математика
Информатика
Русский язык
Английский язык
Немецкий язык
Французcкий язык
Испанский язык
Физика
Химия
Биология
География
Обществознание
Литература
История
сайты - меню - вход - новости




Каталог заданий.
Сюжетные задачи
Сортировка:
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д16 C7 № 505591

В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, т. е. прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик A прыгает через кузнечика B, то после прыжка он оказывается от B на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 40.

2
Задания Д16 C7 № 505645

В ботаническом справочнике каждое растение характеризуется 100 признаками (каждый признак либо присутствует, либо отсутствует). Растения считаются "непохожими", если они различаются не менее, чем по 51 признаку.

а) Покажите, что в справочнике не может находиться больше 50 попарно непохожих растений.

б) А может ли быть 50?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 48.

3
Задания Д16 C7 № 505657

школьников хотят разделить поровну одинаковых шоколадок, при этом

каждую шоколадку можно разломить не более одного раза.

а) При каких это возможно, если

б) При каких и это возможно?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 50.

4
Задания Д16 C7 № 505699

Даны N синих и N красных палочек, причем сумма длин синих палочек равна сумме длин красных. Известно, что из синих палочек можно сложить N‐угольник, и из красных — тоже. Всегда ли можно выбрать одну синюю и одну красную палочки и перекрасить их (синюю — в красный цвет, а красную — в синий) так, что снова из синих палочек можно будет сложить N‐угольник, и из красных — тоже?

Решите задачу

а) для N = 3;

б) для произвольного натурального N > 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 57.

5
Задания Д16 C7 № 505729

а) Скупой рыцарь хранит золотые монеты в шести сундуках. Однажды, пересчитывая их, он заметил, что если открыть любые два сундука, то можно разложить лежащие в них монеты поровну в эти два сундука. Еще он заметил, что если открыть любые 3, 4 или 5 сундуков, то тоже можно переложить лежащие в них монеты таким образом, что во всех открытых сундуках станет поровну монет. Тут ему почудился стук в дверь, и старый скряга так и не узнал, можно ли разложить все монеты поровну по всем шести сундукам. Можно ли, не заглядывая в заветные сундуки, дать точный ответ на этот вопрос?

б) А если сундуков было восемь, а cкупой рыцарь мог разложить поровну монеты, лежащие в любых 2, 3, 4, 5, 6 или 7 сундуках?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 62.

6
Задания Д16 C7 № 505747

За круглым столом сидят 4 гнома. Перед каждым стоит кружка с молоком. Один из гномов переливает ¼ своего молока соседу справа. Затем сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и наконец четвёртый гном ¼ оказавшегося у него молока наливает первому. Во всех кружках вместе молока 2 л.

Сколько молока было первоначально в кружках, если

а) в конце у всех гномов молока оказалось поровну?

б) в конце у всех гномов оказалось молока столько, сколько было в начале?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 65.

7
Задания Д16 C7 № 505753

Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов.

а) Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?

б) Какое наименьшее число операций для этого потребуется?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 66.

8
Задания Д16 C7 № 505765

Имеется семь стаканов с водой: первый стакан заполнен водой наполовину, второй — на треть, третий — на четверть, четвертый — на одну пятую, пятый — на одну восьмую, шестой — на одну девятую, и седьмой — на одну десятую. Разрешается переливать всю воду из одного стакана в другой или переливать воду из одного стакана в другой до тех пор, пока он не заполнится доверху. Может ли после нескольких переливаний какой‐нибудь стакан оказаться заполненным

а) на одну двенадцатую;

б) на одну шестую?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 68.

9
Задания Д16 C7 № 505777

Компьютер может производить одну операцию: брать среднее арифметическое двух целых чисел. Даны три числа: m, n и 0, причем m и n не имеют общих делителей и m < n Докажите, что с помощью компьютера из них можно получить

а) единицу;

б) любое целое число от 1 до n.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 70.

10
Задания Д16 C7 № 505801

В Мексике экологи добились принятия закона, по которому каждый автомобиль хотя бы один день в неделю не должен ездить (владелец сообщает полиции номер автомобиля и «выходной» день недели этого автомобиля). В некоторой семье все взрослые желают ездить ежедневно (каждый — по своим делам!). Сколько автомобилей (как минимум) должно быть в семье, если взрослых в ней

а) 5 человек?

б) 8 человек?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 74.

11
Задания Д16 C7 № 505831

Два шахматиста играют между собой в шахматы с часами (сделав ход, шахматист останавливает свои часы и пускает часы другого). Известно, что после того, как оба сделали по 40 ходов, часы обоих шахматистов показывали одно и то же время: 2 часа 30 мин.

а) Докажите, что в ходе партии был момент, когда часы одного обгоняли часы другого не менее, чем на 1 мин. 51 сек.

б) Можно ли утверждать, что в некоторый момент разница показаний часов была равна 2 мин.?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 79.

12
Задания Д16 C7 № 505893

Лужков и Батурина поворачивают с Рублевки на МКАД в разные стороны — Лужков — налево, Батурина — направо. За сколько минут каждый из них проезжает полный круг по МКАД, если известно, что Лужков тратит на 12 минут меньше Батуриной, при этом проезжая круг не быстрее 31 минуты. Время проезда одного круга измеряется целым числом минут и их седьмая встреча произошла снова на Рублёвке.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 8.

13
Задания Д16 C7 № 505899

Инспектор ДПС майор Худаков получил указание начальства останавливать те автомобили, трехзначный госномер которых n удовлетворяет следующим требованиям: если выписать все целые числа от 1 до n и посчитать количество записанных цифр, то получится число, записанное теми же цифрами, что и n, но в обратном порядке. Сначала майор попробовал выполнять требуемые вычисления для каждого автомобиля в режиме реального времени мелом на асфальте, но мел скоро закончился. Помогите майору определить номера нужных автомобилей.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 9.

14
Задания Д16 C7 № 505905

Губернатор Титькин решил организовать автобусное движение между деревнями Верхнее и Нижнее Гадюкино. Автобусы‐экспрессы будут следовать из Нижнего Гадюкино в Верхнее без остановок круглосуточно с интервалом ровно 7 минут, останавливаться в конечном пункте на какое‐то время и отправляться обратно, тратя на дорогу в одну сторону ровно 25 минут. При этом на конечных остановках не должно находиться более одного автобуса одновременно. Сколько автобусов потребуется купить губернатору?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 10.

15
Задания Д16 C7 № 505935

В школьной олимпиаде по математике участвовало 100 человек, по физике — 50 человек, по информатике — 48 человек. Когда каждого из учеников спросили, в скольких олимпиадах он участвовал, ответ «по крайней мере в двух» дали в два раза меньше человек, чем ответ «не менее, чем в одной», а ответ «в трех» — втрое меньше человек, чем ответ «не менее, чем в одной». Сколько всего учеников приняло участие в этих олимпиадах?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 15.

16
Задания Д16 C7 № 505947

а) На постоялом дворе остановился путешественник, и хозяин согласился в качестве уплаты за проживание брать кольца золотой цепочки, которую тот носил на руке. Но при этом он поставил условие, чтобы оплата была ежедневной: каждый день хозяин должен был иметь на одно кольцо больше, чем в предыдущий. Замкнутая в кольцо цепочка содержала 11 колец, а путешественник собирался прожить ровно 11 дней, поэтому он согласился. Какое наименьшее число колец он должен распилить, чтобы иметь возможность платить хозяину?

б) Из скольких колец должна состоять цепочка, чтобы путешественник мог прожить на постоялом дворе наибольшее число дней при условии, что он может распилить только n колец?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 17.

17
Задания Д16 C7 № 505953

Требуется сделать набор гирек, каждая из которых весит целое число граммов, с помощью которых можно взвесить любой целый вес от 1 грамма до 55 граммов включительно даже в том случае, если некоторые гирьки потеряны (гирьки кладутся на одну чашку весов, измеряемый вес — на другую).

а) необходимо подобрать 10 гирек, из которых может быть потеряна любая одна;

б) необходимо подобрать 12 гирек, из которых могут быть потеряны любые две. (В обоих случаях докажите, что найденный Вами набор гирек обладает требуемыми свойствами.)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 18.

18
Задания Д16 C7 № 505983

Автобусные билеты имеют номера от 000000 до 999999. Билет называется счастливым, если сумма первых трех цифр его номера равна сумме последних трех его цифр. Докажите, что:

а) число всех счастливых билетов четно;

б) сумма номеров всех счастливых билетов делится на 999.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 23.

19
Задания Д16 C7 № 505989

Скажем, что колода из 52 карт сложена правильно, если любая пара лежащих рядом карт совпадает по масти или по достоинству, то же верно для верхней и нижней карты, и наверху лежит туз пик. Докажите, что число способов сложить колоду правильно

а) делится на 12!;

б) делится на 13!.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 24.

20
Задания Д16 C7 № 506037

Банкомат обменивает монеты: дублоны на пистоли и наоборот. Пистоль стоит s дублонов, а дублон — 1/s пистолей, где s — не обязательно целое. В банкомат можно вбросить любое число монет одного вида, после чего он выдает в обмен монеты другого вида, округляя результат до ближайшего целого числа (если ближайших чисел два, выбирается большее).

а) Может ли так быть, что обменяв сколько-то дублонов на пистоли, а затем обменяв полученные пистоли на дублоны, мы получим больше дублонов, чем было в начале?

б) Если да, то может ли случится, что полученное число дублонов еще увеличится, если проделать с ними такую же операцию?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 32.

21
Задания Д16 C7 № 506043

Геологи взяли в экспедицию 80 банок консервов, веса которых все известны и различны (имеется список). Через некоторое время надписи на банках стали нечитаемыми, и только завхоз знает где что. Он может все это доказать (т. е. обосновать, что в какой банке находится), не вскрывая консервов и пользуясь только сохранившимся списком и двухчашечными весами со стрелкой, показывающей разницу весов на чашках. Докажите, что ему для этой цели

а) достаточно четырех взвешиваний;

б) недостаточно трех взвешиваний.

Комментарий. Отметим еще раз, что завхоз должен обосновать, что в какой банке находится для всех 80 банок.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 33.

22
Задания Д16 C7 № 506049

Среди любых десяти из шестидесяти школьников найдется три одноклассника. Обязательно ли среди всех шестидесяти школьников найдется

а) 15 одноклассников;

б) 16 одноклассников?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 34.

23
Задания Д16 C7 № 506055

Тридцать три богатыря нанялись охранять Лукоморье за 240 монет. Хитрый дядька Черномор может разделить богатырей на отряды произвольной численности (или записать всех в один отряд), а затем распределить все жалование между отрядами. Каждый отряд делит свои монеты поровну, а остаток отдает Черномору. Какое наибольшее количество монет может достаться Черномору, если:

а) жалование между отрядами Черномор распределяет как ему угодно;

б) жалование между отрядами Черномор распределяет поровну?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 35.

Пройти тестирование по этим заданиям