СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Каталог заданий.
Сюжетные задачи

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д16 C7 № 505591

В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, т. е. прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик A прыгает через кузнечика B, то после прыжка он оказывается от B на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 40.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

2
Задания Д16 C7 № 505645

В ботаническом справочнике каждое растение характеризуется 100 признаками (каждый признак либо присутствует, либо отсутствует). Растения считаются "непохожими", если они различаются не менее, чем по 51 признаку.

а) Покажите, что в справочнике не может находиться больше 50 попарно непохожих растений.

б) А может ли быть 50?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 48.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

3
Задания Д16 C7 № 505657

школьников хотят разделить поровну одинаковых шоколадок, при этом

каждую шоколадку можно разломить не более одного раза.

а) При каких это возможно, если

б) При каких и это возможно?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 50.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

4
Задания Д16 C7 № 505699

Даны N синих и N крас­ных па­ло­чек, при­чем сумма длин синих па­ло­чек равна сумме длин крас­ных. Из­вест­но, что из синих па­ло­чек можно сло­жить N‐уголь­ник, и из крас­ных — тоже. Все­гда ли можно вы­брать одну синюю и одну крас­ную па­лоч­ки и пе­ре­кра­сить их (синюю — в крас­ный цвет, а крас­ную — в синий) так, что снова из синих па­ло­чек можно будет сло­жить N‐уголь­ник, и из крас­ных — тоже?

Ре­ши­те за­да­чу

а) для N = 3;

б) для про­из­воль­но­го на­ту­раль­но­го N > 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 57.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

5
Задания Д16 C7 № 505729

а) Ску­пой ры­царь хра­нит зо­ло­тые мо­не­ты в шести сун­ду­ках. Од­на­ж­ды, пе­ре­счи­ты­вая их, он за­ме­тил, что если от­крыть любые два сун­ду­ка, то можно раз­ло­жить ле­жа­щие в них мо­не­ты по­ров­ну в эти два сун­ду­ка. Еще он за­ме­тил, что если от­крыть любые 3, 4 или 5 сун­ду­ков, то тоже можно пе­ре­ло­жить ле­жа­щие в них мо­не­ты таким об­ра­зом, что во всех от­кры­тых сун­ду­ках ста­нет по­ров­ну монет. Тут ему по­чу­дил­ся стук в дверь, и ста­рый скря­га так и не узнал, можно ли раз­ло­жить все мо­не­ты по­ров­ну по всем шести сун­ду­кам. Можно ли, не за­гля­ды­вая в за­вет­ные сун­ду­ки, дать точ­ный ответ на этот во­прос?

б) А если сун­ду­ков было во­семь, а cкупой ры­царь мог раз­ло­жить по­ров­ну мо­не­ты, ле­жа­щие в любых 2, 3, 4, 5, 6 или 7 сун­ду­ках?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 62.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

6
Задания Д16 C7 № 505747

За круг­лым сто­лом сидят 4 гнома. Перед каж­дым стоит круж­ка с мо­ло­ком. Один из гно­мов пе­ре­ли­ва­ет ¼ сво­е­го мо­ло­ка со­се­ду спра­ва. Затем сосед спра­ва де­ла­ет то же самое. Затем то же самое де­ла­ет сле­ду­ю­щий сосед спра­ва и на­ко­нец четвёртый гном ¼ ока­зав­ше­го­ся у него мо­ло­ка на­ли­ва­ет пер­во­му. Во всех круж­ках вме­сте мо­ло­ка 2 л.

Сколь­ко мо­ло­ка было пер­во­на­чаль­но в круж­ках, если

а) в конце у всех гно­мов мо­ло­ка ока­за­лось по­ров­ну?

б) в конце у всех гно­мов ока­за­лось мо­ло­ка столь­ко, сколь­ко было в на­ча­ле?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 65.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

7
Задания Д16 C7 № 505753

Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов.

а) Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?

б) Какое наименьшее число операций для этого потребуется?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 66.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

8
Задания Д16 C7 № 505765

Имеется семь стаканов с водой: первый стакан заполнен водой наполовину, второй — на треть, третий — на четверть, четвертый — на одну пятую, пятый — на одну восьмую, шестой — на одну девятую, и седьмой — на одну десятую. Разрешается переливать всю воду из одного стакана в другой или переливать воду из одного стакана в другой до тех пор, пока он не заполнится доверху. Может ли после нескольких переливаний какой‐нибудь стакан оказаться заполненным

а) на одну двенадцатую;

б) на одну шестую?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 68.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

9
Задания Д16 C7 № 505777

Ком­пью­тер может про­из­во­дить одну опе­ра­цию: брать сред­нее ариф­ме­ти­че­ское двух целых чисел. Даны три числа: m, n и 0, при­чем m и n не имеют общих де­ли­те­лей и m < n До­ка­жи­те, что с по­мо­щью ком­пью­те­ра из них можно по­лу­чить

а) еди­ни­цу;

б) любое целое число от 1 до n.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 70.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

10
Задания Д16 C7 № 505801

В Мексике экологи добились принятия закона, по которому каждый автомобиль хотя бы один день в неделю не должен ездить (владелец сообщает полиции номер автомобиля и «выходной» день недели этого автомобиля). В некоторой семье все взрослые желают ездить ежедневно (каждый — по своим делам!). Сколько автомобилей (как минимум) должно быть в семье, если взрослых в ней

а) 5 человек?

б) 8 человек?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 74.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

11
Задания Д16 C7 № 505831

Два шахматиста играют между собой в шахматы с часами (сделав ход, шахматист останавливает свои часы и пускает часы другого). Известно, что после того, как оба сделали по 40 ходов, часы обоих шахматистов показывали одно и то же время: 2 часа 30 мин.

а) Докажите, что в ходе партии был момент, когда часы одного обгоняли часы другого не менее, чем на 1 мин. 51 сек.

б) Можно ли утверждать, что в некоторый момент разница показаний часов была равна 2 мин.?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 79.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

12
Задания Д16 C7 № 505893

Лужков и Батурина поворачивают с Рублевки на МКАД в разные стороны — Лужков — налево, Батурина — направо. За сколько минут каждый из них проезжает полный круг по МКАД, если известно, что Лужков тратит на 12 минут меньше Батуриной, при этом проезжая круг не быстрее 31 минуты. Время проезда одного круга измеряется целым числом минут и их седьмая встреча произошла снова на Рублёвке.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 8.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

13
Задания Д16 C7 № 505899

Инспектор ДПС майор Худаков получил указание начальства останавливать те автомобили, трехзначный госномер которых n удовлетворяет следующим требованиям: если выписать все целые числа от 1 до n и посчитать количество записанных цифр, то получится число, записанное теми же цифрами, что и n, но в обратном порядке. Сначала майор попробовал выполнять требуемые вычисления для каждого автомобиля в режиме реального времени мелом на асфальте, но мел скоро закончился. Помогите майору определить номера нужных автомобилей.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 9.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

14
Задания Д16 C7 № 505905

Гу­бер­на­тор Тить­кин решил ор­га­ни­зо­вать ав­то­бус­ное дви­же­ние между де­рев­ня­ми Верх­нее и Ниж­нее Га­дю­ки­но. Ав­то­бу­сы‐экс­прес­сы будут сле­до­вать из Ниж­не­го Га­дю­ки­но в Верх­нее без оста­но­вок круг­ло­су­точ­но с ин­тер­ва­лом ровно 7 минут, оста­нав­ли­вать­ся в ко­неч­ном пунк­те на какое‐то время и от­прав­лять­ся об­рат­но, тратя на до­ро­гу в одну сто­ро­ну ровно 25 минут. При этом на ко­неч­ных оста­нов­ках не долж­но на­хо­дить­ся более од­но­го ав­то­бу­са од­но­вре­мен­но. Сколь­ко ав­то­бу­сов по­тре­бу­ет­ся ку­пить гу­бер­на­то­ру?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 10.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

15
Задания Д16 C7 № 505935

В школь­ной олим­пиа­де по ма­те­ма­ти­ке участ­во­ва­ло 100 че­ло­век, по фи­зи­ке — 50 че­ло­век, по ин­фор­ма­ти­ке — 48 че­ло­век. Когда каж­до­го из уче­ни­ков спро­си­ли, в сколь­ких олим­пи­а­дах он участ­во­вал, ответ «по край­ней мере в двух» дали в два раза мень­ше че­ло­век, чем ответ «не менее, чем в одной», а ответ «в трех» — втрое мень­ше че­ло­век, чем ответ «не менее, чем в одной». Сколь­ко всего уче­ни­ков при­ня­ло уча­стие в этих олим­пи­а­дах?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 15.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

16
Задания Д16 C7 № 505947

а) На по­сто­я­лом дворе оста­но­вил­ся пу­те­ше­ствен­ник, и хо­зя­ин со­гла­сил­ся в ка­че­стве упла­ты за про­жи­ва­ние брать коль­ца зо­ло­той це­поч­ки, ко­то­рую тот носил на руке. Но при этом он по­ста­вил усло­вие, чтобы опла­та была еже­днев­ной: каж­дый день хо­зя­ин дол­жен был иметь на одно коль­цо боль­ше, чем в преды­ду­щий. За­мкну­тая в коль­цо це­поч­ка со­дер­жа­ла 11 колец, а пу­те­ше­ствен­ник со­би­рал­ся про­жить ровно 11 дней, по­это­му он со­гла­сил­ся. Какое наи­мень­шее число колец он дол­жен рас­пи­лить, чтобы иметь воз­мож­ность пла­тить хо­зя­и­ну?

б) Из сколь­ких колец долж­на со­сто­ять це­поч­ка, чтобы пу­те­ше­ствен­ник мог про­жить на по­сто­я­лом дворе наи­боль­шее число дней при усло­вии, что он может рас­пи­лить толь­ко n колец?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 17.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

17
Задания Д16 C7 № 505953

Тре­бу­ет­ся сде­лать набор гирек, каж­дая из ко­то­рых весит целое число грам­мов, с по­мо­щью ко­то­рых можно взве­сить любой целый вес от 1 грам­ма до 55 грам­мов вклю­чи­тель­но даже в том слу­чае, если не­ко­то­рые гирь­ки по­те­ря­ны (гирь­ки кла­дут­ся на одну чашку весов, из­ме­ря­е­мый вес — на дру­гую).

а) не­об­хо­ди­мо по­до­брать 10 гирек, из ко­то­рых может быть по­те­ря­на любая одна;

б) не­об­хо­ди­мо по­до­брать 12 гирек, из ко­то­рых могут быть по­те­ря­ны любые две. (В обоих слу­ча­ях до­ка­жи­те, что най­ден­ный Вами набор гирек об­ла­да­ет тре­бу­е­мы­ми свой­ства­ми.)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 18.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

18
Задания Д16 C7 № 505983

Автобусные билеты имеют номера от 000000 до 999999. Билет называется счастливым, если сумма первых трех цифр его номера равна сумме последних трех его цифр. Докажите, что:

а) число всех счастливых билетов четно;

б) сумма номеров всех счастливых билетов делится на 999.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 23.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

19
Задания Д16 C7 № 505989

Ска­жем, что ко­ло­да из 52 карт сло­же­на пра­виль­но, если любая пара ле­жа­щих рядом карт сов­па­да­ет по масти или по до­сто­ин­ству, то же верно для верх­ней и ниж­ней карты, и на­вер­ху лежит туз пик. До­ка­жи­те, что число спо­со­бов сло­жить ко­ло­ду пра­виль­но

а) де­лит­ся на 12!;

б) де­лит­ся на 13!.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 24.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

20
Задания Д16 C7 № 506037

Банкомат обменивает монеты: дублоны на пистоли и наоборот. Пистоль стоит s дублонов, а дублон — 1/s пистолей, где s — не обязательно целое. В банкомат можно вбросить любое число монет одного вида, после чего он выдает в обмен монеты другого вида, округляя результат до ближайшего целого числа (если ближайших чисел два, выбирается большее).

а) Может ли так быть, что обменяв сколько-то дублонов на пистоли, а затем обменяв полученные пистоли на дублоны, мы получим больше дублонов, чем было в начале?

б) Если да, то может ли случится, что полученное число дублонов еще увеличится, если проделать с ними такую же операцию?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 32.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

21
Задания Д16 C7 № 506043

Гео­ло­ги взяли в экс­пе­ди­цию 80 банок кон­сер­вов, веса ко­то­рых все из­вест­ны и раз­лич­ны (име­ет­ся спи­сок). Через не­ко­то­рое время над­пи­си на бан­ках стали не­чи­та­е­мы­ми, и толь­ко зав­хоз знает где что. Он может все это до­ка­зать (т. е. обос­но­вать, что в какой банке на­хо­дит­ся), не вскры­вая кон­сер­вов и поль­зу­ясь толь­ко со­хра­нив­шим­ся спис­ком и двух­ча­шеч­ны­ми ве­са­ми со стрел­кой, по­ка­зы­ва­ю­щей раз­ни­цу весов на чаш­ках. До­ка­жи­те, что ему для этой цели

а) до­ста­точ­но че­ты­рех взве­ши­ва­ний;

б) не­до­ста­точ­но трех взве­ши­ва­ний.

Ком­мен­та­рий. От­ме­тим еще раз, что зав­хоз дол­жен обос­но­вать, что в какой банке на­хо­дит­ся для всех 80 банок.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 33.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

22
Задания Д16 C7 № 506049

Среди любых де­ся­ти из ше­сти­де­ся­ти школь­ни­ков най­дет­ся три од­но­класс­ни­ка. Обя­за­тель­но ли среди всех ше­сти­де­ся­ти школь­ни­ков най­дет­ся

а) 15 од­но­класс­ни­ков;

б) 16 од­но­класс­ни­ков?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 34.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

23
Задания Д16 C7 № 506055

Трид­цать три бо­га­ты­ря на­ня­лись охра­нять Лу­ко­мо­рье за 240 монет. Хит­рый дядь­ка Чер­но­мор может раз­де­лить бо­га­ты­рей на от­ря­ды про­из­воль­ной чис­лен­но­сти (или за­пи­сать всех в один отряд), а затем рас­пре­де­лить все жа­ло­ва­ние между от­ря­да­ми. Каж­дый отряд делит свои мо­не­ты по­ров­ну, а оста­ток от­да­ет Чер­но­мо­ру. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство монет может до­стать­ся Чер­но­мо­ру, если:

а) жа­ло­ва­ние между от­ря­да­ми Чер­но­мор рас­пре­де­ля­ет как ему угод­но;

б) жа­ло­ва­ние между от­ря­да­ми Чер­но­мор рас­пре­де­ля­ет по­ров­ну?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 35.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

24
Задания Д16 C7 № 521394

Четырехзначное число А содержит в своей десятичной записи попарно различные цифры, отличные от нуля. Число В записано теми же цифрами, но в обратном порядке. Известно, что А > B.

а) Найдите наибольшее значение выражения А − В.

б) Найдите наименьшее значение выражения А − В.

в) Найдите числа А и В, для которых значение выражения будет наименьшим.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 205.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

25
Задания Д16 C7 № 521484

В шахматном турнире участвовало 20 шахматистов, причём 6 из них — из России. Каждый шахматист сыграл по одной партии с каждым. За победу в партии шахматист получал 1 очко, за ничью — 0,5 очка, в случае проигрыша — 0 очков.

а) Могли ли все российские шахматисты набрать в сумме ровно 14 очков?

б) Могли ли все российские шахматисты набрать в сумме ровно 100 очков?

в) Известно, что первое место занял шахматист из России, а второе место — шахматист

из другой страны. Какое наибольшее суммарное количество очков могли набрать российские шахматисты?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 214.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

26
Задания Д16 C7 № 521491

Подковывая лошадь, кузнец тратит на одну подкову 5 минут.

а) Смогут ли два кузнеца за полчаса подковать трёх лошадей?

б) Смогут ли четыре кузнеца за 15 минут подковать трёх лошадей?

в) За какое наименьшее время 48 кузнецов смогут подковать 60 лошадей? (Известно, что лошадь не может стоять на двух ногах, поэтому два кузнеца не могут одновременно работать с одной лошадью).

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 215.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

27
Задания Д16 C7 № 521505

Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1 000 кг и 60 штук по 1 500 кг (раскалывать глыбы нельзя).

а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 217.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

28
Задания Д16 C7 № 521548

В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше чем 50, а вместе солдат меньше чем 120. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 7, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.

а) Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.

б) Можно ли построить роту указанным способом по 11 солдат в одном ряду?

в) Сколько в роте может быть солдат?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 218.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

29
Задания Д16 C7 № 521555

а) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более, чем в два раза. Докажите, что их можно разложить в пакеты по два яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более, чем в полтора раза.

б) Имеются 300 яблок, любые два из которых различаются по весу не более, чем в три раза. Докажите, что их можно разложить в пакеты по четыре яблока так, чтобы любые два пакета различались по весу не более, чем в полтора раза.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 219.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

30
Задания Д16 C7 № 521827

По результатам теста по математике ученик получает неотрицательное число баллов. Ученик войдет в группу А, если количество баллов не менее 45. Если количество баллов меньше 45, то ученик войдет в группу Б. Чтобы не расстраивать родителей, решили каждому ученику добавить 8 баллов, поэтому количество учеников группы А увеличилось.

а) Мог ли после этого понизиться средний балл учеников группы Б?

б) Мог ли после этого понизиться средний балл учеников группы Б, если при этом средний балл учеников группы А тоже понизился?

в) Пусть первоначально средний балл группы А был 52 балла, группы Б — 34 балла, а средний балл всех учеников составил 46 баллов. После добавления средний балл группы А стал равен 58 баллов, группы Б — 38. При каком наименьшем числе участников возможна такая ситуация?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 235.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

31
Задания Д16 C7 № 521834

Из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлена обыкновенная дробь А, числитель и знаменатель которой — пятизначные числа (каждая цифра использовалась ровно один раз).

а) Какое наибольшее значение может принимать А?

б) Может ли значение А оказаться целым числом?

в) Найдите такое А, чтобы значение |A − 1| было наименьшим.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 236.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

32
Задания Д16 C7 № 527183

У каждого учащегося в классе дома живет кошка или собака, а у некоторых, возможно, живет и кошка, собака. Известно, что мальчиков, имеющих собак, не более от общего числа учащихся, имеющих собак, а мальчиков, имеющих кошек, не более от общего числа учащихся, имеющих кошек.

а) Может ли в классе быть 11 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в классе 21 учащийся?

б) Какое наибольшее количество мальчиков может быть в классе, если дополнительно известно, что всего в классе 21 учащийся?

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся без дополнительного условия пунктов а и б?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 241.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

33
Задания Д16 C7 № 527399

В некотором царстве было несколько (более двух) княжеств. Однажды некоторые из этих княжеств объявили себя царствами и разделились каждое на то же самое число княжеств, которое было в самом начале. Затем всё новые и новые княжества из числа прежних и вновь образующихся объявляли себя царствами и делились каждое на то же самое число княжеств, которое было в самом начале.

а) Могло ли сразу после одного из делений общее число княжеств стать равным 102?

б) Могло ли в какой‐то момент времени общее число княжеств стать равным 320, если известно, что сразу после одного из делений общее число княжеств было равно 162?

в) Сколько княжеств было в самом начале, если сразу после какого‐то из делений общее число княжеств стало ровно в 38 раз больше первоначального?

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 256.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

34
Задания Д16 C7 № 527421

На вол­шеб­ной яб­ло­не вы­рос­ли 15 ба­на­нов и 20 апель­си­нов. Од­но­вре­мен­но раз­ре­ша­ет­ся сры­вать один или два плода. Если со­рвать один из пло­дов вы­рас­тет такой же, если со­рвать сразу два оди­на­ко­вых плода — вы­рас­тет апель­син, а если два раз­ных — вы­рас­тет банан.

а) В каком по­ряд­ке надо сры­вать плоды, чтобы на яб­ло­не остал­ся ровно один плод?

б) Мо­же­те ли вы опре­де­лить, какой это будет плод?

в) Можно ли сры­вать плоды так, чтобы на яб­ло­не ни­че­го не оста­лось?

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 258.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

35
Задания Д16 C7 № 527438

В двух группах учится одинаковое количество студентов. Каждый студент изучает по крайней мере один язык: английский или французский. Известно, что 5 человек в первой и 5 во второй группе изучают оба языка. Количество изучающих французский в первой группе в 3 раза меньше, чем во второй. Количество изучающих английский во второй группе в 4 раза меньше, чем в первой.

а) Может ли в каждой группе быть 33 студента?

б) Может ли число студентов, изучающих только английский язык во второй группе быть равно 2?

в) Каково минимально возможное количество студентов в каждой группе?

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 260.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

36
Задания Д16 C7 № 527463

16 учеников пишут контрольную работу, составленную в нескольких вариантах. Их рабочие места расположены в виде квадрата 4 × 4. Будем называть пару учеников «подозрительной», если они сидят на соседних (по вертикали, горизонтали или диагонали) местах и пишут один и тот же вариант. (Ученик может входить в несколько «подозрительных» пар).

а) Может ли не оказаться ни одной «подозрительной» пары, если имеется 4 варианта контрольной работы?

б) Может ли не оказаться ни одной «подозрительной» пары, если имеется 3 варианта контрольной работы?

в) Найдите наименьшее возможное количество «подозрительных» пар, если имеется 3 варианта контрольной работы.

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 263.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

37
Задания Д16 C7 № 527603

Ваня играет в игру. В начале игры на доске написано два различных натуральных числа от 1 до 9999. За один ход игры Ваня должен решить квадратное уравнение где p и q — взятые в выбранном Ваней порядке два числа, написанные к началу этого хода на доске, и, если это уравнение имеет два различных натуральных корня, заменить два числа на доске на эти корни. Если же это уравнение не имеет двух различных натуральных корней, Ваня не может сделать ход и игра прекращается.

а) Существуют ли такие два числа, начиная играть с которыми Ваня сможет сделать не менее двух ходов?

б) Существуют ли такие два числа, начиная играть с которыми Ваня сможет сделать десять ходов?

в) Какое наибольшее число ходов может сделать Ваня при этих условиях?

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 275.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

38
Задания Д16 C7 № 527618

В магазине продаются мобильные телефоны, каждый из которых стоит целое число тысяч рублей (больше нуля, но менее 100 тыс.). Магазин установил скидки на несколько телефонов: если цена телефона составляет N тыс. руб., то он продаётся со скидкой N%.

а) Могла ли средняя величина скидки составить ровно 1 тыс. руб.?

б) Могла ли средняя величина скидки составить ровно 2 тыс. руб.?

в) Известно, что средняя величина скидки составила ровно 3 тыс. руб. Какое наименьшее количество телефонов могло продаваться со скидкой?

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 277.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Сюжетные задачи

Пройти тестирование по этим заданиям