Вве­дем си­сте­му ко­ор­ди­нат, в ко­то­рой три вер­ши­ны квад­ра­та имеют ко­ор­ди­на­ты (0, 0), (1, 0), (0, 1). Тогда, оче­вид­но, чет­вер­тая вер­ши­на имеет ко­ор­ди­на­ты (1, 1).

Пусть куз­не­чик на­хо­дит­ся в точке (a, b) и пры­га­ет через куз­не­чи­ка, на­хо­дя­ще­го­ся в (c, d).

Тогда его ко­ор­ди­на­ты ста­нут равны (2c − a, 2d − b). Таким об­ра­зом, пер­вая ко­ор­ди­на­та из­ме­ня­ет­ся на чет­ное число 2(с − a), а вто­рая ко­ор­ди­на­та из­ме­ня­ет­ся на чет­ное число 2(d − b).

Зна­чит чет­но­сти ко­ор­ди­нат куз­не­чи­ков не ме­ня­ют­ся. По­это­му чтобы по­пасть в точку (1; 1), не­об­хо­ди­мо на­хо­дить­ся в точке, обе ко­ор­ди­на­ты ко­то­рой не­чет­ны. Таким точек, среди пер­вых трех вер­шин квад­ра­та нет. По­это­му по­пасть в чет­вер­тую вер­ши­ну квад­ра­та никто из куз­не­чи­ков не может.

а)   Пусть не­по­хо­жих рас­те­ний 51 и k из них имеют дан­ный при­знак, а   — не имеют. Число не­сов­па­да­ю­щих по этому при­зна­ку пар равно В сумме по­лу­ча­ем менее не­сов­па­де­ний. Но по усло­вию их долж­но быть боль­ше, чем Про­ти­во­ре­чие.

б)  Пусть в спра­воч­ни­ке есть m видов по­пар­но не­по­хо­жих рас­те­ний. До­ба­вим к опи­са­нию еще один при­знак: чётность числа име­ю­щих­ся у дан­но­го рас­те­ния при­зна­ков. По­лу­чим спра­воч­ник, где для опи­са­ния рас­те­ния ис­поль­зу­ет­ся уже 101 при­знак, при­чем любые опи­са­ния раз­ли­ча­ют­ся по край­ней мере по 52 при­зна­кам (если ис­ход­ные опи­са­ния раз­ли­ча­лись ровно по 51 при­зна­ку, то чётно­сти числа име­ю­щих­ся при­зна­ков у них раз­лич­ны). Дей­ствуя так же, как в пунк­те а), по­лу­ча­ем, что общее число раз­ли­чий не мень­ше но не боль­ше Из не­ра­вен­ства сле­ду­ет, что Итак, в новом, а зна­чит, и в ис­ход­ном спра­воч­ни­ке опи­са­но не более 34 по­пар­но не­по­хо­жих рас­те­ний.

Решим сразу пункт б).

Рас­по­ло­жим m шо­ко­ла­док одну за дру­гой в одну линию и раз­ре­жем по­лу­чив­шу­ю­ся шо­ко­лад­ную по­ло­су рав­но­мер­но на n рав­ных ча­стей. Будем счи­тать, что длина шо­ко­лад­ки равна Каж­дый школь­ник дол­жен по­лу­чить пор­цию длины Если то длина пор­ции будет не мень­ше Сле­до­ва­тель­но, по каж­дой шо­ко­лад­ке пройдёт не более од­но­го раз­ре­за.

Пусть где d  — де­ли­тель В этом слу­чае длина пор­ции равна При опи­сан­ном спо­со­бе раз­де­ла каж­дая шо­ко­лад­ка де­лит­ся на части длины, крат­ной d, зна­чит, рас­сто­я­ние от линии раз­ре­за до края шо­ко­лад­ки не мень­ше Два раз­ре­за, про­хо­дя­щие по одной шо­ко­лад­ке, вы­ре­за­ли бы из неё часть, не боль­шую что мень­ше пор­ции. Зна­чит, каж­дая шо­ко­лад­ка ока­жет­ся раз­ре­зан­ной не более од­но­го раза.

До­ка­жем, что дру­гих пар нет. Пусть и уда­лось раз­де­лить шо­ко­лад­ки с со­блю­де­ни­ем усло­вий. До­ка­жем, что длины всех ку­соч­ков, а сле­до­ва­тель­но, и m крат­ны Пусть это не так. Рас­смот­рим кусок наи­мень­шей длины r, не крат­ной Тогда есть кусок длины Тот, кто его по­лу­чил, также по­лу­чил кусок длины, не боль­шей не крат­ный Про­ти­во­ре­чие. Зна­чит, m крат­но Те­перь ясно, какой ответ в пунк­тах а) и б).

а)  при n  =  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18.

б)  при или при

а)  Пусть длины синих па­ло­чек 12, 17, 20, а крас­ных  — 2, 23, 24. По­сколь­ку един­ствен­ная пара с раз­но­стью, мень­шей 2,  — это (23, 24), а после пе­ре­кра­ши­ва­ния па­лоч­ка 2 по­па­дет в дру­гую по со­ста­ву трой­ку, то в ней раз­ность наи­боль­ших сто­рон будет боль­ше 2, и тре­уголь­ник сло­жить будет нель­зя.

б)  Пусть k  =  N − 2. Со­ста­вим набор из двух синих па­ло­чек длины 12k + 5 и 24k − 4 и k па­ло­чек длины 12; двух «длин­ных» крас­ных па­ло­чек длины 24k – 1 и 24k и k па­ло­чек длины 2/k. Если пе­ре­кра­ше­на одна из двух «длин­ных» крас­ных па­ло­чек, то раз­ность между длин­ны­ми крас­ны­ми па­лоч­ка­ми после пе­ре­кра­ши­ва­ния боль­ше 2, и па­лоч­ка­ми длины 2/k её не по­крыть. Пусть синей стала па­лоч­ка длины 2/k. Если па­лоч­ка длины 24k − 4 оста­лась синей, то сумма осталь­ных синих не пре­вос­хо­дит 2/k + 12(k − 1)−+ 12k + 5 < 24k − 4. Если па­лоч­ка длины 24k − 4 стала крас­ной, то наи­боль­шей синей стала па­лоч­ка длины 12k + 5, но сумма осталь­ных синих 12k +2/k < 12k + 5. В обоих слу­ча­ях синий мно­го­уголь­ник не скла­ды­ва­ет­ся.

Ответ: а) не все­гда б) не все­гда.

а)   Для на­ча­ла за­ме­тим, что число монет во всех сун­ду­ках имеет оди­на­ко­вую чётность. Ведь по­де­лить по­ров­ну со­дер­жи­мое двух сун­ду­ков с раз­ной чётно­стью монет нель­зя.

Затем об­ра­тим вни­ма­ние на то, что общее ко­ли­че­ство монет в пер­вых трёх сун­ду­ках крат­но трём. Если за­ме­нить сун­дук 3 на сун­дук 4, то де­ли­мость на 3 не на­ру­шит­ся. Это озна­ча­ет, что число монет в четвёртом сун­ду­ке даёт тот же оста­ток при де­ле­нии на 3, что и в тре­тьем. Таким же об­ра­зом про любые два сун­ду­ка можно до­ка­зать, что число монет в одном даёт тот же оста­ток при де­ле­нии на 3, что и в дру­гом. По­это­му остат­ки от де­ле­ния всех этих чисел на 3 оди­на­ко­вы.

Если числа дают оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии как на 2, так и на 3, то их раз­ность де­лит­ся на 2 и на 3, то есть де­лит­ся и на 6. Это озна­ча­ет, что у любых двух (а зна­чит, и у всех шести) чисел остат­ки при де­ле­нии на 6 равны между собой. Сумма шести таких чисел будет крат­на 6. По­это­му все мо­не­ты можно раз­ло­жить по­ров­ну по всем сун­ду­кам.

б)  Рас­суж­дая так же, как в пунк­те а), можно до­ка­зать, что все во­семь чисел, со­от­вет­ству­ю­щие ко­ли­че­ствам монет в сун­ду­ках, дают оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Зна­чит, эти числа дают оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 420 (420  — это наи­мень­шее общее крат­ное чисел 2, 3, 4, 5, 6 и 7). Но по­сколь­ку 420 не крат­но 8, эти числа могут иметь раз­лич­ные остат­ки при де­ле­нии на 8, что по­ме­ша­ет по­ров­ну раз­ло­жить мо­не­ты по вось­ми сун­ду­кам.

На­при­мер, в пер­вом сун­ду­ке могла быть 421 мо­не­та, а в осталь­ных семи - по одной. Тогда в двух сун­ду­ках в сумме либо 2, либо 422 мо­не­ты, оба числа чётные. В трёх сун­ду­ках в сумме либо 3, либо 423 мо­не­ты, каж­дое из этих чисел де­лит­ся на 3 и т. д. В семи сун­ду­ках в сумме 7 или 427 монет. Оба числа де­лят­ся на 7. Од­на­ко общее число монет 428 на 8 не де­лит­ся. То есть в этом слу­чае в во­семь сун­ду­ков раз­ло­жить мо­не­ты по­ров­ну не по­лу­чит­ся.

С дру­гой сто­ро­ны, во всех сун­ду­ках из­на­чаль­но могло хра­нить­ся, на­при­мер, по­ров­ну монет. По­это­му точно от­ве­тить на во­прос, не зная, что лежит в сун­ду­ках, нель­зя.

Ответ: а) можно; б) нель­зя.