За­ме­тим, что тре­уголь­ник ту­по­уголь­ный тогда и толь­ко тогда, когда сумма квад­ра­тов длин его мень­ших сто­рон мень­ше квад­ра­та боль­шей сто­ро­ны.

а)  Да, на­при­мер в тре­уголь­ни­ке со сто­ро­на­ми 13, 7, 8 вы­пол­не­но и

б)  Нет. Пусть боль­шая сто­ро­на равна 8x, а мень­шая  — 7x. Тогда сред­няя не мень­ше 7x, но

в)  Пусть мень­шая сто­ро­на равна a, а боль­шая равна c. Тогда и нужно ми­ни­ми­зи­ро­вать Рас­смот­рим любую под­хо­дя­щую пару чисел и уве­ли­чим оба числа на еди­ни­цу. Тогда по-⁠преж­не­му (к пра­вой части при­ба­ви­ли а к левой  — ), (к обеим ча­стям при­ба­ви­ли по­ров­ну), а от­но­ше­ние умень­ши­лось (было стало ). По­это­му можно уве­ли­чи­вать a, пока оно не ста­нет равно 24.

Те­перь будем про­сто умень­шать c, пока это воз­мож­но, то есть пока Наи­мень­шее такое c  — это 35. По­это­му ответ

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  

Ком­мен­та­рий Сер­гея Ни­ко­ла­е­ва.

Ука­жем, как по­лу­чить оцен­ку из п. в) гео­мет­ри­че­ски. Пусть мень­шая сто­ро­на равна a, боль­шая равна c, а С  — угол, про­ти­во­ле­жа­щий сто­ро­не длины с. Из тео­ре­мы ко­си­ну­сов сле­ду­ет, что Из по­лу­чен­но­го со­от­но­ше­ния видно, что для лю­бо­го угла C (при фик­си­ро­ван­ной ве­ли­чи­не c) от­но­ше­ние c/a ми­ни­маль­но при мак­си­маль­ном воз­мож­ном a, то есть при a  =  24. Далее, так же как в при­ве­ден­ном выше ре­ше­нии, по­лу­ча­ем, что при любом фик­си­ро­ван­ном зна­че­нии угла C ис­ко­мое от­но­ше­ние ми­ни­маль­но при c  =  35, а зна­чит, не за­ви­сит от угла C.

а)  На­при­мер, числа 10, 11, 15.

б)  В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке сумма квад­ра­тов мень­ших сто­рон мень­ше квад­ра­та боль­шей сто­ро­ны. Пусть   — ис­ко­мые числа. По усло­вию Имеем:

По­лу­чи­ли про­ти­во­ре­чие. Зна­чит, та­ко­го быть не может.

в)  По усло­вию Тогда

Чем боль­ше a, тем мень­ше зна­че­ние может при­ни­мать По­это­му не­об­хо­ди­мо найти наи­боль­шее a. Пусть

Наи­мень­шее зна­че­ние равно

Ответ: а)  да, на­при­мер числа 10, 11 и 15; б)  нет; в)  

Как из­вест­но, тре­уголь­ник ту­по­уголь­ный тогда и толь­ко тогда, когда сумма квад­ра­тов длин его мень­ших сто­рон мень­ше квад­ра­та боль­шей сто­ро­ны.

а)  Да, на­при­мер, в тре­уголь­ни­ке со сто­ро­на­ми 15, 10, 11 вы­пол­не­но и

б)  Нет. Пусть боль­шая сто­ро­на равна 5x, а мень­шая 4x. Тогда сред­няя не мень­ше 4x, но

в)  Пусть мень­шая сто­ро­на равна a, а боль­шая равна c. Тогда и нужно ми­ни­ми­зи­ро­вать

Рас­смот­рим любую под­хо­дя­щую пару чисел и уве­ли­чим оба числа на еди­ни­цу. Тогда по-преж­не­му (к пра­вой части при­ба­ви­ли а к левой ), (к обеим ча­стям при­ба­ви­ли по­ров­ну), а от­но­ше­ние умень­ши­лось (было стало По­это­му можно уве­ли­чи­вать a, пока оно не ста­нет равно 17.

Те­перь будем про­сто умень­шать c, пока это воз­мож­но, то есть пока Наи­мень­шее такое c это 25. По­это­му ответ

Ответ: а) a  =  15, b  =  10, c  =  11; б) нет; в)

а)  Да, на­при­мер тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 10, 11, 20 будет ту­по­уголь­ным, по­сколь­ку

б)  Пусть боль­шая сто­ро­на имеет длину 4x, а мень­шая 3x. Тогда длина сред­ней не мень­ше 3x и сумма квад­ра­тов двух сто­рон не мень­ше по­это­му тре­уголь­ник ост­ро­уголь­ный.

в)  До­пу­стим это числа a, 20, c, при­чем a < 20 и Если уве­ли­чить сто­ро­ны a и c на 1, то по­лу­чим

то есть тре­уголь­ник оста­нет­ся ту­по­уголь­ным то есть не­ра­вен­ство тре­уголь­ни­ка по-преж­не­му будет вы­пол­нять­ся, а тре­уголь­ник будет су­ще­ство­вать, при­чем

то есть ука­зан­ное от­но­ше­ние умень­шит­ся. Зна­чит, вы­год­но уве­ли­чи­вать a пока это воз­мож­но, по­это­му можно счи­тать, что a  =  19. При фик­си­ро­ван­ном a нужно про­сто вы­би­рать ми­ни­маль­но воз­мож­ное c. По­сколь­ку ми­ни­маль­но воз­мож­ное c это 28.

Ответ: а) да; б) нет; в)