Тип 19 № 634666 
Числа и их свойства. Числовые наборы на карточках и досках
i
На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 33. Для каждых двух написанных чисел a и b таких, что 
ни одно из написанных чисел не делится на 
и ни одно из написанных чисел не является делителем числа 
а) Могли ли на доске быть написаны числа 11, 12, 13?
б) Среди написанных на доске чисел есть число 15. Может ли N быть равным 18?
в) Найдите наибольшее значение N.
Решение. а) Поскольку 13 делится на 
такого быть не может.
б) Среди 18 чисел обязательно найдутся два, дающие одинаковый остаток от деления на 15. Их разность будет кратна 15 — написанному числу.
в) Рассмотрим числа 13, 15, ..., 33. Разность любых двух из них четна, а они все нечетны, поэтому не могут делиться на разность. При этом максимальная разность равна 
значит, все разности имеют вид 2n при 
Поскольку все числа нечетны, число 2n может делиться на них, только если n делится. Но n меньше любого из них. В этом примере 11 чисел.
Допустим есть пример с 12 числами (если их больше — выкинем любые из них, оставив только 12). Рассуждения пункта б) показывают, что чисел меньших 12 там быть не может, а рассуждения пункта а) — что среди чисел не может быть соседних. Значит, из каждой пары (12, 13), (14, 5), ..., (32, 33) есть максимум одно число. Тогда чисел не более чем количество пар, а их 11.
Ответ: а) нет, не могло; б) нет, не может; в) 11.
Спрятать критерииКритерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а), б) и в) | 4 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте в) и обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б) | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте в) | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) нет, не могло; б) нет, не может; в) 11.
