Дано иррациональное число a, такое что 
По нему определяется новое число 
как меньшее из двух чисел 
и 
По этому числу аналогично определяется 
и так далее.
а) Докажите, что для некоторого n выполнено неравенство 
б) Может ли случиться, что 
при всех натуральных 
а) Если б) Для построения примера будем использовать двоичную запись числа. Иррациональные числа, как и в случае десятичной записи, представляются бесконечными непериодическими дробями. Рассмотрим иррациональное число Действительно 
то 
Если 
то каждый шаг удваивает отклонение от 
(где 
), 
Если это число всё ещё больше 1/4, повторим процедуру, что возможно, так как нужное условие 
опять выполняется. Если 
то уже 
Если 
будем увеличивать отклонение от 1/5: 
(где 
), 
Если это число всё ещё больше 3/16, повторим процедуру, что возможно, так как опять выполняется условие 3/16
Оно устроено так: после запятой идет группа (0011), потом группа 00101101, потом два раза группа (0011), потом снова 00101101, потом три раза группа (0011) и т. д. Покажем, что число a дает необходимый пример.
для всех натуральных 