Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Из вершины A опущены перпендикуляры AF, AH, AP и AQ на прямые DE, BE, CD и BC соответственно.
а) Докажите, что 
б) Найдите AH, если 
и 
Решение. а) Будем пока считать, что F и Q лежат на продолжениях DE и CB соответственно а остальные точки — на отрезках. Тогда четырехугольники FEHA и APCQ вписанные (имеют по два противоположных прямых угла), откуда
что и требовалось.
Пусть теперь Q лежит на продолжении CB, а остальные точки — на отрезках. Тогда четырехугольники FEHA и APCQ вписанные (имеют два противоположных прямых угла и два равных прямых угла между стороной и диагональю первый), откуда 
что и требовалось.
Аналогично разбираются остальные случаи расположения точек.
б) Углы QCA и HEA равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AB, поэтому прямоугольные треугольники CQA и AHE подобны. Углы AEF и ACP равны, поскольку оба они в сумме с углом AED дают 180°. Следовательно, подобны прямоугольные треугольники AFE и APC. Тогда верны пропорции 
и 
Разделим первую на вторую, получим 
откуда 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
уравнение прямой BE: 
Координаты точки O найдём из системы уравнений 
и 
равно 
то есть на хорды AO и AB описанной около четырёхугольника ABOK окружности опираются равные углы. Таким образом, 
Значит, скалярное произведение равно нулю, а тогда
Запишем его в виде
По теореме Пифагора из треугольника DCK находим: 
откуда
получим:
Тогда 
Из треугольника N2M2B получаем, что
Тогда
Из этих двух равенств получаем, что 
тогда 
и 
По теореме косинусов
и 
и 
Из свойства хорд 
находим:
тогда
то есть 
следовательно, 
и 
тогда четырёхугольник POQC вписан в окружность. По тереме синусов 
следовательно, точка O лежит на биссектрисе угла ACB, то есть на прямой CN.
Треугольники APT, QBR и ABC подобны, значит,
и 
Найдем гипотенузу AB: 
Четырехугольник BCDM — параллелограмм, поэтому 
Таким образом, 
а потому треугольник DEM равнобедренный, откуда следует, что углы DEM и DME равны. Углы DME и BMA также равны как вертикальные. Углы DEM и BAM равны, так как опираются на одну дугу. Следовательно, треугольник BMA равнобедренный, а потому 
Треугольники BMA и DEM подобны по двум равным углам, а значит,
то неравенство 
для треугольника ABM не выполняется, поэтому 
и 
Четырехугольник BCDM — параллелограмм, поэтому 
а потому треугольник DEM равнобедренный. Отсюда следует, что углы DEM и DME равны. Углы DME и BMA также равны как вертикальные. Углы DEM и BAM равны, так как опираются на одну дугу. Следовательно, треугольник BMA равнобедренный, а потому 
то неравенство 
не выполняется, поэтому 
Площадь треугольника BOM равна
BE = 2BC. По теореме косинусов для треугольника CDT получим, что
Тем самым
то 
значит, точка P — середина ребра EF. Следовательно, точка K — точка пересечения медиан треугольника AFE. Пусть также точка L — середина отрезка AE, тогда
и 
и 
Тогда по теореме косинусов в треугольнике ABT:
и
