Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505627

Рассматриваются тройки целых чисел a, b и c, для которых выполнено условие: a + b + c = 0. Для каждой такой тройки вычисляется число d = a1999 + b1999 + c1999.

а) Может ли случиться, что d = 2?

б) может ли случиться, что d — простое число?

Решение.

Решим сразу пункт б). Покажем, что все нечетные степени произвольного целого числа имеют одинаковые остатки от деления на 6. Пусть a - целое число, а a в степени 2k минус 1 и a в степени 2k плюс 1 — две его произвольные соседние нечетные степени.

Тогда a в степени 2k минус 1 минус a в степени 2k плюс 1 =a в степени 2k минус 1 (a минус 1)(a плюс 1) делится на 6, потому что одно число из тройки последовательных чисел a минус 1, a, a плюс 1 делится на 3 и хотя бы одно число из этой тройки делится на 2. То есть, соседние нечетные степени числа a имеют одинаковые остатки от деления на 6, но тогда и любые нечетные степени числа a имеют одинаковые остатки от деления на 6. Следовательно, d=d минус (a плюс b плюс c)=(a в степени 1999 минус a) плюс (b в степени 1999 минус b) плюс (c в степени 1999 минус c) делится на 6, то есть не может быть никаким простым числом, в том числе и двойкой.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 46.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства