СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505627

Рас­смат­ри­ва­ют­ся трой­ки целых чисел a, b и c, для ко­то­рых вы­пол­не­но усло­вие: a + b + c = 0. Для каж­дой такой трой­ки вы­чис­ля­ет­ся число d = a1999 + b1999 + c1999.

а) Может ли слу­чить­ся, что d = 2?

б) может ли слу­чить­ся, что d — про­стое число?

Ре­ше­ние.

Решим сразу пункт б). По­ка­жем, что все не­чет­ные сте­пе­ни про­из­воль­но­го це­ло­го числа имеют оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 6. Пусть a - целое число, а и — две его про­из­воль­ные со­сед­ние не­чет­ные сте­пе­ни.

Тогда де­лит­ся на 6, по­то­му что одно число из трой­ки по­сле­до­ва­тель­ных чисел де­лит­ся на 3 и хотя бы одно число из этой трой­ки де­лит­ся на 2. То есть, со­сед­ние не­чет­ные сте­пе­ни числа a имеют оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 6, но тогда и любые не­чет­ные сте­пе­ни числа a имеют оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 6. Сле­до­ва­тель­но, де­лит­ся на 6, то есть не может быть ни­ка­ким про­стым чис­лом, в том числе и двой­кой.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 46.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства