а)  По­сколь­ку 20 де­лит­ся на и а 19 де­лит­ся на это не­воз­мож­но.

б)  Рас­смот­рим остат­ки от де­ле­ния дан­ных чисел на 17. Всего раз­ных остат­ков 17, по­это­му среди 25 чисел най­дут­ся два числа с оди­на­ко­вы­ми остат­ка­ми. Их раз­ность будет крат­на 17. Си­ту­а­ция не­воз­мож­на.

в)  Рас­смот­рим числа 35, 37, ..., 99. Раз­ность любых двух из них четна, а они все не­чет­ны, по­это­му не могут де­лить­ся на раз­ность. При этом мак­си­маль­ная раз­ность равна зна­чит, все раз­но­сти имеют вид 2n при По­сколь­ку все числа не­чет­ны, 2n может де­лить­ся на них, толь­ко если n де­лит­ся. Но n мень­ше лю­бо­го из них. В этом при­ме­ре 33 числа.

До­пу­стим, есть при­мер с 34 чис­ла­ми (если их боль­ше  — вы­ки­нем любые из них, оста­вив толь­ко 34). Рас­суж­де­ния пунк­та б) по­ка­зы­ва­ют, что чисел, мень­ших 34, там быть не может, а рас­суж­де­ния пунк­та а)  — что среди чисел не может быть со­сед­них. Зна­чит, из каж­дой пары (34, 35), (36, 37), ..., (98, 99) есть мак­си­мум одно число. Тогда чисел не более чем ко­ли­че­ство пар, а их 33.

Ответ: а)  нет, не могло; б)  нет, не может; в)  33.

а)  По­сколь­ку 30 де­лит­ся на и а 29 де­лит­ся на это не­воз­мож­но.

б)  Рас­смот­рим остат­ки от де­ле­ния дан­ных чисел на 13. Всего раз­ных остат­ков 13, по­это­му среди 20 чисел най­дут­ся два числа с оди­на­ко­вы­ми остат­ка­ми. Их раз­ность будет крат­на 13.

в)  Рас­смот­рим числа 55, 57, ..., 159. Раз­ность любых двух из них четна, а они все не­чет­ны, по­это­му не могут де­лить­ся на раз­ность. При этом мак­си­маль­ная раз­ность равна зна­чит, все раз­но­сти имеют вид при По­сколь­ку все числа не­чет­ны, 2n может де­лить­ся на них, толь­ко если n де­лит­ся. Но n мень­ше лю­бо­го из них. В этом при­ме­ре 53 числа.

До­пу­стим есть при­мер с 54 чис­ла­ми (если их боль­ше  — вы­ки­нем любые из них, оста­вив толь­ко 54). Рас­суж­де­ния пунк­та б) по­ка­зы­ва­ют, что чисел мень­ших 54 там быть не может, а рас­суж­де­ния пунк­та а)  — что среди чисел не может быть со­сед­них. Зна­чит, из каж­дой пары (54, 55), (56, 57), ..., (158, 159) есть мак­си­мум одно число. Тогда чисел не более чем ко­ли­че­ство пар, а их 53.

Ответ: а) нет, не могло; б) нет, не может; в) 53.

a)  Если на доске на­пи­са­ны два числа, иду­щие под­ряд, то любое число де­лит­ся на их раз­ность, рав­ную 1. Если на доске на­пи­са­ны числа 4 и 6, то каж­дое из этих чисел де­лит­ся на их раз­ность, рав­ную 2. Зна­чит, ни­ка­кие два из чисел 4, 5 и 6 не могли быть на­пи­са­ны на доске од­но­вре­мен­но.

б)  Если на доске на­пи­са­но 7 чисел, то хотя бы два из них дают оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на 5. Зна­чит, раз­ность этих чисел де­лит­ся на 5. Сле­до­ва­тель­но, N не может быть рав­ным 7.

в)  Пред­по­ло­жим, что Если на доске есть число то хотя бы два из на­пи­сан­ных на доске чисел дают оди­на­ко­вый оста­ток при де­ле­нии на a, но тогда их раз­ность де­лит­ся на a. Зна­чит, каж­дое из чисел, на­пи­сан­ных на доске, боль­ше 9. Среди любых раз­лич­ных чисел от 10 до 27 найдётся два, иду­щих под­ряд. Раз­ность этих чисел равна 1, и на неё де­лит­ся любое число, на­пи­сан­ное на доске. По­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие. Сле­до­ва­тель­но,

По­ка­жем, что N может быть рав­ным 9. Пусть на доске на­пи­са­ны числа:

Раз­ность любых двух из этих чисел чётная, а зна­чит, ни одно из на­пи­сан­ных на доске чисел не де­лит­ся на неё. С дру­гой сто­ро­ны, каж­дая из таких раз­но­стей не пре­вос­хо­дит 16. Сле­до­ва­тель­но, любой нечётный де­ли­тель такой раз­но­сти не пре­вос­хо­дит 7. Таким об­ра­зом, по­стро­ен­ный при­мер удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 9.

а)  По­сколь­ку 13 де­лит­ся на та­ко­го быть не может.

б)  Среди 18 чисел обя­за­тель­но най­дут­ся два, да­ю­щие оди­на­ко­вый оста­ток от де­ле­ния на 15. Их раз­ность будет крат­на 15  — на­пи­сан­но­му числу.

в)  Рас­смот­рим числа 13, 15, ..., 33. Раз­ность любых двух из них четна, а они все не­чет­ны, по­это­му не могут де­лить­ся на раз­ность. При этом мак­си­маль­ная раз­ность равна зна­чит, все раз­но­сти имеют вид 2n при По­сколь­ку все числа не­чет­ны, число 2n может де­лить­ся на них, толь­ко если n де­лит­ся. Но n мень­ше лю­бо­го из них. В этом при­ме­ре 11 чисел.

До­пу­стим есть при­мер с 12 чис­ла­ми (если их боль­ше  — вы­ки­нем любые из них, оста­вив толь­ко 12). Рас­суж­де­ния пунк­та б) по­ка­зы­ва­ют, что чисел мень­ших 12 там быть не может, а рас­суж­де­ния пунк­та а)  — что среди чисел не может быть со­сед­них. Зна­чит, из каж­дой пары (12, 13), (14, 5), ..., (32, 33) есть мак­си­мум одно число. Тогда чисел не более чем ко­ли­че­ство пар, а их 11.

Ответ: а) нет, не могло; б) нет, не может; в) 11.