РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Варианты заданий

На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 99. Для любых двух написанных на доске чисел a и b, таких, что a < b, ни одно из написанных чисел не делится на b – a, и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b – a.

а)  Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 18, 19 и 20?

б)  Среди написанных на доске чисел есть 17. Может ли N быть равно 25?

в)  Найдите наибольшее значение N.

Решение. а)  Поскольку 20 делится на $20 минус 19$ и $20 минус 18,$ а 19 делится на $19 минус 18,$ это невозможно.

б)  Рассмотрим остатки от деления данных чисел на 17. Всего разных остатков 17, поэтому среди 25 чисел найдутся два числа с одинаковыми остатками. Их разность будет кратна 17. Ситуация невозможна.

в)  Рассмотрим числа 35, 37, ..., 99. Разность любых двух из них четна, а они все нечетны, поэтому не могут делиться на разность. При этом максимальная разность равна $99 минус 35=64=2 умножить на 32,$ значит, все разности имеют вид 2n при $n меньше или равно 32.$ Поскольку все числа нечетны, 2n может делиться на них, только если n делится. Но n меньше любого из них. В этом примере 33 числа.

Допустим, есть пример с 34 числами (если их больше  — выкинем любые из них, оставив только 34). Рассуждения пункта б) показывают, что чисел, меньших 34, там быть не может, а рассуждения пункта а)  — что среди чисел не может быть соседних. Значит, из каждой пары (34, 35), (36, 37), ..., (98, 99) есть максимум одно число. Тогда чисел не более чем количество пар, а их 33.

Ответ: а)  нет, не могло; б)  нет, не может; в)  33.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 159. Для любых двух написанных на доске чисел a и b, таких, что a < b, ни одно из написанных чисел не делится на b – a, и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b – a.

а)  Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 28, 29 и 30?

б)  Среди написанных на доске чисел есть 13. Может ли N быть равно 20?

в)  Найдите наибольшее значение N.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 27. Для каждых двух написанных чисел a и b таких, что $a меньше b$ ни одно из написанных чисел не делится на b – a и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b – a.

а)  Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 4, 5, 6?

б)  Среди написанных на доске чисел есть 5. Может ли N быть равным 7?

в)  Найдите наибольшее значение N.

Решение. a)  Если на доске написаны два числа, идущие подряд, то любое число делится на их разность, равную 1. Если на доске написаны числа 4 и 6, то каждое из этих чисел делится на их разность, равную 2. Значит, никакие два из чисел 4, 5 и 6 не могли быть написаны на доске одновременно.

б)  Если на доске написано 7 чисел, то хотя бы два из них дают одинаковый остаток при делении на 5. Значит, разность этих чисел делится на 5. Следовательно, N не может быть равным 7.

в)  Предположим, что $N больше или равно 10.$ Если на доске есть число $a меньше или равно 9,$ то хотя бы два из написанных на доске чисел дают одинаковый остаток при делении на a, но тогда их разность делится на a. Значит, каждое из чисел, написанных на доске, больше 9. Среди любых $N больше или равно 10$ различных чисел от 10 до 27 найдётся два, идущих подряд. Разность этих чисел равна 1, и на неё делится любое число, написанное на доске. Получаем противоречие. Следовательно, $N меньше или равно 9.$

Покажем, что N может быть равным 9. Пусть на доске написаны числа:

11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27.

Разность любых двух из этих чисел чётная, а значит, ни одно из написанных на доске чисел не делится на неё. С другой стороны, каждая из таких разностей не превосходит 16. Следовательно, любой нечётный делитель такой разности не превосходит 7. Таким образом, построенный пример удовлетворяет условию задачи.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 9.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение п. а; — обоснованное решение п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 33. Для каждых двух написанных чисел a и b таких, что $a меньше b,$ ни одно из написанных чисел не делится на $b минус a$ и ни одно из написанных чисел не является делителем числа $b минус a.$

а)  Могли ли на доске быть написаны числа 11, 12, 13?

б)  Среди написанных на доске чисел есть число 15. Может ли N быть равным 18?

в)  Найдите наибольшее значение N.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	630132	а)  нет, не могло; б)  нет, не может; в)  33.
2	630168	а) нет, не могло; б) нет, не может; в) 53.
3	630200	а) нет; б) нет; в) 9.
4	634666	а) нет, не могло; б) нет, не может; в) 11.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в)	4
Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б)	3
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в)	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ключ