член, на­чи­ная с пя­то­го, равен по­след­ней цифре суммы пред­ше­ству­ю­щих четырёх чле­нов.

а) Встре­тят­ся ли в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти еще раз под­ряд 4 цифры 2, 0, 0, 0?

б) Встре­тят­ся ли в ней че­ты­ре под­ряд цифры 0, 0, 8, 2?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 88.

54
Задания Д16 C7 № 508759

а) К лю­бо­му ли ше­сти­знач­но­му числу, на­чи­на­ю­ще­му­ся с цифры 5, можно при­пи­сать спра­ва ещё 6 цифр так, чтобы по­лу­чен­ное число было квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа?

б) Тот же во­прос про число, на­чи­на­ю­ще­е­ся на 1.

в) Най­ди­те для каж­до­го на­ту­раль­но­го n такое наи­мень­шее число k, что к лю­бо­му n-знач­но­му числу можно так при­пи­сать спра­ва k цифр, чтобы по­лу­чен­ное (n + k)-знач­ное число было квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 89.

55
Задания Д16 C7 № 508942

Про­из­ве­де­ние трёх на­ту­раль­ных чисел, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем не­ко­то­ро­го числа вида n2 + 1, где

а) Су­ще­ству­ет ли такая ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия с раз­но­стью 12.

б) Су­ще­ству­ет ли такая ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия с раз­но­стью 10 или 11.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 100.

56
Задания Д16 C7 № 508956

Даны два трех­знач­ных на­ту­раль­ных числа. Из­вест­но, что их про­из­ве­де­ние в N раз (на­ту­раль­ное число N > 1) мень­ше ше­сти­знач­но­го числа, по­лу­ча­ю­ще­го­ся при­пи­сы­ва­ни­ем од­но­го из этих двух чисел вслед за дру­гим.

А) Может ли N рав­нять­ся 2?

Б) Может ли N рав­нять­ся 3?

В) Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать число N?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 110.

57
Задания Д16 C7 № 511165

Петя за­ду­мал на­ту­раль­ное число, боль­шее 100. Вера на­зы­ва­ет на­ту­раль­ное число N, боль­шее 1. Если число Пети де­лит­ся на N, то Вера вы­иг­ра­ла, иначе Петя вы­чи­та­ет из сво­е­го числа число N, и игра про­дол­жа­ет­ся. На­зы­вать ранее на­зван­ные числа Вера уже не может. Когда число Пети ста­нет от­ри­ца­тель­ным, Вера про­иг­ры­ва­ет. Есть ли у Веры вы­иг­рыш­ная стра­те­гия?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 111.

58
Задания Д16 C7 № 511215

Может ли общая часть тре­уголь­ни­ка и че­ты­рех­уголь­ни­ка (об­ра­зо­ван­ная при на­ло­же­нии одной фи­гу­ры на дру­гую) пред­став­лять собой

а) се­ми­уголь­ник;

б) вось­ми­уголь­ник;

в) де­вя­ти­уголь­ник?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 121.

59
Задания Д16 C7 № 511222

а) На доске за­пи­са­ны три раз­лич­ных числа, об­ра­зу­ю­щие в этом по­ряд­ке ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. Два числа по­ме­ня­ли ме­ста­ми. Могло ли ока­зать­ся так, что те­перь эти числа стали об­ра­зо­вы­вать гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию?

б) На доске за­пи­са­ны че­ты­ре раз­лич­ных числа, об­ра­зу­ю­щие в этом по­ряд­ке ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. Одно число с доски стер­ли. Могло ли ока­зать­ся так, что те­перь три остав­ших­ся числа стали об­ра­зо­вы­вать гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию?

в) На доске за­пи­са­ны че­ты­ре раз­лич­ных числа, об­ра­зу­ю­щие в этом по­ряд­ке гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию. Одно число с доски стер­ли. Могло ли ока­зать­ся так, что те­перь три остав­ших­ся числа стали об­ра­зо­вы­вать ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 122.

60
Задания Д16 C7 № 511229

а) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, по­ло­ви­на ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся точ­ным квад­ра­том, а тре­тья часть — точ­ным кубом.

б) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, по­ло­ви­на ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся точ­ным кубом, а тре­тья часть — точ­ным квад­ра­том.

в) Су­ще­ству­ет ли на­ту­раль­ное число, по­ло­ви­на ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся точ­ным квад­ра­том, тре­тья часть — точ­ным кубом, а пятая часть — точ­ной пятой сте­пе­нью?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 123.

61
Задания Д16 C7 № 511236

Может ли сумма трех по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида (где , n>1) рав­нять­ся

а) 1,1;

б) 0,5;

в) 1,05?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 124.

62
Задания Д16 C7 № 511243

Саша вы­чис­лил про­из­ве­де­ние всех на­ту­раль­ных чисел от 1 до 52 вклю­чи­тель­но и за­пи­сал на доске ответ. Од­на­ко две цифры (они от­ме­че­ны сим­во­ла­ми x и у) он на­пи­сал не­раз­бор­чи­во, а все сто­я­щие в конце нули стёр. В ре­зуль­та­те на доске ока­за­лось число 806581751709438785716606368564037669752895054408832778ух.

а) Сколь­ко нулей стёр уче­ник?

б) Най­ди­те цифру, от­ме­чен­ную сим­во­лом х.

в) Най­ди­те цифру, от­ме­чен­ную сим­во­лом у.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 125.

63
Задания Д16 C7 № 511250

а) Может ли сумма че­ты­рех на­ту­раль­ных чисел рав­нять­ся про­из­ве­де­нию этих же че­ты­рех чисел?

б) Может ли сумма че­ты­рех раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел рав­нять­ся про­из­ве­де­нию этих же че­ты­рех чисел?

в) Может ли сумма 2015 раз­лич­ных по­ло­жи­тель­ных ра­ци­о­наль­ных чисел рав­нять­ся про­из­ве­де­нию этих же 2015 чисел?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 126.

64
Задания Д16 C7 № 511257

Про на­ту­раль­ное число Р из­вест­но, что сумма трех его наи­мень­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей равна 8.

а). Най­ди­те число Р, у ко­то­ро­го сумма трех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей равна 289.

б). Может ли сумма трех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей числа Р рав­нять­ся 255.

в). Най­ди­те все воз­мож­ные числа Р, у ко­то­рых сумма трех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей не

пре­вос­хо­дит 100.


65
Задания Д16 C7 № 511271

а) Сколь­ко ре­ше­ний в не­от­ри­ца­тель­ных целых чис­лах имеет урав­не­ние a + b = 99?

б) Сколь­ко ре­ше­ний в не­от­ри­ца­тель­ных целых чис­лах имеет си­сте­ма урав­не­ний

в) Сколь­ко ре­ше­ний в не­от­ри­ца­тель­ных целых чис­лах имеет урав­не­ние a + b + c =99?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 129.

66
Задания Д16 C7 № 511278

Ре­ши­те урав­не­ние:

а) [2x] = {7x};

б) [2x] = 7x;

в) 2x = {7x}.

[a] — целая часть числа a, т. е. наи­боль­шее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее a;

{a} — дроб­ная часть числа a, т. е. {a} = a − [a].

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 130.

67
Задания Д16 C7 № 511285

Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, у ко­то­ро­го

а) про­из­ве­де­ние всех его де­ли­те­лей равно 131.

б) число (ко­ли­че­ство) его де­ли­те­лей равно 131.

в) сумма трёх мень­ших и наи­боль­ше­го его де­ли­те­ля равна 131.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 131.

68
Задания Д16 C7 № 511835

Ма­ят­ни­ко­вые  часы  по­ка­зы­ва­ют  пол­ночь.  Время,  когда  ча­со­вая  и  ми­нут­ная стрел­ки об­ра­зу­ют на ци­фер­бла­те пря­мой угол, на­зо­вем ин­те­рес­ным мо­мен­том.

А)  Опре­де­ли­те, сколь­ко ин­те­рес­ных мо­мен­тов на­блю­да­ет­ся в те­че­ние суток.

Б)  Опре­де­ли­те точ­ное время, когда ин­те­рес­ный мо­мент  на­сту­пит в пер­вый раз.

В) Опре­де­ли­те, какое наи­мень­шее время долж­но прой­ти между двумя ин­те­рес­ны­ми мо­мен­та­ми.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 112.

69
Задания Д16 C7 № 511842

А) Най­ди­те все пары целых чисел, раз­ность квад­ра­тов ко­то­рых равна 91.

Б) Най­ди­те все пары целых чисел, раз­ность кубов ко­то­рых равна 91.

В) Может ли раз­ность каких‐либо Nх (N > 3) сте­пе­ней двух целых чисел рав­нять­ся 91?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 113.

70
Задания Д16 C7 № 511867

Дано вы­ра­же­ние: 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 * 13 * 14 * 15 * 16 * 17 * 18 * 19 = 0

А) За­ме­ни­те каж­дую * зна­ком «+» или «−» так, чтобы ра­вен­ство стало вер­ным.

Б)  Какое  наи­мень­шее  число  ми­ну­сов  при­дет­ся  по­ста­вить,  чтобы  ра­вен­ство  стало 

вер­ным?

В)  Какое  наи­мень­шее  число  плю­сов  при­дет­ся  по­ста­вить,  чтобы  ра­вен­ство  стало 

вер­ным?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 114.

71
Задания Д16 C7 № 511882

В фут­боль­ной ко­ман­де «Ме­теор» 16 че­ло­век (11 ос­нов­ных иг­ро­ков и 5 за­пас­ных). Из­вест­но, что воз­раст (число  пол­ных лет) у всех иг­ро­ков раз­лич­ный, при­чем са­мо­му млад­ше­му 16 лет, а са­мо­му стар­ше­му 40 лет. По­мощ­ник тре­не­ра перед на­ча­лом матча по­счи­тал сред­ний воз­раст всех 16 иг­ро­ков ко­ман­ды, а во время матча — сред­ний воз­раст 11 че­ло­век, вы­шед­ших на поле в ос­нов­ном со­ста­ве.

А) Мог ли сред­ний воз­раст всей ко­ман­ды и ее ос­нов­но­го со­ста­ва ока­зать­ся оди­на­ко­вым?

Б) Мог ли сред­ний воз­раст всей ко­ман­ды и ее ос­нов­но­го со­ста­ва от­ли­чать­ся ровно на 5 лет?

В) Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти между сред­ним воз­рас­том всей ко­ман­ды и сред­ним воз­рас­том ее ос­нов­но­го со­ста­ва.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 115.

72
Задания Д16 C7 № 511889

На про­ек­те «Вышка» каж­дый пры­жок в воду оце­ни­ва­ют пять судей. При этом каж­дый судья вы­став­ля­ет оцен­ку — целое число бал­лов от 0 до 6 вклю­чи­тель­но. Из­вест­но, что за пры­жок Ти­му­ра Ла­сточ­ки­на все члены жюри вы­ста­ви­ли  раз­лич­ные оцен­ки. По ста­рой си­сте­ме оце­ни­ва­ния ито­го­вый балл за пры­жок опре­де­лял­ся как сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок судей. По новой си­сте­ме оце­ни­ва­ния ито­го­вый балл вы­чис­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: от­бра­сы­ва­ют­ся наи­мень­шая и наи­боль­шая оцен­ки, и счи­та­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское трех остав­ших­ся оце­нок.

А) Может ли раз­ность ито­го­вых бал­лов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, быть рав­ной 1/10?

Б) Может ли раз­ность ито­го­вых бал­лов,  вы­чис­лен­ных  по  ста­рой  и  новой  си­сте­мам оце­ни­ва­ния, быть рав­ной 1/15?

В) Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное  зна­че­ние  раз­но­сти  ито­го­вых бал­лов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 116.

73
Задания Д16 C7 № 511896

А) Пред­ставь­те 1 в виде суммы трех по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида где n — на­ту­раль­ное число.

Б) Пред­ставь­те 1 в виде суммы пяти по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида где n — на­ту­раль­ное число.

В) До­ка­жи­те, что 1 можно пред­ста­вить в виде суммы лю­бо­го (боль­ше­го двух) ко­ли­че­ства по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида где n — на­ту­раль­ное число.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 117.

74
Задания Д16 C7 № 511903

Име­ет­ся набор от­рез­ков, два самых ко­рот­ких из них имеют длину 1, самый длин­ный имеет длину 45.

а) Может ли ока­зать­ся, что ни из каких трёх от­рез­ков нель­зя со­ста­вить тре­уголь­ник, если набор со­сто­ит из 5 от­рез­ков?

б) Может ли ока­зать­ся, что ни из каких трёх от­рез­ков нель­зя со­ста­вить тре­уголь­ник, если набор со­сто­ит из 60 от­рез­ков?

в) Какое наи­боль­шее число от­рез­ков может быть в на­бо­ре, чтобы ни из каких трёх нель­зя было со­ста­вить тре­уголь­ник?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 118.

75
Задания Д16 C7 № 511921

Най­ди­те два на­ту­раль­ных числа таких, что их про­из­ве­де­ние

 

а) в 25 раз боль­ше их раз­но­сти;

б) в 25 раз боль­ше их суммы;

в) в 25 раз боль­ше их по­лу­сум­мы.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 119.

76
Задания Д16 C7 № 512007

А) При каком наи­боль­шем N на окруж­но­сти можно от­ме­тить N точек так, то среди тре­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точ­ках найдётся ровно 2015 пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков?

Б) При каком наи­мень­шем N на окруж­но­сти можно от­ме­тить N точек так, что среди тре­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точ­ках найдётся ровно 2015 пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков?

В) При каком наи­мень­шем N на окруж­но­сти можно от­ме­тить N точек так, что среди тре­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точ­ках найдётся по край­ней мере 2015 пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 120.

77
Задания Д16 C7 № 512429

а) Из­вест­но, что b = 20132013 + 2. Будут ли числа b3 + 2 и b2 + 2 вза­им­но про­сты­ми?

б) Най­ди­те четырёхзнач­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на  131 даёт в остат­ке 112, а при де­ле­нии на 132 даёт в остат­ке 98.

в)  Най­ди­те все числа вида ко­то­рые де­ли­лись бы на 132.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 132.

78
Задания Д16 C7 № 512436

а) Из­вест­но, что 35! = 10333147966386144929*66651337523200000000.  Най­ди­те цифру, заменённую звез­доч­кой. 

б) Де­лит­ся ли число 11n + 2 + 122n + 1 на 133 при любом на­ту­раль­ном n?

в) Най­ди­те ко­ли­че­ство на­ту­раль­ных чисел, мень­ших 133, вза­им­но про­стых с чис­лом 133. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 133.

79
Задания Д16 C7 № 512443

На доске на­пи­са­но более 122, но менее 134 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −7. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных чисел равно 11, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных чисел равно −22.  

а) Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске? 

б) Каких чисел боль­ше: по­ло­жи­тель­ных или от­ри­ца­тель­ных? 

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них? 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 134.

80
Задания Д16 C7 № 512450

а) Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых корни урав­не­ния об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

б) Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно че­ты­ре дей­стви­тель­ных корня, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

в) Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно че­ты­ре дей­стви­тель­ных корня, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

г) Числа яв­ля­ют­ся по­сле­до­ва­тель­ны­ми чле­на­ми ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии. Най­ди­те x, если из­вест­но, что один из чле­нов этой про­грес­сии равен −0,8.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 135.

81
Задания Д16 C7 № 512457

Про на­ту­раль­ные числа а, b и c из­вест­но, что

а) Может ли сумм чисел a и b рав­нять­ся числу c?

б) Может ли про­из­ве­де­ние чисел а и с рав­нять­ся квад­ра­ту числа b?

в) Най­ди­те наи­мень­шее из воз­мож­ных зна­че­ний вы­ра­же­ния

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 136.

82
Задания Д16 C7 № 512464

а) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число такое, что оно не яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем 100!

б) Опре­де­ли­те, на какую наи­боль­шую сте­пень 10 де­лит­ся 100!

в) Най­ди­те по­след­нюю не­ну­ле­вую цифру в за­пи­си числа, рав­но­го 100!

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 137.

83
Задания Д16 C7 № 512471

Ис­поль­зуя каж­дую из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 по од­но­му разу, со­ставь­те такие два пя­ти­знач­ных числа, чтобы

а) их раз­ность была наи­боль­шей;

б) их раз­ность была по мо­ду­лю наи­мень­шей;

в) их про­из­ве­де­ние было наи­боль­шим.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 138.

84
Задания Д16 C7 № 512654

а) В го­ро­де Глу­по­ве каж­дый жи­тель — по­ли­цей­ский, вор или обы­ва­тель. По­ли­цей­ские все­гда врут обы­ва­те­лям, воры — по­ли­цей­ским, а обы­ва­те­ли — ворам, а во всех осталь­ных слу­ча­ях жи­те­ли го­ро­да го­во­рят прав­ду. Од­на­ж­ды, когда не­сколь­ко глу­пов­цев во­ди­ли хо­ро­вод, каж­дый ска­зал сво­е­му со­се­ду спра­ва: «Я — по­ли­цей­ский». Сколь­ко в этом хо­ро­во­де было обы­ва­те­лей?   

б) За круг­лым сто­лом сидят 10 че­ло­век, каж­дый из ко­то­рых — од­но­го из двух типов: лжец (все­гда лжет) или ры­царь (все­гда го­во­рит прав­ду). Каж­дый из них утвер­жда­ет:

«Мои со­се­ди слева и спра­ва — раз­но­го типа». Сколь­ко лже­цов сидит за сто­лом? 

в) Хок­кей­ная ко­ман­да, на­счи­ты­ва­ю­щая 28 че­ло­век, со­сто­ит из ры­ца­рей (все­гда го­во­рят прав­ду) и лже­цов (все­гда лгут). Од­на­ж­ды каж­дый игрок сде­лал за­яв­ле­ние. Пер­вый ска­зал:  «Ко­ли­че­ство ры­ца­рей в ко­ман­де де­ли­тель — 1».  Вто­рой  ска­зал:  «Ко­ли­че­ство ры­ца­рей в ко­ман­де — де­ли­тель  2» и так далее до 28‐го, ко­то­рый  ска­зал:  «Ко­ли­че­ство 

ры­ца­рей в ко­ман­де — де­ли­тель 28». Опре­де­ли­те, сколь­ко в ко­ман­де ры­ца­рей.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 139.

85
Задания Д16 C7 № 512667

а) Между циф­ра­ми от 1 до 9 рас­ставь­те знаки ариф­ме­ти­че­ских дей­ствий и скоб­ки (если нужно) так, чтобы по­лу­чи­лось вер­ное ра­вен­ство: 1  2  3  4  5  6  7  8  9  = 100.

б) Рас­ставь­те в каж­дую клет­ку по одной цифре так, чтобы вы­пол­ня­лись сле­ду­ю­щие ра­вен­ства (при­чем все цифры не­ну­ле­вые и ис­поль­зу­ют­ся по од­но­му разу):

 

  : =  = + = · 

 

в) Можно ли из цифр от 1 до 9 со­ста­вить такое де­вя­ти­знач­ное число, что число из двух его пер­вых цифр де­лит­ся на 2, из трёх пер­вых цифр — де­лит­ся на 3 и так далее, а само число де­лит­ся на 9?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 140.

86
Задания Д16 C7 № 512675

а) В клет­ках таб­ли­цы 3х3 рас­став­ле­ны числа −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4. Рас­смот­рим во­семь сумм: суммы трёх чисел в каж­дой стро­ке, каж­дом столб­це и по двум диа­го­на­лям. Могут ли все эти суммы ока­зать­ся оди­на­ко­вы­ми?

б) В клет­ках таб­ли­цы 3х3 рас­став­ле­ны числа –1, 0 и 1 (каж­дое из этих чисел встре­ча­ет­ся хотя бы один раз). Рас­смот­рим во­семь сумм: суммы трёх чисел в каж­дой стро­ке, каж­дом столб­це и по двум диа­го­на­лям. Могут ли все эти суммы ока­зать­ся раз­лич­ны­ми?

в) В клет­ках таб­ли­цы 3х3 рас­став­ле­ны де­вять раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Рас­смот­рим во­семь про­из­ве­де­ний: про­из­ве­де­ния трёх чисел в каж­дой стро­ке, каж­дом столб­це и по двум диа­го­на­лям. Могут ли все эти про­из­ве­де­ния ока­зать­ся оди­на­ко­вы­ми? 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 141.

87
Задания Д16 C7 № 513210

а) Среди 9 монет оди­на­ко­во­го до­сто­ин­ства одна фаль­ши­вая — ее вес мень­ше, чем у на­сто­я­щих. Как при по­мо­щи двух взве­ши­ва­ний на ча­шеч­ных весах без гирь вы­де­лить фаль­ши­вую мо­не­ту?

б) Из­вест­но, что среди гирь до­сто­ин­ством 1 кг, 2 кг, 3 кг и 5 кг одна гиря от­ли­ча­ет­ся по весу от мар­ки­ров­ки, ука­зан­ной на ней. Можно ли при по­мо­щи двух взве­ши­ва­ний на ча­шеч­ных весах без гирь вы­де­лить «не­пра­виль­ную» гирю?

в) Среди 12 монет оди­на­ко­во­го до­сто­ин­ства одна фаль­ши­вая — ее вес от­ли­ча­ет­ся от веса на­сто­я­щих, но не­из­вест­но, легче она на­сто­я­щих или тя­же­лее. За какое наи­мень­шее число взве­ши­ва­ний на ча­шеч­ных весах без гирь можно вы­де­лить фаль­ши­вую мо­не­ту и при этом уста­но­вить, легче она или тя­же­лее на­сто­я­щих?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 142.

88
Задания Д16 C7 № 513217

На­ту­раль­ные числа от 1 до 9 рас­пре­де­ле­ны на три груп­пы: в 1‐й груп­пе два числа, во 2‐й — три и в 3‐й — че­ты­ре.

а) Могут ли про­из­ве­де­ния чисел в каж­дой груп­пе ока­зать­ся оди­на­ко­вы­ми?

б) Могут ли суммы в каж­дой груп­пе ока­зать­ся оди­на­ко­вы­ми?

в) Из чисел 1‐й груп­пы со­став­ле­но дву­знач­ное число А, из чисел 2‐й груп­пы со­став­ле­но трех­знач­ное число В, а из чисел 3‐й груп­пы со­став­ле­но че­ты­рех­знач­ное число С. Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма A + В + С?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 143.

89
Задания Д16 C7 № 513224

а) Ре­ши­те в целых чис­лах урав­не­ние

б) Ре­ши­те в целых чис­лах урав­не­ние

в) Ре­ши­те в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 144.

90
Задания Д16 C7 № 513231

На доске за­пи­са­но число 2. Раз­ре­ша­ет­ся за­пи­сы­вать новые числа, при­ме­няя одну из опе­ра­ций:

1) можно уве­ли­чить любое из за­пи­сан­ных чисел на 3;

2) можно любое из за­пи­сан­ных чисел воз­ве­сти в квад­рат.

Можно ли в какой‐то мо­мент по­лу­чить на доске число:

а) 2015;

б) 2016?

в) За какое наи­мень­шее число ходов можно по­лу­чить на доске число 2017?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 145.

91
Задания Д16 C7 № 513238

Из целых чисел от 1 до 100 уда­ли­ли k чисел. Обя­за­тель­но ли среди остав­ших­ся чисел можно вы­брать k раз­лич­ных чисел с сум­мой 100, если

а) k = 9;

б) k = 8?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 146.

92
Задания Д16 C7 № 513769

В вы­ра­же­нии 10 : 9 : 8 : 7 : 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1 рас­ста­ви­ли скоб­ки так, что в ре­зуль­та­те вы­чис­ле­ний по­лу­чи­лось целое число. Каким

а) наи­боль­шим; 

б) наи­мень­шим может быть это число?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 147.

93
Задания Д16 C7 № 513776

а) На доске за­пи­са­ны числа: 4, 14, 24, ..., 94, 104. Можно ли сте­реть сна­ча­ла одно число из за­пи­сан­ных, потом сте­реть еще два, потом — еще три, и, на­ко­нец, сте­реть еще че­ты­ре числа так, чтобы после каж­до­го сти­ра­ния сумма остав­ших­ся на доске чисел де­ли­лась на 11?

б) В стро­ку вы­пи­са­но 23 на­ту­раль­ных числа (не обя­за­тель­но раз­лич­ных). До­ка­жи­те, что между ними можно так рас­ста­вить скоб­ки, знаки сло­же­ния и умно­же­ния, что зна­че­ние по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния будет де­лить­ся на 2000 на­це­ло.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 148.

94
Задания Д16 C7 № 513783

а) Можно ли за­ну­ме­ро­вать рёбра куба на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми от 1 до 12 так, чтобы для каж­дой вер­ши­ны куба сумма но­ме­ров рёбер, ко­то­рые в ней схо­дят­ся, была оди­на­ко­вой? 

б) Ана­ло­гич­ный во­прос, если рас­став­лять по рёбрам куба числа –6, –5, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 149.

95
Задания Д16 C7 № 513790

а) На доске за­пи­са­ны числа 1, 21, 22, 23, 24, 25. Раз­ре­ша­ет­ся сте­реть любые два числа и вме­сто них за­пи­сать их раз­ность — не­от­ри­ца­тель­ное число. Может ли на доске в ре­зуль­та­те не­сколь­ких таких опе­ра­ций остать­ся толь­ко число 15?

б) Круг­лая ми­шень раз­би­та на 20 сек­то­ров, ко­то­рые ну­ме­ру­ют­ся по кругу в каком‐либо по­ряд­ке чис­ла­ми 1, 2, ..., 20. Если сек­то­ры за­ну­ме­ро­ва­ны, на­при­мер, в сле­ду­ю­щем по­ряд­ке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наи­мень­шая из раз­но­стей между но­ме­ра­ми со­сед­них (по кругу) сек­то­ров равна  12 – 9 = 3. Может ли ука­зан­ная ве­ли­чи­на при ну­ме­ра­ции в дру­гом по­ряд­ке быть боль­ше 3?

в) Ка­ко­во наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этой ве­ли­чи­ны? 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 150.

96
Задания Д16 C7 № 513797

Как из­вест­но, шах­мат­ный конь ходит бук­вой «Г» (рис.) 

Конь рас­по­ло­жен в левой ниж­ней клет­ке шах­мат­ной доски 8х8 (поле А1). 

а) Может ли конь ока­зать­ся в верх­ней пра­вой клет­ке  (на поле Н8), сде­лав при этом ровно 2015 ходов?   

б) Может ли конь за 63 хода по­бы­вать в каж­дой из остав­ших­ся 63 кле­ток?

в) За какое  наи­мень­шее число  ходов конь может  ока­зать­ся в верх­ней  пра­вой клет­ке (на поле Н8)?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 151.

97
Задания Д16 C7 № 514057

а) Можно ли число 2016 пред­ста­вить в виде суммы семи по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел?  

б) Можно ли число 2016 пред­ста­вить в виде суммы шести по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел?

в) Пред­ставь­те число 2016 в виде суммы наи­боль­ше­го ко­ли­че­ства по­сле­до­ва­тель­ных чётных на­ту­раль­ных чисел.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 152.

98
Задания Д16 C7 № 514064

Опре­де­ли­те, имеют ли общие члены две по­сле­до­ва­тель­но­сти 

а) 3; 16; 29; 42;… и 2; 19; 36; 53;…   

б) 5; 16; 27; 38;… и 8; 19; 30; 41;…   

в) Опре­де­ли­те, какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство общих чле­нов может быть у двух ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий  1; …; 100 и 9; …; 999,  если из­вест­но, что у каж­дой из них раз­ность яв­ля­ет­ся целым чис­лом, от­лич­ным от 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 153.

99
Задания Д16 C7 № 514071

На каж­дой из 28 ко­стей до­ми­но на­пи­са­ны два целых числа, не мень­ших 0 и не боль­ших 6 так, что они об­ра­зу­ют все воз­мож­ные пары по од­но­му разу (0−0, 0−1, 0−2 и так далее до 6−6). 

Все кости до­ми­но раз­ло­жи­ли на не­сколь­ко кучек и для каж­дой кучки под­счи­та­ли сумму всех чисел на ко­стях, на­хо­дя­щих­ся в этой кучке. Ока­за­лось, что все по­лу­чен­ные суммы равны. 

а) Могло ли быть 2 кучки? 

б) Могло ли быть 5 кучек? 

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство кучек могло быть? 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 154.

100
Задания Д16 C7 № 514078

а) Какое наи­боль­шее число ладей можно по­ста­вить на шах­мат­ной доске так, чтобы ни­ка­кие две не били друг друга?                          

б) На шах­мат­ной доске по­став­ле­ны во­семь ладей. Какое наи­боль­шее число кле­ток может ока­зать­ся не под боем этих ладей?                                                   

в) На 64 лет­ках шах­мат­ной доски вы­пи­са­ны под­ряд числа от 1 до 64 (в верх­нем ряду слева на­пра­во числа от 1 до 8, во вто­ром ряду числа от 9 до 16 и т. д.) Во­семь ладей по­став­ле­ны так, что ни­ка­кие две не бьют друг друга. Под­счи­та­на сумма чисел, на­пи­сан­ных на тех вось­ми клет­ках, на ко­то­рых по­став­ле­ны ладьи. Най­ди­те все зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать эта сумма.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 155.

101
Задания Д16 C7 № 514580

а) Су­ще­ству­ет ли на­ту­раль­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 2015 даёт в остат­ке 2014, а при де­ле­нии на 2016 даёт в остат­ке 2015?

б) Су­ще­ству­ет ли на­ту­раль­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 3 даёт в остат­ке 2, при де­ле­нии на 5 даёт в остат­ке 4, а при де­ле­нии на 10 даёт в остат­ке 6?

в) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 2 даёт в остат­ке 1, при де­ле­нии на 3 даёт в остат­ке 2, ..., при де­ле­нии на 9 даёт в остат­ке 8, при де­ле­нии на 10 даёт в остат­ке 9.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 157.

102
Задания Д16 C7 № 514587

а) Можно ли пра­виль­ный пя­ти­уголь­ник раз­ре­зать на па­рал­ле­ло­грам­мы?

б) Можно ли пра­виль­ный пя­ти­уголь­ник раз­ре­зать на тра­пе­ции?

в) Най­ди­те наи­мень­шее нечётное n, для ко­то­ро­го су­ще­ству­ет n-уголь­ник, ко­то­рый можно раз­ре­зать на па­рал­ле­ло­грам­мы.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 158.

103
Задания Д16 C7 № 514601

Целые числа a1, a2, a3, a4 че­тырь­мя по­сле­до­ва­тель­ны­ми чле­на­ми ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии. 

а) Может ли раз­ность дро­бей и рав­нять­ся

б) Может ли раз­ность дро­бей и рав­нять­ся

в) Най­ди­те все воз­мож­ные целые зна­че­ния раз­но­сти дро­бей и

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 160.

104
Задания Д16 C7 № 514871

Можно ли n по­пар­но раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел рас­по­ло­жить по кругу так, чтобы сумма любых двух со­сед­них чисел яв­ля­лась точ­ным квад­ра­том, если:

а) n = 3;

б) n = 4;

в) n = 5?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 161.

105
Задания Д16 C7 № 514878

Рас­смат­ри­ва­ют­ся дроби вида где

а) Может ли сумма не­сколь­ких по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида быть целым чис­лом?

б) Может ли сумма двух раз­лич­ных дро­бей вида рав­нять­ся дроби вида

в) Най­ди­те наи­мень­шее ко­ли­че­ство по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида сумма ко­то­рых будет боль­ше 10.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 162.

106
Задания Д16 C7 № 514885

Ре­ши­те в целых чис­лах урав­не­ние:

а)

б)

в)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 163.

107
Задания Д16 C7 № 514892

Может ли сумма че­ты­рех по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида (где ):

а) рав­нять­ся 1,3;    

б) рав­нять­ся 1,001;   

в) при­ни­мать зна­че­ние из ин­тер­ва­ла

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 164.

108
Задания Д16 C7 № 515111

Мно­го­знач­ное  число 123456789101112…9991000  по­лу­че­но  в  ре­зуль­та­те  по­сле­до­ва­тель­ной за­пи­си без про­бе­лов ты­ся­чи пер­вых на­ту­раль­ных чисел.  

а) Какое  наи­боль­шее  ко­ли­че­ство  оди­на­ко­вых  цифр,  сто­я­щих  рядом,  со­дер­жит­ся  в  за­пи­си этого числа?  

б) Сколь­ко всего цифр со­дер­жит­ся в за­пи­си дан­но­го числа?   

в) Какая цифра в за­пи­си этого числа стоит на 2016‐м месте?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 165.

109
Задания Д16 C7 № 515118

На  доске  за­пи­са­ны  два  на­ту­раль­ных числа: 672 и 560. За один ход раз­ре­ша­ет­ся любое из этих чисел за­ме­нить  мо­ду­лем их раз­но­сти либо умень­шить вдвое  (если число чётное).  

а) Может ли через не­сколь­ко ходов на доске ока­зать­ся два оди­на­ко­вых числа?  

б) Может ли через не­сколь­ко ходов на доске ока­зать­ся число 2?   

в) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, ко­то­рое может ока­зать­ся на доске в ре­зуль­та­те вы­пол­не­ния таких ходов.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 166.

110
Задания Д16 C7 № 515126

Целые числа xy и z в ука­зан­ном по­ряд­ке об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию. 

а) Могут ли числа  x + 3,  y2  и z + 5 об­ра­зо­вы­вать в ука­зан­ном по­ряд­ке ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию?   

б) Могут ли числа 5x,  y и 3z об­ра­зо­вы­вать в ука­зан­ном по­ряд­ке ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию?

в) Най­ди­те  все  xy и z,  при  ко­то­рых числа  5x + 3,  y2 и 3z + 5  будут  об­ра­зо­вы­вать  в ука­зан­ном по­ряд­ке ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 167.

111
Задания Д16 C7 № 515133

Име­ет­ся пять па­ло­чек с дли­на­ми 2, 3, 4, 5, 6. 

а) Можно ли, ис­поль­зуя все па­лоч­ки, сло­жит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник?  

б) Можно ли, ис­поль­зуя все па­лоч­ки, сло­жить пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник?  

в) Какой наи­мень­шей пло­ща­ди можно сло­жить тре­уголь­ник, ис­поль­зуя все па­лоч­ки?  

(Раз­ла­мы­вать па­лоч­ки нель­зя.)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 168.

112
Задания Д16 C7 № 515140

а) Най­ди­те оста­ток от де­ле­ния  на 5. 

б) Най­ди­те оста­ток от де­ле­ния  на 3. 

в) Най­ди­те оста­ток от де­ле­ния  на 17.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 169.

113
Задания Д16 C7 № 515207

Про на­ту­раль­ное пя­ти­знач­ное число N из­вест­но, что оно де­лит­ся на 12, и сумма его цифр де­лит­ся на 12.

А) Могут ли все пять цифр в за­пи­си числа N быть раз­лич­ны­ми?

Б) Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное число N;

В) Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное число N;

Г) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство оди­на­ко­вых цифр может со­дер­жать­ся в за­пи­си числа N? Сколь­ко всего таких чисел N (со­дер­жа­щих в своей за­пи­си наи­боль­шее ко­ли­че­ство оди­на­ко­вых цифр)?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 170.

114
Задания Д16 C7 № 515214

А) Может ли раз­ность квад­ра­тов двух на­ту­раль­ных чисел рав­нять­ся кубу на­ту­раль­но­го числа? 

Б) Может ли раз­ность кубов двух на­ту­раль­ных чисел рав­нять­ся квад­ра­ту на­ту­раль­но­го числа? 

В) Най­ди­те все про­стые числа, каж­дое из ко­то­рых равно раз­но­сти кубов двух про­стых чисел.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 171.

115
Задания Д16 C7 № 521077

а) Каж­дая точка плос­ко­сти окра­ше­на в один из двух цве­тов. Обя­за­тель­но ли на плос­ко­сти най­дут­ся две точки од­но­го цвета, уда­лен­ные друг от друга ровно на 1 м?

б) Каж­дая точка пря­мой окра­ше­на в один из 10 цве­тов. Обя­за­тель­но ли на пря­мой най­дут­ся две точки од­но­го цвета, уда­лен­ные друг от друга на целое число мет­ров?

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство вер­шин куба можно по­кра­сить в синий цвет так, чтобы среди синих вер­шин нель­зя было вы­брать три, об­ра­зу­ю­щие рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 172.

116
Задания Д16 C7 № 521084

В каж­дой клет­ке таб­ли­цы раз­ме­ром за­пи­са­ны числа от 1 до 9 (см рис.). За один ход раз­ре­ша­ет­ся к двум со­сед­ним чис­лам (клет­ки имеют общую сто­ро­ну) при­ба­вить одно и то же целое число.

 

456
987
123

 

а) Можно ли таким об­ра­зом по­лу­чить таб­ли­цу, во всех клет­ках ко­то­рой будут оди­на­ко­вые числа?

б) Можно ли таким об­ра­зом по­лу­чить таб­ли­цу, со­став­лен­ную из одной еди­ни­цы в цен­тре и вось­ми нулей?

в) После не­сколь­ких ходов в таб­ли­це ока­за­лись во­семь нулей и какое‐то число N, от­лич­ное от нуля. Най­ди­те все воз­мож­ные N

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 173.

117
Задания Д16 C7 № 521091

а) Су­ще­ству­ет ли ше­сти­знач­ное на­ту­раль­ное число, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го равно 1080?     

б) Су­ще­ству­ет  ли  де­ся­ти­знач­ное  на­ту­раль­ное  число,  про­из­ве­де­ние  цифр  ко­то­ро­го равно 1080?     

в) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го равно 1080.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 174.

118
Задания Д16 C7 № 521101

На­зо­вем на­ту­раль­ное число ин­те­рес­ным, если в его раз­ло­же­нии на про­стые мно­жи­те­ли каж­дый мно­жи­тель имеет не­чет­ную сте­пень (на­при­мер, число ин­те­рес­ное).

а) Может ли ин­те­рес­ное число окан­чи­вать­ся ровно че­тырь­мя ну­ля­ми?

б) Су­ще­ству­ют ли три по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных числа, среди ко­то­рых нет ни од­но­го ин­те­рес­но­го?

в) Чему равно наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных ин­те­рес­ных чисел?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 175.

119
Задания Д16 C7 № 521108

Дан клет­ча­тый квад­рат раз­ме­ром 6 × 6.

а) Можно ли этот квад­рат раз­ре­зать на де­сять по­пар­но раз­лич­ных клет­ча­тых мно­го­уголь­ни­ков?

б) Можно ли этот квад­рат раз­ре­зать на один­на­дцать по­пар­но раз­лич­ных клет­ча­тых мно­го­уголь­ни­ков?

в) На какое наи­боль­шее число по­пар­но раз­лич­ных клет­ча­тых пря­мо­уголь­ни­ков можно раз­ре­зать этот квад­рат?

 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 176.

120
Задания Д16 C7 № 521116

На 22 кар­точ­ках на­пи­са­ны на­ту­раль­ные числа от 1 до 22.

а) Из этих кар­то­чек взяли две (с чис­ла­ми а и b) и со­ста­ви­ли не­пра­виль­ную дробь . Какое наи­мень­шее число могло по­лу­чить­ся?

б) Из этих кар­то­чек со­ста­ви­ли 11 дро­бей. Могла ли их сумма иметь целое зна­че­ние?

в) Из этих кар­то­чек со­ста­ви­ли 11 дро­бей. Какое наи­боль­шее число этих дро­бей могли иметь целое зна­че­ние?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 177.

121
Задания Д16 C7 № 521123

Чук и Гек по­оче­ред­но из­вле­ка­ют из трех ящи­ков шары. Своим ходом каж­дый может взять из лю­бо­го ящика (но толь­ко из од­но­го) любое ко­ли­че­ство шаров. Вы­иг­ры­ва­ет тот, кто за­бе­рет по­след­ний шар. Кто из маль­чи­ков может обес­пе­чить себе по­бе­ду не­за­ви­си­мо от игры со­пер­ни­ка, если ко­ли­че­ство шаров в ящи­ках равно

а) 8, 9 и 9; 

б) 1, 2 и 3; 

в) 8, 9 и 10?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 178.

122
Задания Д16 C7 № 521137

а) Су­ще­ству­ет ли такое х, что зна­че­ния вы­ра­же­ний – целые числа?

б) Су­ще­ству­ет ли такое х, что зна­че­ния вы­ра­же­ний – целые числа?

в) Су­ще­ству­ет ли такое х, что зна­че­ния вы­ра­же­ний – целые числа?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 179.

123
Задания Д16 C7 № 521144

а) Можно ли числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 раз­бить на две груп­пы с оди­на­ко­вым про­из­ве­де­ни­ем чисел в этих груп­пах?

б) Можно ли числа 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14 раз­бить на две груп­пы с оди­на­ко­вым про­из­ве­де­ни­ем чисел в этих груп­пах?

в) Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел нужно ис­клю­чить из на­бо­ра 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 так, чтобы остав­ши­е­ся числа можно было раз­бить на две груп­пы с оди­на­ко­вым про­из­ве­де­ни­ем чисел в этих груп­пах? При­ве­ди­те при­мер та­ко­го раз­би­е­ния на груп­пы.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 180.

124
Задания Д16 C7 № 521151

а) Найти на­ту­раль­ное число n такое, чтобы сумма рав­ня­лась трех­знач­но­му числу, все цифры ко­то­ро­го оди­на­ко­вы.

б) Сумма че­ты­рех чисел, со­став­ля­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, равна 1, а сумма кубов этих чисел равна 0,1. Найти эти числа.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 181.

125
Задания Д16 C7 № 521165

Число при­ва­ти­зи­ро­ван­ных квар­тир в доме за­клю­че­но в пре­де­лах от 93,4 до 93,5 про­цен­тов от об­ще­го числа квар­тир. Ка­ко­во ми­ни­маль­но воз­мож­ное число квар­тир в таком доме?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 182.

126
Задания Д16 C7 № 521172

За­да­ны числа: 1, 2, 3, ..., 99, 100. Можно ли раз­бить эти числа на три груп­пы так, чтобы:

а) в каж­дой груп­пе сумма чисел де­ли­лась на 3.

б) в каж­дой груп­пе сумма чисел де­ли­лась на 10.

в) сумма чисел в одной груп­пе де­ли­лась на 102, сумма чисел в дру­гой груп­пе де­ли­лась на 203, а сумма чисел в тре­тьей груп­пе де­ли­лась на 304?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 183.

127
Задания Д16 C7 № 521180

По­сле­до­ва­тель­ные не­чет­ные числа сгруп­пи­ро­ва­ны сле­ду­ю­щим об­ра­зом: (1); (3;5); (7;9;11);(13;15;17;19)...

а) Найти сумму чисел в де­ся­той груп­пе;

б) Найти сумму чисел в сотой груп­пе;

в) Опре­де­лить среди пер­вых ста групп ко­ли­че­ство групп, в ко­то­рых сумма чисел де­лит­ся на 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 184.

128
Задания Д16 C7 № 521187

а) Найти ко­ли­че­ство на­ту­раль­ных де­ли­те­лей числа

б) До­ка­зать, что число яв­ля­ет­ся со­став­ным.

в) На­ту­раль­ное число X имеет в ка­че­стве про­стых де­ли­те­лей 5, 7. Найти все такие x, y ко­то­рых уде­ся­те­рен­ное число на­ту­раль­ных де­ли­те­лей равно сумме ко­ли­честв на­ту­раль­ных де­ли­те­лей чисел .

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 185.

129
Задания Д16 C7 № 521194

На­ту­раль­ное число х имеет оста­ток 5 при де­ле­нии на 8 и оста­ток 41 при де­ле­нии на 64.

а) Найти оста­ток при де­ле­нии числа х на 32;

б) Найти сумму таких чисел х, ко­то­рые при­над­ле­жат от­рез­ку [2000, 3000].

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 186.

130
Задания Д16 C7 № 521201

Взяли по­сле­до­ва­тель­ность пер­вых 15 на­ту­раль­ных чисел.

а) Можно ли эти числа раз­бить на 5 групп так, что бы суммы чисел сто­я­щих в одной груп­пе имели раз­ные остат­ки при де­ле­нии на 5?

б) Можно ли эти числа раз­бить на 7 групп так, что бы суммы чисел вхо­дя­щих в одну груп­пу имели раз­ные остат­ки при де­ле­нии на 7?

в) Можно ли эти числа упо­ря­до­чить таким об­ра­зом, что бы суммы любых трех по­сле­до­ва­тель­ных чисел де­ли­лась на 5?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 187.

131
Задания Д16 C7 № 521209

Перед  дро­бя­ми  рас­став­ле­ны знаки, либо «+», либо «‐». На­при­мер,  Обо­зна­чим по­лу­чен­ное число через S.

а) Может ли S = 0,45? 

б) Может ли S = 1? 

в) Найти наи­мень­шее зна­че­ние  при всех воз­мож­ных S.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 188.

132
Задания Д16 C7 № 521216

За­да­ны три бес­ко­неч­ных це­ло­чис­лен­ных воз­рас­та­ю­щих ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий, раз­ность ко­то­рых 3, 5 и 7, каж­дая из ко­то­рых со­дер­жит хотя бы одно от­ри­ца­тель­ное число. На­ту­раль­ное число «n» на­зо­вем хо­ро­шим, если оно при­над­ле­жит всем про­грес­си­ям.

а) До­ка­зать, что су­ще­ству­ет хотя бы одно хо­ро­шее число.

б) Можно ли утвер­ждать, что для любых про­грес­сий су­ще­ству­ет хо­ро­шее число на от­рез­ке [100; 200]?

в) Можно ли утвер­ждать, что для любых про­грес­сий су­ще­ству­ет хо­ро­шее число на от­рез­ке [200; 400]?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 189.

133
Задания Д16 C7 № 521223

На­зо­вем квад­рат­ное урав­не­ние с на­ту­раль­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми a ,b и c «про­стым», если a ,b и c не имеют кроме 1, дру­гих общих де­ли­те­лей.

а) Найти все зна­че­ния b , для ко­то­рых «про­стое» урав­не­ние имеет хотя бы одно целое ре­ше­ние,

б) До­ка­жи­те, что «про­стое» урав­не­ние не имеет целых ре­ше­ний, если b крат­но 3,

в) До­ка­жи­те, что если и не крат­но 3, най­дет­ся такое «с», что про­стое урав­не­ние имеет целое ре­ше­ние.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 190.

134
Задания Д16 C7 № 521230

Дана по­сле­до­ва­тель­ность .

а) До­ка­жи­те, что при любом на­ту­раль­ном n верно ра­вен­ство .

б) Опре­де­ли­те, сколь­ко че­ты­рех­знач­ных чисел со­дер­жит эта по­сле­до­ва­тель­ность.

в) Най­ди­те все члены этой по­сле­до­ва­тель­но­сти, яв­ля­ю­щи­е­ся точ­ны­ми квад­ра­та­ми.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 191.

135
Задания Д16 C7 № 521238

Дана по­сле­до­ва­тель­ность

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 192.

136
Задания Д16 C7 № 521248

а) Можно ли квад­рат раз­ме­ром 6х6 вы­ло­жить две­на­дца­тью плит­ка­ми сле­ду­ю­ще­го вида ?

б) Можно ли квад­рат раз­ме­ром 6х6 вы­ло­жить де­вя­тью плит­ка­ми сле­ду­ю­ще­го вида?

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство пли­ток сле­ду­ю­ще­го вида можно ис­поль­зо­вать для вы­кла­ды­ва­ния квад­ра­та раз­ме­ром 6х6?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 193.

137
Задания Д16 C7 № 521255

Пусть Sn — сумма п пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии (). Из­вест­но, что

а) Ука­жи­те фор­му­лу n‐го члена этой про­грес­сии.

б) Най­ди­те наи­мень­шую по мо­ду­лю сумму .

в) Най­ди­те наи­мень­шее n, при ко­то­ром будет квад­ра­том це­ло­го числа.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 194.

138
Задания Д16 C7 № 521262

Мно­же­ство А со­сто­ит из всех про­стых чисел, не пре­вос­хо­дя­щих 50, взя­тых по од­но­му разу.

а) Можно ли эле­мен­ты мно­же­ства А раз­бить на пять групп, в каж­дой из ко­то­рых сумма чисел будет чис­лом чётным?

б) Можно ли эле­мен­ты мно­же­ства А раз­бить на пять групп, в каж­дой из ко­то­рых сумма чисел будет чис­лом нечётным?

в) На какое наи­боль­шее число групп можно раз­бить эле­мен­ты мно­же­ства А так, чтобы сумма чисел во всех груп­пах была оди­на­ко­ва?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 195.

139
Задания Д16 C7 № 521269

Ва­си­лий Ку­зя­кин воз­вра­щал­ся из са­на­то­рия домой на по­ез­де. На пер­ро­не одной из ж/д стан­ций про­да­ва­ли варёных раков: боль­ших — по 200 руб­лей за штуку, сред­них — по 150 руб­лей за штуку и ма­лень­ких — по 100 руб­лей за штуку. Ва­си­лий решил по­тра­тить на по­куп­ку раков по­след­ние пять тысяч руб­лей. Для себя он опре­де­лил, что не­пре­мен­но купит и боль­ших, и сред­них, и ма­лень­ких, причём их ко­ли­че­ства не будут от­ли­чать­ся более, чем на 2.

а) Смо­жет ли Ва­си­лий при таких усло­ви­ях ку­пить раков ровно на 5000 руб­лей?

б) Смо­жет ли Ва­си­лий при таких усло­ви­ях ку­пить 14 боль­ших раков?

в) Какое наи­боль­шее число раков смо­жет ку­пить Ва­си­лий при таких усло­ви­ях?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 196.

140
Задания Д16 C7 № 521278

а) Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

б) До­ка­жи­те, что

в) Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 197.

141
Задания Д16 C7 № 521337

а) Пусть про­из­ве­де­ние вось­ми раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел равно А, а про­из­ве­де­ние этих же чисел, уве­ли­чен­ных на 1, равно В. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние .

б) Пусть про­из­ве­де­ние вось­ми на­ту­раль­ных чисел (не обя­за­тель­но раз­лич­ных) равно А, а про­из­ве­де­ние этих же чисел, уве­ли­чен­ных на 1, равно В. Может ли зна­че­ние вы­ра­же­ния рав­нять­ся 210?

в) Пусть про­из­ве­де­ние вось­ми на­ту­раль­ных чисел (не обя­за­тель­но раз­лич­ных) равно А, а про­из­ве­де­ние этих же чисел, уве­ли­чен­ных на 1, равно В. Может ли зна­че­ние вы­ра­же­ния рав­нять­ся 63?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 201.

142
Задания Д16 C7 № 521350

На доске за­пи­са­ны 20 чисел: пять еди­ниц, пять двоек, пять троек и пять чет­ве­рок. Эти числа раз­би­ва­ют на две груп­пы (в каж­дой груп­пе не менее од­но­го числа). Пусть сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел в пер­вой груп­пе равно А, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел во вто­рой груп­пе равно В.

а) Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех 20 чисел ока­зать­ся рав­ным ?

б) Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех 20 чисел ока­зать­ся мень­ше, чем ?

в) Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние вы­ра­же­ния .

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 202.

143
Задания Д16 C7 № 521387

Дано дву­знач­ное на­ту­раль­ное число.

а) Ока­за­лось, что част­ное этого числа и суммы его цифр, равно 7. Най­ди­те все такие числа.

б) Какие на­ту­раль­ные зна­че­ния может при­ни­мать част­ное дан­но­го числа и суммы его цифр?

в) Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать част­ное дан­но­го числа и суммы его цифр?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 204.

144
Задания Д16 C7 № 521430

На­ту­раль­ные числа от 1 до 12 раз­би­ва­ют на че­ты­ре груп­пы, в каж­дой из ко­то­рых есть по край­ней мере два числа. Для каж­дой груп­пы на­хо­дят сумму чисел этой груп­пы. Для каж­дой пары групп на­хо­дят мо­дуль раз­но­сти по­лу­чен­ных сумм и по­лу­чен­ные 6 чисел скла­ды­ва­ют.

а) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 0?

б) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 1?

в) Какое наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние по­лу­чен­но­го ре­зуль­та­та?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 209.

145
Задания Д16 C7 № 521477

Пусть S(N) — сумма цифр на­ту­раль­но­го числа N.

а) Может ли N + S(N) рав­нять­ся 96?

б) Может ли N + S(N) рав­нять­ся 97?

в) Най­ди­те все N, для ко­то­рых N + S(N) = 2017.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 213.

146
Задания Д16 C7 № 521562

а) Могут ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ства

где a1, a2, a3, a4 — целые числа?

б) Могут ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ства

где a1, a2,..., a6, a7 — целые числа?

в) При каком наи­мень­шем но­ме­ре могут вы­пол­нять­ся ра­вен­ства

где a1, a2,..., an — целые числа?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 220.

147
Задания Д16 C7 № 521569

На­зо­вем на­ту­раль­ное число па­лин­дро­мом, если в его де­ся­тич­ной за­пи­си все цифры рас­по­ло­же­ны сим­мет­рич­но (сов­па­да­ет пер­вая и по­след­няя цифры, вто­рая и пред­по­след­няя, и т.д. На­при­мер, числа 121 и 123321 яв­ля­ют­ся па­лин­дро­ма­ми.

а) При­ве­ди­те при­мер числа‐па­лин­дро­ма, ко­то­рое де­лит­ся на 15

б) Сколь­ко су­ще­ству­ет пя­ти­знач­ных чисел‐па­лин­дро­мов, де­ля­щих­ся на 15?

в) Най­ди­те 37‐е по ве­ли­чи­не число‐па­лин­дром, ко­то­рое де­лит­ся 15.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 221.

148
Задания Д16 C7 № 521663

По кругу по­са­же­ны 19 ку­стов лан­ды­шей.

а) До­ка­жи­те, что обя­за­тель­но най­дут­ся два со­сед­них куста, общее ко­ли­че­ство ко­ло­коль­чи­ков на ко­то­рых чётно.

б) Все­гда ли можно найти два со­сед­них куста, общее ко­ли­че­ство ко­ло­коль­чи­ков на ко­то­рых крат­но 3?