За­пи­шем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы в виде

При левая часть не имеет смыс­ла. При урав­не­ние задаёт пря­мую и ги­пер­бо­лу (см. рис.). При каж­дом зна­че­нии a урав­не­ние задаёт пря­мую с уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том a, про­хо­дя­щую через на­ча­ло ко­ор­ди­нат. Число ре­ше­ний ис­ход­ной си­сте­мы равно числу точек пе­ре­се­че­ния пря­мой и ги­пер­бо­лы с пря­мой при усло­вии

Пря­мая пе­ре­се­ка­ет пря­мую при и при пе­ре­се­ка­ет пра­вую ветвь ги­пер­бо­лы при пе­ре­се­ка­ет левую ветвь ги­пер­бо­лы при про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния пря­мой и ги­пер­бо­лы при

Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния при и при

Ответ:

При­ве­дем ана­ли­ти­че­ское ре­ше­ние.

За­пи­шем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы в виде

Тогда

При a  =  0 си­сте­ма ре­ше­ний не имеет. В про­тив­ном слу­чае пер­вое урав­не­ние имеет ко­рень ко­то­рый удо­вле­тво­ря­ет си­сте­ме при Вто­рое урав­не­ние имеет два раз­лич­ных корня толь­ко при a > 0, при­чем x₂ яв­ля­ет­ся кор­нем си­сте­мы при любом по­ло­жи­тель­ном a, а x₃ при Таким об­ра­зом, си­сте­ма будет иметь два раз­лич­ных ре­ше­ния при Кроме того, по­ло­жи­тель­ные корни x₁ и x₂ могут сов­пасть это про­ис­хо­дит при a  =  1.

Ответ:

При­ме­ча­ние.

По­лез­но срав­нить это за­да­ние с ана­ло­гич­ной за­да­чей до­сроч­но­го ЕГЭ 2015 года: най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Гра­фи­че­ское ре­ше­ние.

За­пи­шем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы в виде

При левая часть не имеет смыс­ла. При урав­не­ние задаёт пря­мую и ги­пер­бо­лу (см. рис.). При каж­дом зна­че­нии a урав­не­ние задаёт пря­мую с уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том a, про­хо­дя­щую через на­ча­ло ко­ор­ди­нат.

При такая пря­мая пе­ре­се­ка­ет пря­мую при и пе­ре­се­ка­ет пра­вую ветвь ги­пер­бо­лы при пе­ре­се­ка­ет левую ветвь ги­пер­бо­лы при При этом пря­мая про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния пря­мой и ги­пер­бо­лы при

Число ре­ше­ний ис­ход­ной си­сте­мы равно числу точек пе­ре­се­че­ния пря­мой и ги­пер­бо­лы с пря­мой при усло­вии

Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния при и при

Ана­ли­ти­че­ское ре­ше­ние.

За­пи­шем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы в виде

Тогда ис­ход­ная си­сте­ма рав­но­силь­на сле­ду­ю­щей:

При a = 0 си­сте­ма ре­ше­ний не имеет. В про­тив­ном слу­чае, пер­вое урав­не­ние имеет ко­рень ко­то­рый удо­вле­тво­ря­ет си­сте­ме при Вто­рое урав­не­ние имеет два раз­лич­ных корня толь­ко при a > 0, при­чем, x₂ яв­ля­ет­ся кор­нем си­сте­мы при любом по­ло­жи­тель­ном a, а x₃ при Таким об­ра­зом, си­сте­ма будет иметь два раз­лич­ных ре­ше­ния при Кроме того, по­ло­жи­тель­ные корни x₁ и x₂ могут сов­пасть это про­ис­хо­дит при a = 3.

Ответ:

При­ме­ча­ние.

По­лез­но срав­нить это за­да­ние с ана­ло­гич­ной за­да­чей до­сроч­но­го ЕГЭ 2015 года: най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

За­пи­шем пер­вое урав­не­ние в виде

При левая часть не имеет смыс­ла. При урав­не­ние задаёт пря­мую и ги­пер­бо­лу (см. рис.).

При каж­дом зна­че­нии a урав­не­ние задаёт пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой или сов­па­да­ю­щую с ней.

При такая пря­мая пе­ре­се­ка­ет пря­мую при пе­ре­се­ка­ет пра­вую ветвь ги­пер­бо­лы при любом зна­че­нии a, пе­ре­се­ка­ет левую ветвь ги­пер­бо­лы при При этом пря­мая про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния пря­мой и ги­пер­бо­лы при

Число ре­ше­ний ис­ход­ной си­сте­мы равно числу точек пе­ре­се­че­ния пря­мой и ги­пер­бо­лы с пря­мой при усло­вии Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния при

Ответ:

За­пи­шем пер­вое урав­не­ние в виде

При левая часть не имеет смыс­ла. При урав­не­ние задаёт пря­мую и ги­пер­бо­лу (см. рис.).

При каж­дом зна­че­нии a урав­не­ние задаёт пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой или сов­па­да­ю­щую с ней.

При такая пря­мая пе­ре­се­ка­ет пря­мую при пе­ре­се­ка­ет пра­вую ветвь ги­пер­бо­лы при любом зна­че­нии a, пе­ре­се­ка­ет левую ветвь ги­пер­бо­лы при При этом пря­мая про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния пря­мой и ги­пер­бо­лы при

Число ре­ше­ний ис­ход­ной си­сте­мы равно числу точек пе­ре­се­че­ния пря­мой и ги­пер­бо­лы с пря­мой при усло­вии Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния при

Ответ: